四川省乐山市高中2012-2013学年度第一学期期末检测高二数学试卷(理科)
2015-1-11 数学
四川省乐山市高中 2012-2013 学年度第一学期期末检测 高二数学试卷(理科)
一、选择题：每题 5 分，共 60 分 1.“ a ? 1 ”是“直线 x ? y ? 0 和直线 x ? ay ? 0 相互垂直”的（ ）
A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件； 2.某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积为（ A.6； B.9； C.12； D.18； ）
3
正视图
6
3
侧视图
俯视图
2 2 3.已知命题 P 1 : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0; P 2 : ?x ??1,2? , x ?1 ? 0 ，
则以下命题为真命题的是（ A. ?P 1?P 2； B. P 1 ? ?P 2；
） C. ?P 1?P 2； D. P 1?P 2；
4.如图，平行六面体 ABCD ? ABC 1 1 1D 1 中，AC 与 BD 的交点为 P， 令 AB 1 1 ? a, AD 1 1 ? b, A 1A ? c ，则下列向量中与 B 1P 相等的向量是（ ）
A. ? 1 a ? 1 b ? c B. 1 a ? 1 b ? c ；C. 1 a ? 1 b ? c ；D. ? 1 a ? 1 b ? c ；
2
2
2
2
2
2
2
2
D1
C1
B1
C
p B
A1
D
A
1
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5.记集合 A ?
?? x, y ? x
2
? y 2 ? 16 和集合
?
B ? ?? x, y ? x ? y ? 4 ? 0, x ? 0, y ? 0? 表示的平面区域
分别为 ?1 ， 若 ?1 在区域内任取一点 M ? x, y ? ， 则 M 落在区域 ? 2 内的概率为 （ ） ?2 ， A. 1 ；
2?
B. 1 ；
?
C. 1 ；
4
D. ? ? 2 ；
4?
2 y 6.若抛物线 y 2 ? 2px 的焦点与双曲线 x ? ? 1 的右焦点重合，则 p 的值为（ ）
2
2
2
A.—2；
B.2；
C.—4；
D.4；
7.在 A、B 两个袋中都有 6 张分别写有数字 0，1，2，3，4，5 的卡片，现从每个袋中任 取一张卡片，则两张卡片上数字之和为 7 的概率为（ ）A. 1 ；
9
B. 1 ；
18
C. 1 ；
6
D. 1 ；
3
8.已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为 3， 体积为 6， 则这个球的表面积为 （ A. 16? ； B. 20? ； C. 24? ； D. 32? ；
）
9.已知平面上两个定点 A、B 的距离是 2，动点 M 满足条件 MA MB ? 1 ，则动点 M 的 轨迹是（ ） A.直线； B.椭； C.双曲线； D.圆；
10 正方体 ABCD ? ABC 1, BB 的中点，则 1sin?CM, D 1 1 1D 1 中，M、N 分别是 AA 1N? 的值为 （ ） C. 2 5 ； D. 2 ； 3 9 9 2 y2 11.已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点是 F1, F2 ， 设 P 是双曲线右支上一点， a b 上的投影的大小恰好为 F1P ，且它们的夹角为 ? ，则双曲线的离心率 e FF 1 2 在 FP 1 6 A. 1 ；
9
B. 4 5 ；
为（ A.
）
2 ?1 ； 2
B. 3 ? 1 ；
2
C. 3 ? 1 ；
D. 2 ? 1 ；
12.已知直线 l1 : 4x ? 3y ? 11 ? 0 和直线 l2 : x ? 1 ? 0 ，抛物线 y 2 ? 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为（ ）A.2；B.3；C. 11 ；D. 37
5
16
2
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二、填空题：每题 4 分共 16 分 13.已知 a, b, c ? R ，命题“若 a ? b ? c ? 3 ，则 a 2 ? b2 ? c2 ? 3 ” 的否命题是 14.动点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到顶点 A 的距离 PA ? 1 的概率为 15.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 8，则输入的数是
开始 输入 x
a ? x2
b ? x3
是 输出 a
a?b
否
输出 b
结束
2 y2 ? 1 的一个焦点 F 作弦 AB。若 AF ? m, BF ? n ，则 1 ? 1 ? 16.过椭圆 x ?
