云南省德宏州芒市第一中学高中数学1.2.1几个常用函数的导数教学设计新人教A版选修2_2

1.2.1 几个常用函数的导数 一、教学目标 1 .使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y ? 1 x 的导数公式; 2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数. 二、预习导学 我们知道 ,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某 一时刻的瞬时速度.那么,对于函数 y ? f ( x) ,如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以 求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦, 有时甚至很困难, 为了能够较快地求出某些函 数的导数, 这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法, 下面我们求几个常用的函数的导 数. 三、问题引领,知识探究 1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 根据导数定义,因为 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y ? lim 0 ? 0 所以 y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 函数 导数 y?c y? ? 0 y? ? 0 表示函 数 y ? c 图像上每一点处的切线的斜率都为 0.若 y ? c 表示路程关于时间的 函数,则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静 止状态. 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 因为 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y ? lim 1 ? 1 所以 y? ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 函数 导数 y?x y? ? 1 y ? ? 1 表示函数 y ? x 图像上每一点处的切线的斜率都为 1.若 y ? x 表示路程关于时间的 函数,则 y ? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动. 3.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 2 1 因为 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x)2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x ? x 2 ? 2 x?x ? (?x)2 ? x 2 ? 2 x ? ?x ?x ?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?x?0 函数 导数 所以 y? ? lim ?x ?0 y ? x2 y? ? 2 x y? ? 2 x 表示函数 y ? x2 图像上点 ( x , y ) 处的切线的斜率都为 2 x ,说明随着 x 的变化,切 线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x2 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的 增加,函数 y ? x2 增加得越来越快.若 y ? x2 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? 2 x 可以解释为某物体做变速 运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x . 4.函数 y ? f ( x ) ? 1 的导数 x 1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x ? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x 所以 y? ? lim ?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 x ? x ? ?x x 函数 导数 y? 5.函数 y ? 1 x y? ? ? 1 x2 x 的导数 因为 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? ?x ?x ? x ? ?x ? x ?x ( x ? ?x ? x )( x ? ?x ? x ) ?x( x ? ?x ? x ) 1 ? x ? ?x ? x 2 所以 y? ? lim ?y 1 1 ? lim ( )? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x 函数 导数 y? x y? ? 1 2 x 6 推广:若 y ? f ( x) ? xn (n ? Q* ) ,则 f ?( x) ? nxn?1 (三)例题精析 例题:在同一坐标系中画出函数 y ? 2 x, y ? 3x, y ? 4 x 的图像,并根据导数的定义,求出 它们的 导数。 (1) 从图像上看,它们的导数分别是什么? (2) 这三个函数中哪一个增加的最快 ?哪一个增加的最慢? (3) 函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关? 解 :略 四、目标检测 画出函数 y ? 1 的图像,根据图像描述它的变化情况,并求出曲线在点 (1,1) 处的切线方程。 x 五、分层配餐 3

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