1.2独立性检验基本思想及其初步应用(H)_图文

§1.2 独立性检验的基本思想及其 初步应用

定量变量 变量 定性变量) 分类变量(定性变量)

定量变量的取值一定是实数, 定量变量 的取值一定是实数,它们的取值大小有特定 的取值一定是实数 的含义,不同取值之间的运算也有特定的含义. 的含义,不同取值之间的运算也有特定的含义. 如身高,体重,考试成绩,温度等等. 如身高,体重,考试成绩,温度等等 两个定量变量的相关关系分析:回归分析(画散点图, 两个定量变量的相关关系分析:回归分析(画散点图, 相关指数R 残差分析) 相关指数 2,残差分析)

对于性别变量, 其取值为男和女两种, 对于性别变量 , 其取值为男和女两种 , 这种变量的不 表示个体所属的不同类别, 同 " 值 " 表示个体所属的不同类别 , 像这样的变量称 为分类变量. 分类变量. 分类变量也称为属性变量 定性变量, 属性变量或 分类变量也称为属性变量或定性变量,它们的取值一 定是离散的,而且不同的取值仅表示个体所属的类别, 定是离散的,而且不同的取值仅表示个体所属的类别, 如性别变量,只取男, 如性别变量,只取男,女两个值 如是否吸烟,宗教信仰,是否患肺癌,国籍等等. 如是否吸烟,宗教信仰,是否患肺癌,国籍等等. 在日常生活中,主要考虑分类变量之间是否有关系: 在日常生活中,主要考虑分类变量之间是否有关系: 分类变量之间是否有关系 例如,吸烟是否与患肺癌有关系? 例如,吸烟是否与患肺癌有关系? 性别是否对于喜欢数学课程有影响?等等. 性别是否对于喜欢数学课程有影响?等等.

两个分类变量的相关关系的分析: 两个分类变量的相关关系的分析: ①通过图形直观判断两个分类变量是否相关; 通过图形直观判断两个分类变量是否相关; ②独立性检验. 独立性检验

为调查吸烟是否对患肺癌有影响, 为调查吸烟是否对患肺癌有影响,某肿瘤研究所随机 地调查了9965人,得到如下结果(单位:人): 地调查了 人 得到如下结果(单位: 吸烟与患肺癌列联表(列出两个分类变量的频数表): 吸烟与患肺癌列联表(列出两个分类变量的频数表): 列联表 不患肺癌 患肺癌 不吸烟 7775 42 吸烟 2099 49 总计 91 9874 总计 7817 2148 9965

由列联表可以粗略估计出,在不吸烟者中, 54% 由列联表可以粗略估计出,在不吸烟者中,有0.54%患 有肺癌;在吸烟者中,有2.28%患有肺癌.因此,直观 有肺癌; 在吸烟者中, 28% 患有肺癌. 因此, 上可以得到结论: 上可以得到结论 : 吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性 存在差异. 存在差异. 与表格相比, 与表格相比 , 三维柱形图和二维条形图能更直观地反 映出相关数据的总体状况. 映出相关数据的总体状况.

1,列联表 2,三维柱形图

不吸烟 吸烟 总计

不患肺癌 7775 2099 9874

患肺癌 42 49 91

总计 7817 2148 9965

3,二维条形图
8000 7000 6000 5000 4000 3000 不患肺癌 患肺癌

不吸烟 不患肺癌 患肺癌 吸烟

2000 1000

0

不吸烟

吸烟

从二维条形图能看出, 从三维柱形图能清晰看出各 从二维条形图能看出,吸烟者中 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例. 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例. 个频数的相对大小. 个频数的相对大小.

