2017_2018学年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介2球坐标系学案含解析新人教A版选修4_4

2.球坐标系

球坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系 Oxyz,设 P 是空间任意一点,连接 OP,记|OP|=r,OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ .设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q,Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时 所转过的最小正角为 θ .这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ ,θ )表示.这样,空间 的点与有序数组(r,φ ,θ )之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做 球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ ,θ )叫做点 P 的球坐标,记作 P(r,φ ,θ ), 其中 r≥0,0≤φ ≤π ,0≤θ <2π . (2) 空 间 点 P 的 直 角 坐 标 (x , y , z) 与 球 坐 标 (r , φ , θ ) 之 间 的 变 换 关 系 为

x=rsin φ cos θ , ? ? ?y=rsin φ sin θ , ? ?z=rcos φ .

将点的球坐标化为直角坐标

? 3π π ? 已知点 P 的球坐标为?4, , ?,求它的直角坐标. 4 4? ?
直接套用变换公式求解. 由变换公式,得

x=rsin φ cos θ =4sin y=rsin φ sin θ =4sin z=rcos φ =4cos

3π π cos =2. 4 4 3π π sin =2. 4 4

3π =-2 2. 4

∴它的直角坐标为(2,2,-2 2).

已知球坐标求直角坐标,可根据变换公式直接求得,但要分清哪个角是 φ ,哪个角是 θ .

1.求下列各点的直角坐标:
1

? π π? ? 3π 7π ? (1)M?2, , ?;(2)N?2, , ?. 6 3? 4 6 ? ? ?
解:(1)由变换公式,得 π 6 π 6 π 3 π 3 1 2

x=rsin φ cos θ =2sin cos = , y=rsin φ sin θ =2sin sin = z=rcos φ =2cos = 3.
3 ?1 ? ∴它的直角坐标是? , , 3?. ?2 2 ? (2)由变换公式,得 π 6 3 , 2

x=rsin φ cos θ =2sin y=rsin φ sin θ =2sin z=rcos φ =2cos

3π 7π 6 cos =- . 4 6 2 3π 7π 2 sin =- . 4 6 2

3π =- 2. 4

∴它的直角坐标为?-

? ?

6 2 ? ,- ,- 2?. 2 2 ?

2.将点 M 的球坐标(π ,π ,π )化成直角坐标. 解:∵(r,φ ,θ )=(π ,π ,π ), ∴x=rsin φ cos θ =0,

y=rsin φ sin θ =0, z=rcos φ =-π .
∴点 M 的直角坐标为(0,0,-π ). 将点的直角坐标化为球坐标 设点 M 的直角坐标为(1,1, 2),求它的球坐标. 直接套用坐标变换公式求解. 由坐标变换公式,可得

r= x2+y2+z2= 12+12+? 2?2=2.
由 rcos φ =z= 2, 得 cos φ = 2

r



2 π ,φ = . 2 4

y π 又 tan θ = =1,θ = (M 在第一象限), x 4

2

? π π? 从而知 M 点的球坐标为?2, , ?. 4 4? ?
由直角坐标化为球坐标时,我们可以先设点 M 的球坐标为(r,φ ,θ ),再利用变换公

x=rsin φ cos θ , ? ? 式?y=rsin φ sin θ , ? ?z=rcos φ ,
2

求出 r,θ ,φ 代入点的球坐标即可;也可以利用 r =x +y

2

2

2

+z ,tan θ = ,cos φ = .特别注意由直角坐标求球坐标时,θ 和 φ 的取值应首先看清 点所在的象限,准确取值,才能无误.

y x

z r

3.求下列各点的球坐标: (1)M(1, 3,2);(2)N(-1,1,- 2). 解:(1)r= x +y +z = 由 z=rcos φ ,得 cos φ = = π ∴φ = , 4 又 tan θ = = π ∴θ = , 3 π π? ? ∴它的球坐标为?2 2, , ?. 4 3? ? (2)由变换公式,得
2 2 2

1 +? 3? +2 =2 2,

2

2

2

z 2 2 = . r 2 2 2

y x

3 = 3,x>0,y>0, 1

r= x2+y2+z2=

?-1? +1 +?- 2? =2.

2

2

2

由 z=rcos φ ,得 cos φ = =- 3π ∴φ = . 4 又 tan θ = = 3π ∴θ = . 4

z r

2 . 2

y 1 =-1,x<0,y>0, x -1

3

? 3π 3π ? ∴它的球坐标为?2, , ?. 4 4 ? ?
课时跟踪检测(六) 一、选择题

? π π? 1.已知一个点的球坐标为?1, , ?,则它的方位角为( 6 3? ?
A. π 3 3π B. 4 π C. 2 π D. 6

)

解析:选 A 由球坐标的定义可知选 A. 5 ? ? 2.设点 M 的柱坐标为? 2, π , 2?,则它的球坐标为( 4 ? ? )

? π π? A.?2, , ? 4 4? ?

