吉林省长白山一高2013学年高二数学必修5第三章同步检测3-4-1

3-4-1 同步检测
基础巩固强化 一、选择题 1.设 0<a<b,且 a+b=1,则下列四个数中最大的是( 1 A.2 C.2ab B.a2+b2 D.a ) )

5 1 2.已知 x<4,则函数 y=4x-2+ 的最大值是( 4x-5 A.2 C.1 B.3 1 D.2

3.设 a、b 是正实数,A= a+ b,B= a+b,则 A、B 的大小 关系是( ) B.A≤B D.A<B

A.A≥B C.A>B

4.某工厂第一年产量为 A,第二年的增长率为 a, 第三年的增长 率为 b,这两年的平均增长率为 x,则( a+b A.x= 2 a+b C.x> 2 )

a+b B.x≤ 2 a+b D.x≥ 2

1 5.(2009· 天津)设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则a 1 +b的最小值为( A.8 C.1 ) B.4 1 D.4

6.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最 大的一个是( A.a2+b2 C.2ab 二、填空题 7.若 0<x<1,则 x(1-x)的最大值为________. 1 1 1 8.已知 a 是正实数,x= ,y= ,z= ,则 2 a 2 a+1 a+ a+1 x、y、z 从大到小的顺序是__________. t+1 1 9. 设正数 a 使 a2+a-2>0 成立, t>0, 比较2logat 与 loga 2 的 大小,结果为__________. 三、解答题 10.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它 称物体的质量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果 的和的一半就是物体的真实质量,这种说法对吗?证明你的结论. 能力拓展提升 一、选择题 1 11.设函数 f(x)=2x+x-1(x<0),则 f(x)( A.有最大值 C.是增函数 ) ) B.2 ab D.a+b

B.有最小值 D.是减函数

12.已知 x>0、y>0,x、a、b、y 成等差数列,x、c、d、y 成等 ?a+b?2 比数列,则 cd 的最小值是( A.0 C.2 ) B.1 D.4

13.设 a、b∈R,且 ab>0.则下列不等式中,恒成立的是( A.a2+b2>2ab 1 1 2 C.a+b> ab B.a+b≥2 ab b a D.a+b≥2

)

14.已知 0<a<1,0<x≤y<1,且 logax· logay=1,那么 xy( A.无最大值也无最小值 C.有最大值而无最小值 二、填空题 B.无最大值而有最小值 D.有最大值也有最小值

)

a+b 1 15.已知 a>b>1,P= lga· lgb,Q=2(lga+lgb),R=lg( 2 ), 则 P、Q、R 的大小关系是________. *16.设点(m,n)在直线 x+y=1 位于第一象限内的图象上运动, 则 log2m+log2n 的最大值是________. 三、解答题 17.某商场预计全年分批购入每台 2 000 元的电视机共 3 600 台.每批都购入 x 台(x 是自然数)且每批均需付运费 400 元.贮存购 入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运 费)成正比.若每批购入 400 台,则全年需用去运输和保管总费用 43 600 元.现在全年只有 24 000 元资金可以支付这笔费用,请问,能否 恰当安排每批进货数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 1 1 1 *18.设 a、b、c 都是正数,求证:a+b,b+c,c+a三个数中至 少有一个不小于 2.

详解答案 1[答案] B

1 [解析] ∵0<a<b,∴1=a+b>2a,∴a<2, 又∵a2+b2≥2ab,∴最大数一定不是 a 和 2ab, ∵1=a+b>2 ab, 1 ∴ab<4, 1 1 ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-2=2, 1 即 a2+b2>2.故选 B. 1 2 解法 2:特值检验法:取 a=3,b=3,则 4 5 2ab=9,a2+b2=9, 5 1 4 1 ∵9>2>9>3,∴a2+b2 最大. 2[答案] C 5 1 [解析] ∵x<4,∴4x-5<0,y=4x-2+ 4x-5
? 1 ? 1 =4x-5+ +3=3-??5-4x?+5-4x? 4x-5 ? ?

≤3-2=1, 1 等号在 5-4x= ,即 x=1 时成立,故选 C. 5-4x 3[答案] C [解析] ∵a>0,b>0,∴A>0,B>0, A2-B2=(a+b+2 ab)-(a+b) =2 ab>0,∴A2>B2, ∵A>0,B>0,∴A>B. [点评] 可取特值检验.