4,等高条形图
1 0.9

患肺癌 比例

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

不患肺癌 比例

0.1

0

不吸烟

不不不

吸烟

不不

等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例. 等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例

上面我们通过分析数据和图形, 上面我们通过分析数据和图形 , 得到的直观印象是吸 烟和患肺癌有关,那么事实是否真的如此呢? 烟和患肺癌有关 , 那么事实是否真的如此呢 ? 这需要 统计观点来考察这个问题 来考察这个问题. 用统计观点来考察这个问题. 现在想要知道能够以多大的把握认为" 现在想要知道能够以多大的把握认为"吸烟与患肺癌 有关" 为此先假设: 有关",为此先假设: H0:吸烟与患肺癌没有关系 把数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表: 把数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表: 不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 a c a+c 患肺癌 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

吸烟与患肺癌的列联表: 吸烟与患肺癌的列联表: 不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 a c a+c 患肺癌 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

如果"吸烟与患肺癌没有关系" 如果"吸烟与患肺癌没有关系",则在吸烟者中不患 肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例应差不多, 肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例应差不多, c 即 a

a+b



c+d

a(c + d ) ≈ c(a + b) ad bc ≈ 0

|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; |ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; 越小 |ad-bc|越大 说明吸烟与患肺癌之间关系越强. 越大, |ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强.

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准, 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准 , 基于 上述分析, 上述分析,我们构造一个随机变量

n(ad bc ) K = (a + b )(c + d )(a + c )(b + d )
2 2

(1 )

其中n=a+b+c+d为样本容量 为样本容量. 其中 为样本容量 若H0成立,即"吸烟与患肺癌没有关系",则K2应很小. 成立, 吸烟与患肺癌没有关系" 应很小. 由列联表中数据,利用公式( 计算得K 的观测值为: 由列联表中数据,利用公式(1)计算得K2的观测值为:

9965(7775 × 49 42 × 2099) k= ≈ 56.632. 7817 × 2148 × 9874 × 91
2

成立的情况下,统计学家估算出如下的概率: 在H0成立的情况下,统计学家估算出如下的概率:

P ( K ≥ 6.635) ≈ 0.01
2

也就是说, 成立的情况下,对随机变量K 也就是说,在H0成立的情况下,对随机变量K2进行多次
k ≈ 5 6 . 6 3 2

观测,观测值超过6.635的频率约为0.01,是一个小概 观测, 观测值超过6 635的频率约为0 01, 的频率约为 率事件.现在K 的观测值为56 632,远远大于6 635, 56. 率事件.现在K2的观测值为56.632,远远大于6.635,所 以有理由断定H 不成立,即认为"吸烟与患肺癌有关系" 以有理由断定H0不成立,即认为"吸烟与患肺癌有关系" 但这种判断会犯错误,犯错误的概率不会超过 但这种判断会犯错误,犯错误的概率不会超过0.01,即 , 我们有99%的把握认为"吸烟与患肺癌有关系" 我们有 %的把握认为"吸烟与患肺癌有关系".

独立性检验: 独立性检验: 利用随机变量K 来确定在多大程度上可以认为" 利用随机变量 K 2 来确定在多大程度上可以认为 " 两个 分类变量有关系" 分类变量有关系 " 的方法称为两个分类变量的独立性 检验. 检验. 就判断H 不成立;否则就判断H 成立. 如果 k ≥ 6.635 ,就判断 0不成立;否则就判断 0成立

P ( k ≥ 6.635) ≈ 0.01

独立性检验的基本思想: 独立性检验的基本思想: 类似于数学上的反证法, 两个分类变量有关系" 类似于数学上的反证法,对"两个分类变量有关系" 这一结论成立的可信程度的判断: 这一结论成立的可信程度的判断: 假设该结论不成立,即假设结论" (1)假设该结论不成立,即假设结论"两个分类变量 没有关系"成立. 没有关系"成立. 在假设条件下,计算构造的随机变量K (2)在假设条件下,计算构造的随机变量K2,如果由 观测数据计算得到的K 很大, 观测数据计算得到的 K 2 很大 , 则在一定程度上说明假 设不合理. 设不合理. 根据随机变量K 的含义,可以通过( (3)根据随机变量K2的含义,可以通过(2)式评价假 设不合理的程度,由实际计算出的k> 635, k>6 设不合理的程度,由实际计算出的k>6.635,说明假设 不合理的程度约为99 99% 两个分类有关系" 不合理的程度约为99%,即"两个分类有关系"这一结 论成立的可信程度约为99 99% 论成立的可信程度约为99%.

