人大附中高三尖子生训练函数及其表示(人教版)

北京市人大附中高三数学尖子生专题训练:基本初等函数 I 卷 一、选择题 1.下列对应法则 f 中,构成从集合 P 到 S 的映射的是( A. P ? R, S B. P ? )

? ?? ?,0?, x ? P, y ? S, f : x ? y ? x

N , S ? N ? , x ? P, y ? S , f : y ? x 2
1 x2

C.P={有理数},S={数轴上的点},x∈P, f: x→数轴上表示 x 的点 D.P=R,S={y|y>0}, x∈P, y∈S, f: x→y= 【答案】C
[来源:学科网 ZXXK]

2.函数 f ( x ) ? 2 ?
x

2 ? a 的一个零点在区间 (1, 2) 内,则实数 a 的取值范围是( x
B. (1, 2) C. (0,3) D. (0, 2)



A. (1,3) 【答案】C

3.定义在[1,+ ? )上的函数 f (x ) 满足:① f (2 x) ? cf ( x) ( c 为正常数) ;②当 2 ? x ? 4 时, 若函数 f (x ) 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上, c 等于 则 ( f ( x) ? 1 ? ( x ? 3) 2 。 A.1 B.2 C.1 或 2 D.4 或 2 【答案】C
? ? 1 α 4.设α ∈?-1,1, ,3?,则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数的所有α 值为( 2 ? ?





A.1,3 【答案】A

B.-1,1

C.-1,3

D.-1,1,3

5.在下列区间中,函数 f ( x) ? e x ? 4 x ? 3 的的零点所在的区间为 A. (【 答案】C

( D. (



1 ,0) 4

B. (0,

1 ) 4

C. (

1 1 , ) 4 2

1 3 , ) 2 4

6. 已知偶函数 f (x ) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x) ,当 x ? [0,2] 时, A. 2 【答案】A 7.对于函数 B.0 C.-2

) f ( x) ? 2x 2 ,则 f (2011 为(
D.1



f ( x) ? a cos x ? bx2 ? c, 其中a, b, c ? R ,适当地选取 a, b, c 的一组值计算 f (1)和f (?1) ,所
( C.2 和 4 D.1 和 1 )

得出的正确结果只可能是 ... A.4 和 6 B.3 和-3

【答案】D 8.已知函数 关系是 A. x1 ? x2 【答案】A 9.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数,若 A. (??, ?2) ? (0,3) C. (??, ?2) ? (0, ??) 【答案】A 10.已知函数 ,在同一坐标系中画出其中两个函数 f1 ?x? ? a x , f 2 ?x? ? xa , f3 ?x? ? loga x(其中 a>0,且 a≠) )

f ( x) ? x ? 2x , g ( x) ? x ? ln x , h( x) ? x ? x ?1 的零点分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 , x2 , x3 的大小
( )

? x3

B. x2

? x1 ? x3

C. x1 ? x3

? x2

D. x3

? x2 ? x1

f (2) ? 1, f (3) ?

a2 ? a ? 3 ,则 a 的取值范围是( a ?3



B. (?2, 0) ? (3, ??) D. (??,0) ? (3, ??)

在第一象限内的图像,其中正确的是(

[来源:Zxxk.Com]

【答案】B 11.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( A. ) C. y

y?2

x

B. y

? lg( x ? x 2 ? 1)

? 2 x ? 2?x

D. y ? lg

1 x ?1

【答案】D 12.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则 y=f(x)的图象可能是(

)

图 2-1 【答案】B 13.设方程 3 A. x1 x 2 【答案】D 14.函数 y
x

? lg(? x) 的两个根为 x1 , x 2 ,则(
?0
B. x1 x 2 ? 0



C. x1 x 2

?1

D. 0 ? x1 x2

?1

?

x ln | x | 的图像可能是( | x|



【答案】B

II 卷 二、填空题 15.若函数f(x)= x -ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=b x -ax-1的零 点 【答案】 ? .
2 2

1 1 ,? 2 3 a ? 4)(a ? 0, 且a ? 1) 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是 x

16. 若函数 f ( x) ? log a ( x ? 【答案】

? 0,1? ? ?1, 4?
a

17.若函数 f(x)=loga|x+1|在区间(-2,-1)上恒有 f(x)>0,则关于 a 的不等式 f(4 -1)>f(1)的解集为 ________. 1 【答案】(0, ) 2 18.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 220 元,每桶水的进价是 5 元,销售单价与日均销售 量的关系如下表所示: 销售单价 (元)
[来源:Zxxk.Com]

6

[来源:学_科_网]

7 440

8 400

9 360

10 320 元。

11 280

12 240

日均销售量(桶) 480 【答案】 11.5

根据以上数据,这个经营部要使利润最大 ,销售单价应定为

19.已知 f ( x ) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时, f ( x ) 的图象如上图所示,那么不等式

f ( x) ? cos x ? 0 的解集为

.