4[答案] B [解析] ∵这两年的平均增长率为 x ∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b), ∴(1+x)2=(1+a)(1+b),由题设 a>0,b>0. ∴1+x= ?1+a??1+b?≤ a+b a+b =1+ 2 ,∴x≤ 2 , 等号在 1+a=1+b 即 a=b 时成立.∴选 B. 5[答案] B [解析] 根据题意得 3a· 3b=3,∴a+b=1, 1 1 a+b a+b b a ∴a+b= a + b =2+a+b≥4. 1 当 a=b=2时“=”成立.故选 B. 6[答案] D [解析] 解法 1:∵0<a<1,0<b<1, ∴a2+b2>2ab,a+b>2 ab,a>a2,b>b2, ∴a+b>a2+b2,故选 D. 1 1 13 6 1 解法 2:取 a=2,b=3,则 a2+b2=36,2 ab= 3 ,2ab=3,a 5 5 +b=6,显然6最大. 1 7[答案] 4 [解析] ∵0<x<1,∴1-x>0, x+?1-x? 2 1 ∴x(1-x)≤[ ] =4, 2 ?1+a?+?1+b? 2

1 等号在 x=1-x,即 x=2时成立, 1 ∴所求最大值为4. 8[答案] x>z>y [解析] ∴ 1 2 a > ∵a>0,∴2 a< a+ a+1<2 a+1 1 > ,即 x>z>y. a+ a+1 2 a+1 1

t+1 1 9[答案] 2logat≤loga 2 [解析] ∵a2+a-2>0,∴a<-2 或 a>1, 又 a>0,∴a>1, t+1 t+1 1 ∵t>0,∴ 2 ≥ t,∴loga 2 ≥loga t=2logat. 10[解析] 不对.设左右臂长分别为 l1,l2,物体放在左、右托盘 称得重量分别为 a、b,真实重量为 G,则由杠杆平衡原理有: l1· G=l2· a,① l2· G=l1· b,② ①×②得 G2=ab,∴G= ab,由于 l1≠l2,故 a≠b, a+b 由均值不等式 2 > ab知说法不对, 真实重量是两次称量结果的几何平均数. 11[答案] A 1 [解析] ∵x<0,∴f(x)=2x+x -1 ≤-2 1 ?-2x??-x?-1

=-2 2-1,

等号在-2x=

1 2 ,即 x=- 2 时成立. -x

∴f(x)有最大值. 12[答案] D [解析] 由等差、等比数列的性质得 ?a+b?2 ?x+y?2 x y cd = xy =y+x+2≥2 等号,∴所求最小值为 4. 13[答案] D [解析] a=b 时,A 不成立;a,b<0 时,B、C 都不成立,故选 D. b b a [点评] 对于 D 选项,∵ab>0,∴a>0,∴a+b≥2 14[答案] C [解析] ∵0<a<1,0<x≤y<1,∴logax>0,logay>0, logax+loga y 2 1 1=logax· logay≤( ) =[2loga(xy)]2 2 =(loga xy)2, ∵0< xy<1,∴loga xy>0,∴loga xy≥1, ∴0< xy≤a,∴0<xy≤a2, 等号在 logax=logay 即 x=y 时成立, ∴xy 有最大值 a2,在 x=y=a 时取得;无最小值,选 C. 15[答案] P<Q<R [解析] 因为 a>b>1,所以 lga>lgb>0, 1 所以2(lga+lgb)> lga· lgb,即 Q>P, a+b a+b 1 又因为 2 > ab,所以 lg 2 >lg ab=2(lga+lgb),所以 R>Q. ba a· b=2. yx x· y+2=4.当且仅当 x=y 时取

故 P<Q<R. [点评] (1)根据 P、Q、R 式子的结构,应用重要不等式,再运 用函数 y=lgx 的单调性. (2)若把条件改为 1>a>b>0,P、Q、R 的大小关系怎样? 16[答案] -2 [解析] ∵(m,n)在直线 x+y=1 位于第一象限的图象上运动, ∴m+n=1 且 m>0,n>0. ∴mn≤?
?m+n?2 1 1 ? = ,当且仅当 m=n= 时等号成立. 4 2 ? 2 ?

1 ∴log2m+log2n=log2(mn)≤log24=-2. ∴log2m+log2n 的最大值为-2. 17[解析] 设总费用为 y 元(y>0),且将题中正比例函数的比例 3 600 系数设为 k,则 y= x ×400+k(2 000x),依条件,当 x=400 时,y =43 600,可得 k=5%, 故有 y= ≥2 1440000 +100x x

1440000 · 100x=24 000(元). x

1440000 当且仅当 =100x,即 x=120 时取等号. x 所以只需每批购入 120 台,可使资金够用. 1 1 1 1 1 18[解析] 假设 a+b, b+c , c+a都小于 2, 即 a+b<2, b+c<2, 1 c+a<2, 1 1 1 则 a+b+b+c +c+a<6,

当 a、b、c 都是正数时, 1 1 1 a+b+b+c +c+a 1 1 1 =(a+a)+(b+b)+(c+c) ≥2 1 a· a +2 1 b· b +2 1 c· c=6 与上式矛盾.

1 1 1 ∴a+b,b+c,c+a至少有一个不小于 2.


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