2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2学业测评:2.2.1 综合法和分析法

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.在证明命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4 θ=cos 2θ”的过程:“cos4 θ- sin4 θ=(cos2 θ+sin2 θ)(cos2 θ-sin2 θ)=cos2 θ-sin2 θ=cos 2θ”中应用了( A.分析法 B.综合法 C.分析法和综合法综合使用 D.间接证法 【解析】 【答案】 此证明符合综合法的证明思路.故选 B. B ) ) 2.要证 a2+b2-1-a2b2≤0,只需证( A.2ab-1-a2b2≤0 a2+b2 B.a2+b2-1- 2 ≤0 ?a+b?2 C. 2 -1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 【解析】 要证 a2+b2-1-a2b2≤0, 只需证 a2b2-a2-b2+1≥0, 只需证(a2-1)(b2-1)≥0,故选 D. 【答案】 D 3.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和?如下: ⊕ a b c d a a b c d b b b b b c c b c b d d b b d ? a b c d 那么,d?(a⊕c)等于( A.a C.c 【解析】 ) a a a a a b a b c d c a c c a B.b D.d 由⊕运算可知,a⊕c=c, ∴d?(a⊕c)=d?c. 由?运算可知,d?c=a.故选 A. 【答案】 A ) 4.欲证 2- 3< 6- 7成立,只需证( A.( 2- 3)2<( 6- 7)2 B.( 2- 6)2<( 3- 7)2 C.( 2+ 7)2<( 3+ 6)2 D.( 2- 3- 6)2<(- 7)2 【解析】 ∵ 2- 3<0, 6- 7<0, 故 2- 3< 6- 7? 2+ 7< 3+ 6?( 2+ 7)2<( 3+ 6)2. 【答案】 C ) 5.对任意的锐角 α,β,下列不等式中正确的是( A.sin(α+β)>sin α+sin β B.sin(α+β)>cos α+cos β C.cos(α+β)>sin α+sin β D.cos(α+β)<cos α+cos β 【解析】 π π 因为 0<α<2,0<β<2, 所以 0<α+β<π, π 若2≤α+β<π,则 cos(α+β)≤0, 因为 cos α>0,cos β>0. 所以 cos α+cos β>cos (α+β). π 若 0<α+β<2,则 α+β>α 且 α+β>β, 因为 cos(α+β)<cos α,cos(α+β)<cos β, 所以 cos(α+β)<cos α+cos β, 总之,对任意的锐角 α,β 有 cos(α+β)<cos α+cos β. 【答案】 二、填空题 6.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)=x-xln x 求导得 f′(x)=-ln x, 当 x∈(0,1)时, f′(x)=-ln x>0, 故函数 f(x) 在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法. 【解析】 【答案】 该证明方法是“由因导果”法. 综合法 D 7.如果 a a>b b,则实数 a,b 应满足的条件是__________. 【解析】 要使 a a>b b, 只需使 a>0,b>0,(a a)2>(b b)2, 即 a>b>0. 【答案】 a>b>0 x 8. 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立, 则 a 的取值范围是__________. 【导 x +3x+1 学号:60030056】 x x 【解析】 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,只需求 y= 2 的最 x +3x+1 x +3x+1 大值,且令 a 不小于这个最大值即可.因为 x>0,所以 y= x = x +3x+1 2 1 1 x+ +3 x ≤ 2 1 1 x· x+3 1 ?1 ? =5,当且仅当 x=1 时,等号成立,所以 a 的取值范围是?5,+∞?. ? ? ?1 ? ?5,+∞? ? ? 【答案】 三、解答题 9.已知倾斜角为 60° 的直线 L 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛物线相 交于 A,B 两点,其中 O 为坐标原点. (1)求弦 AB 的长; (2)求三角形 ABO 的面积. 【解】 (1)由题意得,直线 L 的方程为 y= 3(x-1), 代入 y2=4x,得 3x2-10x+3=0. 设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 10 则 x1+x2= 3 . 10 16 由抛物线的定义,得弦长|AB|=x1+x2+p= 3 +2= 3 . (2)点 O 到直线 AB 的距离 d= 4 3 |AB|· d= 3 . 10.已知三角形的三边长为 a,b,c,其面积为 S,求证:a2+b2+c2≥4 3 S. 【证明】 要证 a2+b2+c2≥4 3S, |- 3| 3 1 = 2 ,所以三角形 OAB 的面积为 S=2 3+1 只要证 a2+b2+(a2+b2-2abcos C)≥2 3 absin C, 即证 a2+b2≥2absin(C+ 30° ),因为 2absin(C+30° )≤2ab, 只需证 a2+b2≥2ab, 显然上式成立.所以 a2+b2+c2≥4 3S. [能力提升] 1 1 1.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则a+b的最小值为( A.8 C.1 【解析】 B.4 1 D.4 3是 3a 与 3b 的等比中项?3a· 3b=3?3a+b=3?a+b=1,因为 ) a+b 1 1 1 1 a+b 1 1 a>0,b>0,所以 ab≤ 2 =2?ab≤4,所以a+b= ab =ab≥1=4. 4 【答案】 B 2. (2016· 石家庄高二检测)已知关于 x 的方程 x2+(k-3)x+k2=0 的一根小于 1,另一根大于 1,则 k 的取值范围是

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