? π 5 π? B.?2, , 4 4 ? ? ?

? 5 π ,π ? C.?2, 4 4? ? ?

? 3 π ,π ? D.?2, 4 4? ? ?

解析:选 B 设点 M 的直角坐标为(x,y,z),

x= ? ? ?y= ? ?z=

2cos 2sin 2,

5 π , 4

5 π , 4

=-1, ?x 故?y=-1, ?z= 2. 设点 M 的球坐标为(ρ ,φ ,θ ). 则 ρ = ?-1? +?-1? +? 2? =2, π 由 2=2cos φ 知 φ = . 4 -1 又 tan θ = =1, -1 5 π 故θ = , 4
2 2 2

? π 5 π ?. 故点 M 的球坐标为?2, , 4 4 ? ? ? ? π ? 3.点 P 的球坐标为?1, ,π ?,则它的直角坐标为( 2 ? ?
)

A.(1,0,0) B.(-1,-1,0) C.(0,-1,0) D.(-1,0,0) π 解析:选 D x=rsin φ cos θ =1·sin ·cos π =-1, 2
4

y=rsin φ sin θ =1·sin ·sin π =0, z=rcos φ =1·cos =0.
∴它的直角坐标为(-1,0,0). 4.设点 M 的直角坐标为(-1,-1, 2),则它的球坐标为( ) π 2

π 2

? π π? A.?2, , ? 4 4? ?

? π 5π ? ? 5π π ? ? 3π π ? B.?2, , ? C.?2, , ? D.?2, , ? 4 4 ? 4 4? 4 4? ? ? ?

解析:选 B 由坐标变换公式,得

z 2 π r= x2+y2+z2=2,cos φ = = ,∴φ = . r 2 4 y -1 5π ∵tan θ = = =1,∴θ = . x -1 4

? π 5π ? ∴M 的球坐标为?2, , ?. 4 4 ? ?
二、填空题

? π 3π ? 5.已知点 M 的球坐标为?4, , ?,则它的直角坐标为________,它的柱坐标是 4 4 ? ?
________. 解析:由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标. 3π ? ? 答案:(-2,2,2 2) ?2 2, ,2 2? 4

?

?

6.在球坐标系中,方程 r=1 表示________. 解析:数形结合,根据球坐标的定义判断形状. 答案:球心在原点,半径为 1 的球面

? π π? ? 3π 3π ? 7.在球坐标系中 A?2, , ?和 B?2, , ?的距离为________. 4 4? 4 4 ? ? ?
解析:A,B 两点化为直角坐标分别为:A(1,1, 2),B(-1,1,- 2). ∴|AB|= [1-?-1?] +?1-1? +[ 2-?- 2?] =2 3. 答案:2 3 三、解答题 8.将下列各点的球坐标化为直角坐标.
2 2 2

? π 5π ? (1)?4, , ?; 2 3 ? ? ? 3π ? (2)?8, ,π ?. 4 ? ?

5

π 5π π 5π 解:(1)x=4sin cos =2,y=4sin sin =-2 3, 2 3 2 3

z=4cos =0,
∴它的直角坐标为(2,-2 3,0). 3π (2)x=8sin cos π =-4 2, 4

π 2

y=8sin

3π sin 4

3π π =0,z=8cos =-4 2, 4

∴它的直角坐标为(-4 2,0,-4 2). 9.如图,请你说出点 M 的球坐标.

解:

由球坐标的定义,记|OM|=R,OM 与 z 轴正向所夹的角为 φ ,设 M 在 Oxy 平面上的射影 为 Q,Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ .这样点 M 的位置就可以用有 序数组(R,φ ,θ )表示. ∴点 M 的球坐标为:M(R,φ ,θ ).

10.如图建立球坐标系,正四面体 ABCD 的棱长为 1,求 A,B,C,

D 的球坐标.(其中 O 是△BCD 的中心)
解:∵O 是△BCD 的中心, ∴OC=OD=OB= ∴C? 3 6 ,AO= . 3 3

? 3 π ? ? 3 π 2π ? , ,0?,D? , , ?, 3 ? ?3 2 ? ?3 2

B?

? 3 π 4π ? ? 6 ? , , ?,A? ,0,0?. 3 ? ?3 ?3 2 ?
6


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