高中数学知识点第四章-三角函数

高中数学第四章-三角函数 考试内容: 角的概念的推广 任意角的 导公式 两角和 差的 函数 余 余 二倍角的 周期函数 余 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像 函数的 角函数 度制 单位圆中的 角函数线 同角 角函数的基本关系式“ 余 的诱

函数的图像和性质

图像和性质 已知 角函数值求角 定理 余 定理 斜 角形解法 考试要求: 1 理解任意角的概念 2 掌握任意角的 余 度的意义能 确地进行 度 角度的换算 的定义 了解余 割 余割的定义 掌握同角

角函数的基本关系式 掌握 3 掌握两角和 两角差的

余 的诱导公式 了解周期函数 最小 周期的意义 余 公式 掌握二倍角的 余 公式

4 能 确运用 角公式 进行简单 角函数式的化简 求值和恒等式证明 5 理解 函数 余 函数 函数的图像和性质 会用 五点法 画 函数 余

函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图 理解 A“ω φ的物理意义 6 会由已知 角函数值求角 并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示 7 掌握 8 定理 余 定理 并能初 运用它们解斜 角形

同角 角函数基本关系式 sin2α+cos2α=1 sinα”cosα=tanα,tanα?cosα=1

第 1 页 共 1 页

§04. 三角函数 知识要点 1“
α

02≤ α
o

360 2

终边相同的角的集合

角α

角 β 的终边重合


{β | β = k × 360

+α, k ∈ Z

} {β | β = k ×180 , k ∈ Z }
o
4 cosx

y
2 sinx 1 cosx cosx 4

3 sinx

终边在 x 轴 的角的集合 终边在 y 轴 的角的集合 终边在坐标轴 的角的集合 终边在 y=x 轴 的角的集合 终边在 y = ? x 轴 若角 α 若角 α 若角 α 角α 2“ 角度 注意

x

{β | β = k ×180

o

+ 90 o , k ∈ Z
o

} } }

cosx 1 sinx 2 sinx 3

{β | β = k × 90 , k ∈ Z } {β | β = k ×180
o

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

+ 45 , k ∈ Z
o o

的角的集合

{β | β = k ×180
则角 α 则角 α 则角 α

? 45 o , k ∈ Z

角 β 的终边关于 x 轴对 角 β 的终边关于 y 轴对 角 β 的终边在一条直线 角 β 的终边互相垂直 则角 α

角 β 的关系 角 β 的关系 角 β 的关系

α = 360 o k ? β α = 360 o k + 180 o ? β α = 180 o k + β

角 β 的关系

α = 360 o k + β ± 90 o

度的互换关系 3602=2 π 1802= π 12=0“01745 1=57“302=57218′ 角的 度数为 数 负角的 度数为负数 零角的 度数为零“
180 2≈57“302=57218ˊ

度 角度互换公式 3 4 长公式

1rad

π

12

π ≈0“01745
180

rad

l =| α | ?r “

扇形面 公式

s扇形 =

1 1 lr = |α | ? r 2 2 2
y a的 的的
P( x,y) r

角函数 设 α 是一个任意角 在 α 的终边 任取 异于 P 原点的距离为 r 则
cot α = x y

原点的 一点 P x,y
cos α = x r

sin α =

y r

tan α =

y x

secα =

r x

“ csc α = r “
y

o

x

5

角函数在各象限的符号

一全二

四余

第 2 页 共 2 页

y

y

+ + o x 正余 、余正

- + o - + x
余余 、正正

y

y P T

- + o x + 正正 、余正
O

M

Ax

6

角函数线 线 正P; 余 线 步正;

16. 几几几几几几 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

线

AT“

cosx>sinx |sinx|>|cosx| π (3) 若 o<x< ,则 sinx<x<tanx 2

7“

角函数的定义域 角函数
f ( x) = sinx f ( x) = cosx f ( x) = tanx f ( x) = cotx f ( x) = secx f ( x) = cscx

定义域

{x | x ∈ R} {x | x ∈ R}
1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ? {x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z } 1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ? {x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z }
sin α = tan α cos α

8 同角 角函数的基本关系式
tan α ? cot α = 1 csc α ? sin α = 1
2 2 2 2

cos α = cot α sin α

secα ? cosα = 1

sin α + cos α = 1 sec α ? tan α = 1 csc 2 α ? cot 2 α = 1

9 诱导公式
把 kπ ± α的三角函数化为α的三角函数 概括为: 2

奇变偶 变 符号看象限 角函数的公式 一 基本关系

第 3 页 共 3 页

公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1 tanx= x=
sin x cos x cos x sin x