一般地,假设有两个分类变量X 一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值 分别为{x },其样本频数列联表 其样本频数列联表( 分别为 {x 1 ,x 2 } 和 {y 1 ,y 2 }, 其样本频数列联表 ( 称为 列联表) 2x2列联表)为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系, 利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,能 较精确地给出这种判断的可靠程度. 较精确地给出这种判断的可靠程度. 具体作法是: 具体作法是: (1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0; 根据实际问题需要的可信程度确定临界值k (2)由观测数据计算得到随机变量 2的观测值 ; )由观测数据计算得到随机变量K 的观测值k; (3)如果 )如果k>6.635,就以 1-P(K2≥6.635)×100%的 , × 的 把握认为" 与 有关系 有关系" 把握认为"X与Y有关系";否则就说样本观测数据没 有提供"X与Y有关系"的充分证据. 有提供" 与 有关系"的充分证据 有关系

临界值
P ( K 2 ≥ k ) 0.50

0.40

0.5

0.15

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(1)如果k>10.828,就有99.9%的把握认为"X与Y有关系" 如果k>10.828,就有99. 的把握认为" k>10 99 有关系" (2)如果k>7.879,就有99.5%的把握认为"X与Y有关系"; 如果k>7 879,就有99. 的把握认为" 有关系" k> 99 (3)如果k>6.635,就有99%的把握认为"X与Y有关系"; 如果k>6 635,就有99%的把握认为" 有关系" k> 99 (4)如果k>5.024,就有97.5%的把握认为"X与Y有关系"; 如果k>5 024,就有97. 的把握认为" 有关系" k> 97 如果k> 841,就有95 的把握认为" k>3 95% 有关系" (5)如果k>3.841,就有95%的把握认为"X与Y有关系"; 如果k> 706,就有90 的把握认为" k>2 90% 有关系" (6)如果k>2.706,就有90%的把握认为"X与Y有关系"; 如果k<= 706, k<=2 (7)如果k<=2.706,就认为没有充分的证据显示 有关系" "X与Y有关系".

在某医院,因为患心脏病而住院的665名男 例1 在某医院,因为患心脏病而住院的 名男 性病人中, 人秃顶; 性病人中 , 有 214人秃顶; 而另外 人秃顶 而另外772名不是因 名不是因 为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶. 人秃顶. 为患心脏病而住院的男性病人中有 人秃顶 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患 心脏病是否有关系? 心脏病是否有关系 ? 你所得的结论在什么范围 内有效? 内有效?
患心脏病 600 500 400 300 200 100 0 214 175 451 患其他病 597

患其他病

秃头 不秃头

患心脏病

解:根据题目所给数据得到如下列联表1-13:
总计 因为这组数 据来自住院 389 秃顶 的病人,因 1048 不秃顶 此所得到的 1437 总计 结论适合住 院的病人群 根据联表1-13中的数据,得到 中的数据, 根据联表 中的数据 体.
2

患心脏病 不患心脏 病 214 175 451 597 665 772

1437 × (214 × 597 175 × 451) K = ≈ 16.373 > 6.635. 389 ×1048 × 665 × 772
2

所以有99%的把握认为 " 秃顶患心脏病有 的把握认为 所以有 关".

例 2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之 间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300 间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取 名学生,得到如下联表: 名学生,得到如下联表:
喜欢数学课 不喜欢数学 课程 程 37 85 35 143 72 228 总计 122 178 300

男 女 总计

由表中数据计算K 的观测值k≈4.513.在 由表中数据计算 2的观测值 . 多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜 欢数学课程之间有关系?为什么? 欢数学课程之间有关系?为什么?

在假设" 解 : 在假设 " 性别与是否喜欢数学课程之间 的关系"的前提下K 应该很小, 的关系"的前提下 2应该很小,并且

P( K ≥ 3.841) ≈ 0.05,
2

而我们所得到的K 2 的观测值 而我们所得到的 的观测值k≈4.513超过 超过 3.841,这就意味着"性别与是否喜欢数学 ,这就意味着" 课程之间的关系" 课程之间的关系"这一结论错误的可能性 约为0.05(或小于 0.05 ) ,即有95%(或 大于 95%)的把握认为"性别与是否喜欢 数学课程之间有关系".


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