福建省福安市高级中学2016届高三3月月考数学(文)试题_图文

2016 年福安市高级中学 3 月月考 数 学(文科) 第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

i3 (1) 已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 z ? ,则 z 为 1? i
A.

1? i 2

B.

1? i 2

C.

?1 ? i 2

D.

?1 ? i 2

(2) 已知集合 A={x|x2 一 x-6 >0) ,B={x|-1≤x≤4) ,则 A I B= (A)[一 l,3) (B)(3,4] (C)[一 1,2) (D)(2,4] (3) 要得到函数 y ? sin A.向右平移

? 个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍, 4

1 x 的图象,只要将函 数 y ? cos 2 x 的图象 2

纵坐标不变 B. 向左平移

? 1 个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的 倍, 4 4

纵坐 标不变

? 个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变 4 ? 1 D. 向右平移 个单位长度,再将各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 4 4 r uuu r uuu r uuu uuur (4) 设 M 是△ABC 所在平面内的一点,若 AB + AC =2 AM , | BC |=2 ,则
C. 向左平移

r uuu r uuu MB · MC =
(A) -1 (B)1 (C) -2 (D)2
2 ? ?? x ? ax, x ? 0 (5)已知函数 f ( x ) ? ? x 有两个零点,则实数 a 的取值范围为 ? ?2 ? 1, x ? 0

(A)(一∞,0)

(B)(0,1]

(C)(0,+∞)

(D)[0,+∞)

(6) 执行如图所示的程序框图,若输出的 S ? A. i ? 2014 B. i ? 2014

2016 ,则判断框内应填入 4033
D. i ? 2017

C. i ? 2015

(7)盒中共有形状大小完全相同的 5 个球,其中有 2 个红球和 3 个白 球.若从中随机取 2 个球,则概率为

3 的事件是 5
1

(A)都不是 红球 (B)恰有 1 个红球 (C)至少有 1 个红球 (D)至多有 1 个红球 (8)已知等比数列{an}为递增数列,其前 n 项和为 Sn.若 S3=7,a2=2, 则 a3 +a4 +a5= (A)

7 4

(B

7 8

(C) 28 (9) 已知点 P 在双曲线

(D) 56

x2 y 2 ? =1 的右支上,F 为双曲线的左焦点,Q 为线段 PF 的中点,D a 2 16

为 坐标原点.若|OQ|的最小值为 1,则双 曲线的离心率为

17 15 3 (C) 5
(A) 图为直角梯形,

(B)

15 17 5 (D) 3

(10) 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视

则这个几何体的体积是 A.72 B.80 C.120 D.144 (11)已知 F 为抛物线 y2 =4x 的焦点,点 A,B 在抛物线上,O 为坐标 原点.若 AF +2 BF =0,则△OAB 的面积为 (A)

uuu r

uuu r

3 2 8

(B)

3 2 4

(C)

3 2 2

(D)3 2

(12) 设函数 f ? x ? ? 为 A. ( ??, )

1 m x ? ? ,若 ?x ? (0, ??), f ? x ? ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围 x x2 3 2 3 2 3 2 3

2 3

B. ( ,1)

C. ( , 2)

D. ( , ??)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部 分.第(13)题一第(21)题为必考题,每个试 题考生都必须 作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

2

(13) 已 知 数列 ?an ? 的 前 n 项和 为 Sn , a1 ? 1 , 且 满足 an an?1 ? 2Sn , 数 列 ?bn ? 满 足

b b1 ? 16, bn?1 ? bn ? 2n ,则数列 { n } 中第 an

项最小.

?y ? 0 y ?1 ? (14) 已知实数 x , y 满足条件 ? y ? x ,则 的取值范围为 x ?1 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
(15)若一个长方体内接于表面积为 4 ? 的球, 则这个长方体的表面积的最大值是 (16)已知函数 f(x)=x2+bx+1 满足 f(一 x)=f(x+1) ,若存在实数 t,使得对任意实 数 x∈[l,m],都有 f(x+t)≤x 成立,则实数 m 的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明 、证明过程或演算 步骤 . (17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c , 已知 a ? c ? b ? ac , 且 2b ? 3c 。
2 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)设函数 f ( x) ? 1 ? cos(2 x ? B) ? cos2 x ,求函数 f ( x ) 的最大值

(18)(本小题满分 12 分) 某企业对其生产的一批产品进行检测,得 出每件产品中某种物质含量(单位:克) 的频率分布直方图如图所示. (I)估计产品中该物质含量的中位数及 平均数(同一组数据用该区间的中 点值作代表) ; (Ⅱ)规定产品的级别如下表:

若生产 1 件 A 级品可获利润 100 元,生产 1 件 B 级品可获利润 50 元,生产 1 件 C 级 品亏损 50 元.现管理人员从三个等级的产品 中采用分层抽样的方式抽取 10 件产品,试 用样本估计生产 1 件该产品的平均利润. (19)(本小题满分 12 分) 在下图所示的几何体中,底面 ABCD 为正方形, PD ⊥平面 ABCD , EC // PD ,且

PD ? AD ? 2 EC ? 2 , N 为线段 PB 的中点.
(1)证明: NE ? PD ; (2)求四棱锥 B ? CEPD 的体积.