【答案】

[?

?

, ?1] ? [0,1] ? [ ,3) 2 2

?

20.设 a>1,函数 y=|logax|的定义域为 m,n (m<n),值域为 0,1,定义“区间 m,n 的长度等于 n-m” ,若区 5 间 m,n 长度的最小值为 ,则实数 a 的值为________. 6 【答案】6

三、解答题 21.设关于 x 的方程 4
x

? 2 x?1 ? b ? 0?b ? R?

(Ⅰ)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)当方程有实数 解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解. 【答案】 (Ⅰ)原方程为 b ? 4 ? 2
x x ?1



? 4 x ? 2 x?1 ? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? ?1,

?当b ? [?1,??) 时方程有实数解;
x (Ⅱ)①当 b ? ?1 时, 2 ? 1 ,∴方程有唯一解 x ? 0 ;

②当 b ? ?1 时,? (2

x

? 1) 2 ? 1 ? b ? 2 x ? 1 ? 1 ? b .

? 2 x ? 0,1 ? 1 ? b ? 0,? 2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ;
令1 ?

1 ? b ? 0 ? 1 ? b ? 1 ? ?1 ? b ? 0,

?当 ? 1 ? b ? 0时,2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ;
综合①.②,得 1)当 ? 1 ? b ? 0 时原方程有两解: x ? log2 (1 ?

1? b) ; 1? b) ;

2)当 b ? 0或b ? ?1 时,原方程有唯一解 x ? log2 (1 ?

22. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的单调函数满足 f (?3) ? 2, , 且对任意的实数 a ? R 有 f (?a) ? f (a) ? 0 恒 成立 (Ⅰ)试判断 f (x ) 在 R 上的单调性,并说明理由. (Ⅱ)解关于 x 的不等式 f (

2? x )?2 x

【答案】 (Ⅰ) f (x ) 是 R 上的减函数

? 由 f (?a) ? f (a) ? 0 可得 f (x) 在 R 上的奇函数,? f (0) ? 0 ? f (x) 在 R 上是单调函数,
由 f (?3) ? 2 f (0) ? f (?3) ,所以 f (x ) 为 R 上的减函数。 (Ⅱ)由 f (-3) ? 2 ,又由于 f (

2? x ) ? f (?3) x

又由(Ⅰ)可得 即:

2? x ? ?3 x

2x ? 2 ?0 x 解得: x ? ?1或x ? 0

? 不等式的解集为 ?x | x ? ?1或x ? 0?
23.在一个月内分批购入每张价值 为 20 元的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正整数) ,且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f ( x); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 【答案】

24.设函数 f(x)=ka -a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. 2 (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x +2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 2x -2x (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a -4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2 【答案】∵f(x)是定义域为 R 上的奇函数,∴f(0)=0, ∴k-1=0,即 k=1. 1 (1)∵f(1)>0,∴a- >0.又 a>0 且 a≠1,

x

-x

a

∴a>1,f(x)=a -a . x -x x -x ∵f′(x)=a lna+a lna=(a +a )lna>0, ∴f(x)在 R 上为增函数, 2 原不等式可化为 f(x +2x)>f(4-x). 2 2 ∴x +2x>4-x,即 x +3x-4>0. ∴x>1 或 x<-4. ∴不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}.

x

-x

3 1 3 2 (2)∵f(1)= ,∴a- = ,即 2a -3a-2=0. 2 a 2 1 ∴a=2 或 a=- (舍去). 2 2x -2x x -x ∴g(x)=2 +2 -4(2 -2 ) x -x 2 x -x =(2 -2 ) -4(2 -2 )+2. x -x 令 t(x)=2 -2 (x≥1), 则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知), 3 即 t(x)≥t(1)= , 2 2 2 ∴原函数变为 w(t)=t -4t+2=(t-2) -2. ∴当 t=2 时,w(t)min=-2,此时 x=log2(1+ 2). 即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2. 25.已知函数 f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0 且 a≠1),设 h(x)=f(x)-g(x). (1)求函数 h(x)的定义域; (2)判断 h(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若 f(3)=2,求使 h(x)>0 成立的 x 的集合. 【答案】(1)由对数的意义,分别得 1+x>0,1-x>0,即 x>-1,x<1.∴函数 f(x)的定义域为(-1,+∞),函 数 g(x)的定义域为(-∞,1), ∴函数 h(x)的定义域为(-1,1). (2)∵对任意的 x∈(-1,1),-x∈(-1,1), h(-x)=f(-x)-g(-x) =loga(1-x)-loga(1+x) =g(x)-f(x)=-h(x), ∴h(x)是奇函数. (3)由 f(3)=2,得 a=2. 此时 h(x)=log2(1+x)-log2(1-x), 由 h(x)>0 即 log2(1+x)-l og2(1-x)>0, ∴log2(1+x)>log2(1-x). 由 1+x>1-x>0,解得 0<x<1. 故使 h(x)>0 成立的 x 的集合是{x|0<x<1}. 26.已知函数 f(x)=x+ ,g(x)=x+ln x,其中 a>0.(1)若 x=1 是函数 h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实 数 a 的值;(2)若对任意的 x1,x2∈1,e(e 为自然对数的底数)都有 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)∵h(x)=2x+ +ln x, 其定义域为(0,+∞), a2 1 ∴h′(x)=2- 2+ ,

