重庆市万州二中2011届高三年级3月月考数学文

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重庆万州二中 2011 届高三年级 3 月月考

数学文试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1. 如果 A = {x | x > ?1} ,那么正确的结论是 A. 0 ? A B. {0} ∈ A C.{0} ? A ≠ D. ? ∈ A ( ) ( )

2. 已知等差数列 {an } 中,若 a1 + a 20 = 6 ,则前 20 项的和 S 20 等于 A.30 3. 已知 tan(α ? A. 1 B.60 C.90 D.120

π

3 π 2 ) = , tan( + β ) = ,则 tan(α + β ) 的值为 6 7 6 5 29 1 B. C. D.-1 41 41
2 ,且 a ⊥ (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角是
D.135°





4.已知 | a |= 1, | b |=





A.30° B.45° C.90° 5.m=-2 是直线(2-m) x +m y +3=0 与直线 x -m y -3=0 垂直的 A.充分不必要条件 C.充要条件





B.必要不充分 D.非充分也非必要条件
?1

6. 已知函数 f ( x ) = e 2 x ? 1 ( x > 0) ( e 是自然对数的底数) 的反函数为 f A. f ?1 ( x) = 2ln( x + 1) ( x > ?1) C. f
?1

( x) , ( 则有



B. f ?1 ( x ) = ln

x ? 1 ( x > 1)

( x ) = ln x + 1 ( x > 0)

D. f ?1 ( x) = 2ln( x + 1) ( x > 0)

7.关于直线 m, n 与平面 α , β ,有以下四个命题: ①若 m // α , n // β 且 α // β ,则 m // n ;①若 m ⊥ α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m ⊥ n ; ①若 m ⊥ α , n // β 且 α // β ,则 m ⊥ n ;③若 m // α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m // n ;
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其中真命题的序号是 A.①① B.①③ 8. 下列各式中最小值是 2 的是

( C.①③ D.①① ( C.tanx+cotx D. 2 x + 2 ? x

) )

x y A. + y x

B.

x2 + 5 x +4
2

9.半径为 1 的球面上有三点 A、B、C,其中 A 与 B、C 两点间的球面距离均为

π
2

,B、C

两点间的球面距离为

π
3

,则球心到平面 ABC 的距离为





A.

21 14

B.

21 7

C.

2 21 7

D.

3 21 7

10.2 位男生 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且仅有两位 女生相邻,则不同排法的种数是 ( ) A.60 B.36 C.42 D.48 填空题: 小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在 ?ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别是 a ,b , c ,已知 a + b ? c =
2 2 2

2ab ,

则 ∠C =
10

. (用数字作答) .

1 ? ? 12. ? x ? ? 的常数项是 3 x? ?

13.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 _ .

?x ≥ 0 ? 14.已知实数 x, y 满足条件 ? y ≥ x ,则 Z = x + y 的最大值为 ? ?3 x + 4 y ≤ 12
15.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2 ) + y 2 = 3 ,则
2



y 的最大值是 x



小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 解答题( 16. (本小题满分 13 分) 从 5 个男生,4 个女生中选 3 人参加课外活动。 (1)求男生甲必须参加的概率。 (2)求男女生至少都有一名的选法有多少种。 (注:结果用数字作答)

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) =

3 (cos 2 x ? sin 2 x) + 2 sin x cos x .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;
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(Ⅱ)设 x ∈ [ ?

π π

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递减区间. 3 3

ax 18. (本小题满分 13 分)已知 a < 1 ,解关于 x 的不等式 >1. x?2

19. (本小题满分 12 分)如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AB = 5 , AA1=3,点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证: AC ⊥ BC1 (Ⅱ)求二面角 D ? CB1 ? B 的大小.

20. (本小题满分 12 分) 正项数列满足:a 0 = 0 ,a1 = 1 , Pn ( 点 (1)求证: a n +1 + a n ?1 =

a n +1 a n ?1 5 , ) 在圆 x 2 + y 2 = 上,(n ∈ N * ) an an 2

5 an ; 2

(2)若 bn = a n +1 ? 2a n (n ∈ N ) ,求证:数列 {bn } 是等比数列; (3)求和: b1 + 2b2 + 3b3 + L + nbn

21. (本小题满分 12 分) 如图点 F 为双曲线 C 的左焦点,左准线 l 交 x 轴于点 Q ,点 P 是 l 上的一点

| PQ |=| FQ |= 1 ,且线段 PF 的中点 M 在双曲线 C 的左支上.

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(1)求双曲线 C 的标准方程; (2)若过点 F 的直线 m 与双曲线 C 的左右两支分别交于 A 、 B 两点,设 FB = λ FA , 当 λ ∈ [6, +∞) 时,求直线 m 的斜率 k 的取值范围.
l
P M Q F

uuu r

uuu r

y

A

O

x

B
m

参考答案
一、CBABA 二、11. 45 14.
o

CDDBD 12. 210 13. ( x ? 1) 2 + ( y + 1) 2 = 2 (或 x 2 + y 2 ? 2 x + 2 y = 0 ),

24 7

15. 3

三、解答题: 16.解: (1)设男生甲必须参加为事件 A 则 P ( A) =

C8 C9

2 3

=

1 3

1 ∴ 男生甲必须参加的概率是 -------------------6 分 3
(2)男女生至少都有一名的选法有 C 5 ? C 4 + C 5 ? C 4 = 70
2 1 1 2

∴ 男女生至少都有一名的选法有 70 种-----------13 分
17.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) = = 3 cos 2 x + sin 2 x

3 (cos 2 x ? sin 2 x) + 2 sin x cos x

π? ? = 2 sin ? 2 x + ? 3? ?
∴ f ( x) 的最小正周期为 π .