3

(20)(本小题 满分 12 分) 动圆 P 过点 M( -1,O),且与圆 N:x2+y2 -2x -1 5 =0 内切,记圆心 P 的轨迹为曲线 τ。 ( I)求曲线 τ 的方程; (Ⅱ) 过点 M 且斜率大于 0 的直线 l 与圆 P 相切,与曲线 τ 交于 A,B 两点,A 的中点为 Q. 若点 Q 的横坐标为一

4 ,求圆 P 的半径 r. 13

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? ln x, g ? x ? ?

1 ? ax ,若 f ? x ? 在点 (2, f (2))处的切线与 g ? x ? 在点 x

(2, g (2))处的切线 l 平行.
(1)求直线 l 的方程; (2)关于 x 的方程 f ? x ? ? xg ? x ? ? ? 实数 b 的取值范围.

3 x ? 1 ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根,求 2

请考生在第(22)、(23】 、( 24)题中任选~题作答,注意:只能做所选定的题目,如果多做, 则按所做第一个题目计分-作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

? 的中点,E 为 BC 的中点. 如图,AC 为半圆 D 的直径,D 为 BC
(I)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证: AC · BC =2AD· CD. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O ? y ? sin ?

为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l1 的极坐标方程为 ? sin(? ? 直线 l2 的极坐标方程为 ? ?

?
4

)?

2 , 2

?
2

,l1 与 l2 的交点为 M

( I)判断点 M 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)点 P 为曲线 C 上的任意一点,求|PM|的最大值.

4

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5 :不等式选讲 已知函数 f(x)=|x -1| -2|x +1|. (I)求不等式 f(x)≤- 1 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)≥3a 一 1 有解,求实数 a 的取值范围.

5

2016 年福安市高级中学 3 月月考 数 学(文科)答案
一、选择题 :

(1)C (2)B(3) A (4)A(5) C (6)C (7) B (8)C(9)D (10)C(11) C (12)D
二、填空题: (13)4 (14)[ -1,

1 ] 2

(15) 8 (16) 3

17.(本小题满分 12 分) 解: (1)在△ABC 中,因为 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ? ,所以 B ? 。 2ac 2 3

………2 分

在△ABC 中,因为 2b ? 3c ,由正弦定理可得 2 sin B ? 3 sin C , 所以 sin C ?

2? 2? ? 5? 2 ? ? ? ,0 ? C ? , C ? ,故 A ? 3 3 4 12 2 4

………6 分

(2)由(1)得 f ( x) ? 1 ? cos( 2 x ?

?
3

) ? cos 2 x

1 3 ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x 2 2
3 1 sin 2 x ? cos2 x 2 2 7? ? 1 ? sin( 2 x ? ) 6 ? 1?

………10 分 ………12 分

f ( x)max ? 2

6

19.(本小题满分 12 分) 解: (1)连接 AC,BD.令 AC 交 BD 于 F.连接 NF ∵四边形 ABCD 是正方形,∴F 为 BD 的中点. ∵N 为 PB 的中点.∴ NF // PD 且 NF ? 又∵EC∥PD 且 EC ?

1 PD . 2

………2 分

1 PD ,∴NF∥EC 且 NF=EC. 2
………3 分

∴四边形 NFCE 为平行四边形. ∴NE∥FC,即 NE∥AC. 又∵PD⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD,∴PD⊥AC. ∵四边形 ABCD 为正方形,∴AC⊥BD. ∵ PD I BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD , ∴ AC ⊥平面 PBD . ∵NE∥AC,∴NE⊥平面 PBD .∴NE⊥PD.

………5 分

………6 分

(2)∵PD⊥平面 ABCD, PD ? 平面 PDCE,∴平面 PDCE⊥平面 ABCD. ∵BC⊥CD,平面PDCE∩平面ABCD=CD,且BC ? 平面ABCD, ∴BC⊥平面PDCE.∴BC是四棱锥B-PDCE的高. ………9分

∵ PD ? AD ? 2 EC ? 2 ,四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=2,EC=1. ………10分

7

1 1 ( PD ? EC ) ? DC ? ? (2 ? 1) ? 2 ? 3 , ………11 分 2 2 1 1 ∴四棱锥 B-CEPD 的体积 VB ?CEPD ? S梯形PDCE ? BC ? ? 3 ? 2 ? 2 . 3 3
∵ S梯形PDCE = ……12 分

8

21 题

9

10

11

12


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