式组二
sin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

式组三
sin(? x) = ? sin x cos(? x) = cos x tan(? x) = ? tan x cot(? x ) = ? cot x

sin(2kπ + x) = sin x cos(2kπ + x) = cos x tan(2kπ + x) = tan x cot(2kπ + x) = cot x

式组四
sin(π + x) = ? sin x cos(π + x) = ? cos x tan(π + x) = tan x cot(π + x) = cot x

式组五
sin(2π ? x ) = ? sin x cos(2π ? x) = cos x tan(2π ? x) = ? tan x cot(2π ? x) = ? cot x

式组
sin(π ? x) = sin x cos(π ? x) = ? cos x tan(π ? x) = ? tan x cot(π ? x) = ? cot x

二 角 角之间的互换

式组一
cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β tan α + tan β 1 ? tan α tan β tan α ? tan β 1 + tan α tan β

式组二
sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α

tan 2α =
sin

2 tan α 1 ? tan 2 α
1 ? cos α 2 1 + cos α 2

α
2



tan(α + β ) =

cos

α
2



tan(α ? β ) =

tan

α
2



1 ? cos α sin α 1 ? cos α = = 1 + cos α 1 + cos α sin α

式组三
2 tan sin α =

α
2

1 + tan 2 1 ? tan 2 cos α = 1 + tan
2

α
2

α α
2 2

1 式组四 sin α cos β = [sin (α + β ) + sin (α ? β )] 2 1 cos α sin β = [sin (α + β ) ? sin (α ? β )] 2 1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α ? β )] 2 1 sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] 2 sin α + sin β = 2 sin

式组五

α+β α+β
2 2

cos sin

α ?β α?β
2 2

sin α ? sin β = 2 cos

1 cos( π ? α ) = sin α 2 1 sin( π ? α ) = cos α 2 1 tan( π ? α ) = cot α 2 1 cos( π + α ) = ? sin α 2

第 4 页 共 4 页

2 tan tan α = 1 ? tan
sin 15 o = cos 75 o =

α
2
2

α
2

cos α + cos β = 2 cos

cos 2 2 α+β α?β cos α ? cos β = ?2 sin sin 2 2

α+β

α?β

1 tan( π + α ) = ? cot α 2 1 sin( π + α ) = cos α 2

6? 2, sin 75 o = cos15 o = 4

6 + 2 , tan15o = cot 75o = 2 ? 3 , tan 75 o = cot 15 o = 2 + 3 “ 4

10“


y = sin x



函数的图象的性质
y = tan x y = cot x
y = A sin (ωx + ? )

y = cos x

A 定义域 值域 周期性 奇偶性 R
[?1,+1]

ω

0

R
[?1,+1]

1 ? ? ? x | x ∈ R且 x ≠ k π + π , k ∈ Z ? 2 ? ?

{x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z }
R
π

R

R
π

[? A, A]






ω

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

当 ? ≠ 0, 非奇非偶 当 ? = 0, 奇函数

[?

π
2

+ 2kπ ,

[(2k ? 1)π , 2kπ ]

π ? π ? ? ? + kπ , + kπ ? 2 ? 2 ?

(kπ , (k + 1)π )

k∈Z

为减函

π
2

+ 2kπ ]

为增函 数
[2kπ , (2k + 1)π ]

为 增 函 数
k∈Z

为增函 数
[

? ? 2kπ ? ? ? ? 2kπ ? ?

? ? ( A), ? ω ? ? 1 + π ?? ? 2 (? A)? ω ? ? 2 ??

π

为增函数
? ? 2kπ ? ? ? ? 2kπ ? ? ? ? ( A), ? ω ? ? 3 + π ?? ? 2 (? A)? ω ? + 2 ??