a2 x

a2 x

x x ∵x=1 是函数 h(x)的极值点, 2 ∴h′(1)=0,即 3-a =0. ∵a>0,∴a= 3. 经检验当 a= 3时,x=1 是函数 h(x)的极值点,∴a= 3. (2)对任意的 x1,x2∈1,e 都有 f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意 的 x1,x2∈1,e, 都有 f(x)min≥g(x) max.
1 当 x∈1,e 时,g′(x)=1+ >0.

x

∴函数 g(x)=x+ln x 在 1,e 上是增函数, ∴g(x)max=g(e)=e+1. a2 (x+a)(x-a) ∵f′(x)=1- 2= , 2

x

x

且 x∈1,e,a>0.

①当 0<a<1 且 x∈1,e 时, (x+a)(x-a) f′(x)= >0, 2

x

∴函数 f(x)=x+ 在 1,e 上是增函数, ∴f(x)min=f(1)=1+a . 由 1+a ≥e+1,得 a≥ e, 又 0<a<1,∴a 不合题意. ②当 1≤a≤e 时, 若 1≤x≤a, (x+a)(x-a) 则 f′(x)= <0, 2
2 2

a2 x

x

若 a<x≤e, (x+a)(x-a) 则 f′(x)= >0. 2

x a2 ∴函数 f(x)=x+ 在 1,a)上是减函数, x 在(a,e 上是增函数. ∴f(x)min=f(a)= 2a.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

e+1 由 2a≥e+1,得 a≥ . 2 e+1 又 1≤a≤e,∴ ≤a≤e. 2 ③当 a>e 且 x∈1,e 时 (x+a)(x-a) f′(x)= <0, 2

x a2 函数 f(x)=x+ 在 1,e 上是减函数. x a2 ∴f(x)min=f(e)=e+ .
e

由 e+ ≥e+1,得 a≥ e, e 又 a>e,∴a>e. e+1 综上所述,a 的取值范围为 ,+∞). 2 27.设函数

a2

f ( x) ? ln(x 2 ? ax ? 1) 的定义域为 A .

(Ⅰ)若 1 ? A , ?3 ? A ,求实数 a 的范围; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围.

【答案】 (Ⅰ)由题意,得 ? 所以 a ?

? 1? a ?1 ? 0 ?9 ? 3a ? 1 ? 0

10 . 3 10 ,?? ) . 3

故实数 a 的范围为 [

(Ⅱ)由题意,得 x ? ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,
2

则? ? a ?4 ? 0
2

解得 ? 2 ? a ? 2 . 故实数实数 a 的范围为 [?2, . 2] 28.设函数

f ( x) ? 2x ? a ? 2? x ?1 (a 为实数).⑴若 a<0,用函数单调性定义证明: y ? f ( x) 在 (??, ??) 上 是增函数;⑵若 a=0, y ? g ( x) 的图象与 y ? f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称, 求函数 y ? g ( x) 的解析式.
x

【答案】 (1)设任意实数 x1<x2,则 f(x1)- f(x2)= (2 1

? a ? 2? x1 ?1) ? (2x2 ? a ? 2? x2 ?1)

= (2 1

x

? 2x2 ) ? a(2? x1 ? 2? x2 ) = (2 x1 ? 2 x2 ) ?

2 x1 ? x2 ? a 2 x1 ? x2

? x1 ? x2 ,?2x1 ? 2x2 ,?2x1 ? 2x2 ? 0; ? a ? 0,? 2x1 ? x2 ? a ? 0 .
又2 1
x ? x2

? 0 ,∴f(x1)- f(x2)<0,所以 f(x)是增函数.
x x

(2)当 a=0 时,y=f(x)=2 -1,∴2 =y+1, ∴x=log2(y+1), y=g(x)= log2(x+1). 解析:通过用定义证明函数的单调性考查指数函数的运算及其性质,通过求关于直线 y=x 对称函数 y ? g ( x) 的 解析式考查指对互化及简单求反函数的方法,该题属于简单题.


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