………… 3 分

…………………

5分

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(Ⅱ)∵ x ∈ [ ?

π π
3 3 ,

] , ∴?

π
3

≤ 2x +

π
3

≤π ,

∴?

3 π ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 . 2 3

∴ f (x) 的值域为
Q y = sin(2 x +

[?
π
3

3 ,2 .

]

……………… 11 分

) 递减. ∴

π
2

≤ 2x +

π
3

≤ π ,即

π
12

≤x≤

π
3



故 f ( x ) 的递增区间为 ? 18. 解:不等式

?π π ? , ?. ?12 3 ?

……………………13 分

ax (a ? 1) x + 2 > 0 .--------3 分 > 1 可化为 x?2 x?2 2 x? 1 ? a < 0 ,-------8 分 ∵ a < 1 ,∴ a ? 1 < 0 ,则原不等式可化为 x?2 2 故当 0 < a < 1 时,原不等式的解集为 {x | 2 < x < } ;--------10 分 1? a
当 a = 0 时,原不等式的解集为 φ ;---------11 分 当 a < 0 时,原不等式的解集为 {x |

2 < x < 2} .-------13 分 1? a

19.解: (本小题满分 12 分) (Ⅰ)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,

Q AC 2 + BC 2 = AB 2 ,∴ AC∴BC,………………………2 分
又 AC∴ C1C ,且 BC I C1C = C ,


∴ AC∴平面 BCC1 ,又 BC1 ? 平面 BCC1

…………………………………4 分

∴ AC∴BC1 .…………………………………………………………5 分 (Ⅱ)取 BC 中点 E ,过 D 作 DF ⊥ B1C 于 F ,连接 EF .
C1 B1

Q D 是 AB 中点,∴ DE / / AC .
又 AC ⊥ 平面 BB1C1C 又Q DF ⊥ B1C , , ∴ DE ⊥ 平面 BB1C1C .

A1 F C D A E B

∴ EF ⊥ B1C .

∴ ∠EFD 是二面角 D ? B1C ? B 的平面 角.…………………………………………………8 分 在 ?DEF 中,求得 DE = ∴ tan ∠EFD =

3 3× 4 6 , EF = = . 2 5× 2 5

DE 5 = . EF 4

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∴二面角 D ? B1C ? B 的大小为 arctan 分

5 . …………………………………………12 4

20.解: (Ⅰ)由题意:

a n +1 a n ?1 5 5 + = ∴ a n +1 + a n ?1 = a n ……………2 分 an an 2 2

5 1 1 a n ? a n ?1 ? 2a n = (a n ? 2a n +1 ) = bn ?1 (n ≥ 1) 2 2 2 1 n 数列 {bn } 满足: b0 = a1 ? 3a 0 = 1 ,故 bn = ( ) ……………6 分 2 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n (Ⅲ)令 S n = + 2 ? ( ) + 3 ? ( ) + L + ( n ? 1)( ) + n ? ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 S n = ( ) + 2 ? ( ) + 3 ? ( ) L + (n ? 1)( ) + n ? ( ) n +1 ………8 分 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n +1 1 1 相减得: S n = + ( ) + ( ) + L + ( ) ? n ? ( ) = 1 ? ( ) n ? n( ) n +1 2 2 2 2 2 2 2 2 n 1 = 1 ? ( + 1) ? ( ) n ………10 分 2 2 1 n ∴ S n = 2 ? ( n + 2) ? ( ) ……………12 分 2
(Ⅱ) (Ⅰ) bn = a n +1 ? 2a n = 由 知: 21. 解: (Ⅰ)设双曲线方程为 则 c 2 = a 2 + b 2 , | FQ |= c ?

x2 y2 ? = 1( a > 0 , b > 0 ) , a2 b2
a2 = 1 ,∴ b 2 = c .------------------------(2 分) c

1 1 ( ? c) 2 ( ) 2 1 1 又 M (?c + , ) 在双曲线上,∴ 2 2 ? 22 = 1 . 2 2 a b

联立①①①,解得 a = b = 2 , c = 2 .∴双曲线方程为 x 2 ? y 2 = 2 .--------(4 分) 注:对点 M 用第二定义,得 e = 2 ,可简化计算. (Ⅱ) F (?2,0) ,设 A( x1 , y 2 ) , B( x 2 , y 2 ) ,m: y = k ( x + 2) ,则 由 FB = λ FA ,得 x 2 = λ ( x1 + 2) ? 2 , y 2 = λy1 .--------------------(6 分)
? y = k ( x + 2) 由? 2 ,得 (1 ? k 2 ) y 2 ? 4ky + 2k 2 = 0 . x ? y2 = 2 ?

∴ y1 + y 2 =

4k 2k 2 , y1 y 2 = . ? = 16k 2 ? 8k 2 (1 ? k 2 ) = 8k 2 (1 + k 2 ) . 2 2 1? k 1? k
4k 2k 2 , y1 y 2 = ,---------------------(8 分) 1? k2 1? k2

由 y 2 = λy1 , y1 + y 2 =

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消去 y1 , y 2 , 得
8 1? k
2

=

(1 + λ ) 2

λ

=λ +

1

λ

+ 2 .------------------------(9 分)
1 + 2 在 (1,+∞) 上单调递增,

∵ λ ≥ 6 ,函数 g (λ ) = λ + ∴
8 1? k
2

λ

≥6+

1 49 1 +2= ,∴ k 2 ≥ .------------------------(10 分) 6 6 49

又直线 m 与双曲线的两支相交,即方程 (1 ? k 2 ) y 2 ? 4ky + 2k 2 = 0 两根同号, ∴ k 2 < 1 .------------------------------------------------(11 分) ∴
1 ≤ k 2 < 1 ,故.------------------------(12 分) 49

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