π

2 3π + 2kπ ] 2

+ 2kπ ,

为减函 数
k∈Z

π

单调性

为减函 数 k∈Z

为 减 函 数
k∈Z
第 5 页 共 5 页

注意

y = ? sin x

y = sin x 的单调性

好相反

y = ? cos x

y = cos x 的单调性也同样相


反“一般地 若 y = f ( x ) 在 [a, b]
y = sin x

递增 减

则 y = ? f ( x ) 在 [ a, b]

递减 增

y



y = cos x 的周期是 π “

x

y = sin(ωx + ? ) 或 y = cos(ωx + ? )
y = tan x 的周期为 2 π 2
T=

ω ≠0

的周期 T =



O

ω



π ? T = 2π ω

如图 翻折无效 “

y = sin(ωx + ? ) 的对

轴方程是 x = kπ +
k∈Z

π
2

k∈Z

对 中心

kπ ,0

y = cos(ωx + ? ) 的



轴方程是 x = kπ
原点对称

对 中心 kπ + 1 π ,0
2

y = tan(ωx + ? ) 的对 中心
π
2

kπ ,0 “ 2

y = cos 2 x ?? ? ?→ y = ? cos( ?2 x ) = ? cos 2 x

当 tan α · tan β = 1, α + β = kπ +
y = cos x

π
2

(k ∈ Z )

tan α · tan β = ?1, α ? β = kπ +

(k ∈ Z ) “

π ? ? y = sin ? x + + 2kπ ? 是同一函数,而 y = (ωx + ? ) 是偶函数 2 ? ?



1 y = (ωx + ? ) = sin(ωx + kπ + π ) = ± cos(ωx ) “ 2

函数 y = tan x 在 R

为增函数“ ⑦

[ 能在某个单调区间单调递增“ 若在整个定义域

y = tan x 为增函数 同样也是错误的]“
定义域关于原点对 是 f ( x ) 义域关于原点对
f (? x ) = ? f ( x )

有奇偶性的必要 充 条件“ 奇偶性的两个条件 一是定 二是满足奇偶性条件 偶函数
f ( ? x ) = f ( x)

奇偶都要

奇函数

奇偶性的单调性 义域 关于原点对

奇同偶反“ 例如

y = tan x 是奇函数

1 y = tan( x + π ) 是非奇非偶“ 3



奇函数特有性质 若 0 ∈ x 的定义域 则 f ( x ) 一定有 f (0) = 0 “ 质

0 ? x 的定义域 则无 性



y = sin x

是周期函数 如图

y = sin x 为周期函数

T =π T =π

y



y

x

1/2 x

y = cos x 是周期函数

y = cos x 为周期函数

y=cos|x|图象

y=|cos2x+1/2|图象

第 6 页 共 6 页

y = cos 2 x +

1 的周期为 π 2

如图

并非所有周期函数都有最小 周期

例如

y = f ( x) = 5 = f ( x + k ), k ∈ R “
y = a cos α + b sin β = a 2 +b 2 sin(α + ? ) + cos ? = b 有 a 2 +b 2 ≥ y “ a

11

角函数图象的作法

几何法 描点法及 曲线 “ 利用图象变换作 角函数图象 角函数的图象变换有振幅变换 周期变换和相位变换等 函数 y Asin ωx 即当 x 0 时的相位 φ 的振幅|A| 周期 T = 2π
|ω |

特例——五点作图法



曲线

点二线作图法



频率 f = 1 = | ω |
T 2π

相位 ω x + ? ; 初相 ?

当 A 0 ω 0 时以 公式可去绝对值符号 当0 用

由 y sinx 的图象 的点的横坐标保持 变 纵坐标伸长 当|A| 1 或缩短 |A| 1 到原来的|A|倍 得到 y Asinx 的图象 y”A 替换 y 由 y sinx 的图象 的点的纵坐标保持 变 横坐标伸长 0 |ω|

做振幅变换或 沿 y 轴的伸缩变换

1 或缩短

|ω|

1 到原来的 | 1 | 倍 得到 y sinω x 的图象
ω

做周期变换或 做沿 x 轴的伸缩变换 (用

ωx 替换 x) 由 y sinx 的图象 所有的点向左 当φ 0 或向右 位 x) 由y 位 sinx 的图象 所有的点向 当 b 0 或向 当 b 0 平行移动|b|个单 得到 y sin x φ 的图象 当φ 0 平行移动|φ|个单

做相位变换或 做沿 x 轴方向的平移 (用 x φ替换

得到 y sinx b 的图象

做沿 y 轴方向的平移
第 7 页 共 7 页

用 y+(-b)替换 y

由 y sinx 的图象利用图象变换作函数 y Asin ωx

φ

A 0 ω 0

x∈R 的

图象 要特别注意 当周期变换和相位变换的先后顺序 同时 原图象延 x 轴量伸缩量的区 别 4、反三角函数: 函数 y sinx
? ? π π ? ? 的反函数 ? ? x ∈ ?? ? ? ? 2 2? ?? ?
? ?