36
4
m
n
三、解答题：共 6 个大题，共 74 分。
3
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17. （本题 12 分） 已知 P : 1 ? x ? 1 ? 2, q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0 ? m ? 0 ? ， 若 “ ?p ” 是 “ ?q ”
3
的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围。
18（本题 12 分）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰 梯形，AD∥BC，AC⊥BD。 （1）证明：BD⊥PC； （2）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为，求四棱锥 P—ABCD 的体 积。
P
A
D
B
C
4
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19（本题 12 分）椭圆 C; x 2 ?
2
a
y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别是 F1, F2 ，过 F1 的直线 b2
l
与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。
（1）求证： AB ? 4 a ；
3
（2）若直线 程。
l
的斜率为 1，且点 ? 0,1? 在椭圆 C 上，求椭圆 C 的方
2 y2 20（本题 12 分）已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 2x ? y ? 0 ，
a
b
且顶点到渐近线的距离为 2 5 。
5
（1）求此双曲线的方程； （2）设点 P 为双曲
线上一点， A、 B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若
AP ? PB ，求△ABC 的面积。
5
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21 （本题 12 分） 在四棱锥 P—ABCD 中， AB∥CD， AB⊥AD， AB=4， AD= 2 2 ， CD=2， PA⊥平面 ABCD，PA=4. （1）设平面 PAB∩平面 PCD=m，求证：CD∥m； （2）求证：BD⊥平面 PAC；
PQ （3） 设点 Q 为线段 PB 上一点， 且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 ， 求
3
的值。
P
PB
A
D
C
B
6
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2 y2 22（本题 14 分）已知椭圆 C1 : x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 ，直线 l : y ? x ? 2
a
b
3
与以原点为圆心，以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切。 （1）求椭圆 C1 的方程； （2）设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ，右焦点 F2 ，直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴，动直 线 l2 垂直 l1 于点 P， 线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M， 求点 M 的轨迹 C2 的方程。 （3） 设 C2 与 x 轴交于点 Q， 另有不同的两点 R、 S 在上 C2 ， 且满足 RQ RS ? 0 ， 求 QS 的取值范围。
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参考答案 一、选择题：CBCAA，DAADB，CB 二、填空题： 13.若 a ? b ? c ? 3 ，则 a 2 ? b2 ? c2 ? 3 ； 三、解答题： 17. ?m m ? 9? ； 18.（1）略（2）12；
2 19.（1）略（2） x ? y 2 ? 1 ；
14. ? ；
4
15.2 或 ?2 2 ；
16.3；
2
y2 ? x 2 ? 1 （2） S△AOB ? 2 ； 4 PQ 7 21.(1)(2)略（3） ? ； PB 12 2 y2 ?1； 22.（1） x ? （2） y 2 ? 4x ； 3 2
20.（1） （3） Q ? 0,0 ? , 设R ?
? y12 ? ? y22 ? ? y2 ? ?y2 ? , y1 ? , S ? , y2 ? ? QR ? ? 1 , y1 ? , RS ? ? 2 , y2 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ?
y12 ? y2 2 ? y12 ? QR RS ? 0,? ? y1 ? y2 ? y1 ? ? 0 16
16 ? y1 ? y2, y1 ? 0 ? y2 ? ? ? ? y1 ? y ? ? 2?
? y2 2 ? y12 ? 256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y12
2 2 当且仅当 y1 ? 256 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立
y2
2
? y 2? QS ? ? 2 ? ? y2 2 ? 1 4 ? 4 ?
又
?y
2 2
? 8? ? 64
y22 ? 64 ?当 y2 2 ? 64, y2 ? ?8时, QS min ? 8 5
?
故 QS 的取值范围是 ?8 5, ??
?
8