做反正弦函数 记作 y arcsinx 它的定义域是[

1 1] 值域是 ? 函数 y

π π?
2 2? ?

cosx

x∈[0 π] 的反应函数 做反余弦函数 记作 y arccosx 它的定

义域是[ 1 1] 值域是[0 π] 函数 y tanx ∞ 函数 y 域是 ∞ ∞
? ? π π ? ? 的反函数 ? ? ? x ∈ ?? 2 2 ?? ? ?? ?

做反正切函数 记作 y arctanx 它的定义域是

值域是 ? ? π

π? ? ? ? 2 2?

ctgx [x∈ 0 π ]的反函数 做反余切函数 记作 y arcctgx 它的定义 ∞ 值域是 0

π

II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1“ 反 角函数 反 函数 y = arcsin x 是奇函数 故 arcsin(? x) = ? arcsin x x ∈ [? 1,1] 一 没有 x

定要注明定义域 若 x ∈ (? ∞,+∞) 注

y 一一对应 故 y = sin x 无反函数

sin(arcsin x) = x

x ∈ [? 1,1]

? π π? arcsin x ∈ ?? , ? “ ? 2 2?

反余 函数 y = arccos x 非奇非偶 但有 arccos(? x) + arccos( x) = π + 2kπ 注

x ∈ [? 1,1] “

cos(arccos x) = x
y = cos x 是偶函数

x ∈ [? 1,1]

arccos x ∈ [0, π ] “

y = arccos x 非奇非偶

而 y = sin x 和 y = arcsin x 为奇函数“ 值域



函数

y = arctan x

定义域 ( ?∞,+∞ )

?

π π

, 2 2

y = arctan x 是奇函数

第 8 页 共 8 页

arctan(? x) = ? arctan x

x ∈ (?∞,+∞) “ x ∈ (?∞,+∞ ) “
定义域 ( ?∞ ,+∞ ) 值域



tan(arctan x) = x
反余 函数

y = arc cot x

?

π π

, 2 2

y = arc cot x 是非奇非偶“

arc cot(? x) + arc cot( x) = π + 2kπ


x ∈ (?∞,+∞) “

cot( arc cot x) = x
y = arcsin x

x ∈ (?∞,+∞) “
y = arc cot x

y = arcsin(1 ? x) 互为奇函数 y = arctan x 同理为奇而 y = arccos x

非奇非偶但满足 arccos( ? x ) + arccos x = π + 2kπ , x ∈ [?1,1]arc cot x + arc cot( ? x ) = π + 2kπ , x ∈ [?1,1] “


a 的取值范围

余 函数的解集 解集
a 的取值范围 cos x = a 的解集

解集

sin x = a 的解集

a

1

?

a

1

?

a =1
a
1

{x | x = 2kπ + arcsin a, k ∈ Z }

a =1

{x | x = 2kπ + arccos a, k ∈ Z }

{x | x = kπ + (? 1)
{

k

arcsin a , k ∈ Z

}
}

a

1

{x | x = kπ ± arccos a, k ∈ Z }

tan x = a 的解集: {x | x = kπ + arctan a , k ∈ Z } cot x = a 的解集: x | x = kπ + arc cot a, k ∈ Z

二、三角恒等式. sin 2 n +1α cos α cos 2α cos 4α ... cos 2 n α = n +1 2 sin α 组一

sin 3α = 3 sin α ? 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos 3 α ? 3 cos α

sin 2 α ? sin 2 β = sin (α + β ) sin (α ? β ) = cos 2 β ? cos 2 α

组二
第 9 页 共 9 页

∏ cos 2
k =1

n

α
k

= cos

α
2

cos

α
4

cos

α
8

L cos

α
2
n

=

sin α 2 n sin

α
2n

∑ cos( x + kd ) = cos x + cos( x + d ) + L + cos( x + nd ) =
k =0

n

sin(( n + 1) d ) cos( x + nd ) sin d

∑ sin( x + kd ) = sin x + sin( x + d ) + L + sin( x + nd ) =
k =0

n

sin(( n + 1) d ) sin( x + nd ) sin d

tan(α + β + γ ) =

tan α + tan β + tan γ ? tan α tan β tan γ 1 ? tan α tan β ? tan β tan γ ? tan γ tan α

组三 三角函数不等式
sin x
x

tan x, x ∈ (0, ) 2

π

f ( x) =

sin x 在 (0, π ) x

是减函数

若 A+ B +C = π

则 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 yz cos A + 2 xz cos B + 2 xy cos C

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