新课标2017高考数学二轮复习“5+2选1”解答题限时练(二)文


“5+2 选 1”解答题限时练(二)
1.已知等比数列{an}的各项均为正数,a1=1,公比为 q;等差数列{bn}中,b1=3,且 {bn}的前 n 项和为 Sn,a3+S3=27,q= . (1)求{an}与{bn}的通项公式; 3 (2)设数列{cn}满足 cn= ,求{cn}的前 n 项和 Tn. 2Sn

S2 a2

2.如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,∠BAC=90°,AB=

AC=2,AA1=3.
(1)过 BC 的截面交 A1A 于 P 点, 若△PBC 为等边三角形, 求出点 P 的位置; (2)在(1)条件下,求四棱锥 P?BCC1B1 与三棱柱 ABC?A1B1C1 的体积比.

3.为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下:

未发病 未注射疫苗 注射疫苗 合计 20 30 50

发病

合计

x y
50

A B
100

2 现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为 . 5 (1)求 2×2 列联表中的数据 x,y,A,B 的值; (2)绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效?

(3)能够有多大把握认为疫苗有效?

n(ad-bc)2 附:K = ,n=a+b+c+d (a+b)(a+c)(c+d)(b+d)
2

1

P(K2≥k0) k0

0.05 3.841

0.01 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

x2 y2 1 ? 3? 4.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P?1, ?,左、右焦点分别为 a b 2 ? 2? F1,F2.
(1)求椭圆 C 的方程; 3 2 (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若△AF2B 的内切圆半径为 ,求以 F2 7 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程.

5.已知函数 f(x)= +aln x. (1)当 a>0 时,若曲线 f(x)在点(2a,f(2a))处的切线过原点,求 a 的值; (2)若函数 f(x)在其定义域上不是单调函数,求 a 的取值范围; 1 1 1 * (3)求证:当 a=1 时,ln(n+1)> + +?+ (n∈N ). 2 3 n+1

a2 x

2 ? ?x= 2 t, 6.[二选一](选修 4-4)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为 2 ? ?y=3+ 2 t 参数), 在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ =4sin θ -2cos θ . (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与 y 轴的交点为 P,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|PA|·|PB|的值.

(选修 4-5)设 f(x)=|ax-1|. (1)若 f(x)≤2 的解集为[-6,2],求实数 a 的值; (2)当 a=2 时,若存在 x∈R,使得不等式 f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m 成立,求实数 m 的取值范围.

2

3





1.解:(1)设数列{bn}的公差为 d,∵a3+S3=27,q= , ∴q +3d=18,6+d=q ,联立方程可得 q=3,d=3, ∴an=3
n-1
2 2

S2 a2

,bn=3n.

(2)由(1)知 Sn=

n(3+3n)
2

,cn=

3 3 2 1 1 1 = · · = - , 2Sn 2 3 n(n+1) n n+1

1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴Tn=1- + - + - +?+ - =1- = . 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1 2.解:(1)由题意可得 PC=PB=BC=2 2, 在三棱柱中,由 AA1⊥平面 ABC 且 AB=AC=2,可得 PA=2, 故点 P 的位置为 AA1 的三等分点,且靠近点 A1 处. 1 (2)由(1)可知,VABC?A1B1C1= ×2×2×3=6, 2

VP?A1B1C1= × ×2×2×1= , VP?ABC= × ×2×2×2= ,
4 2 所以 VP?BCC1B1=6- - =4, 3 3 2 所以所求两个几何体的体积比为 . 3 3.解:(1)设“从所有试验动物中任取一只,取到‘注射疫苗’动物”为事件 A, 由已知得 P(A)= 1 1 3 2 4 3

1 1 3 2

2 3

y+30 2
100

= ,所以 y=10,B=40,x=40,A=60. 5 40 2 10 1 = ,注射疫苗发病率为 = .发病率的条形统计图如图所 60 3 40 4

(2)未注射疫苗发病率为

示,由图可以看出疫苗影响到了发病率,可以判断疫苗有效.

4

100×(20×10-30×40) 50 2 (3)由数据计算得,K = = 50×50×40×60 3 ≈16.67>10.828. 所以至少有 99.9%的把握认为疫苗有效.

2

c 1 2 2 2 2 4.解:(1)由 = ,得 a=2c,所以 a =4c ,b =3c , a 2

? 3? 2 将点 P?1, ?的坐标代入椭圆方程得 c =1, 2 ? ?
故所求椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设直线 l 的方程为 x=ty-1,代入椭圆方程得(4+3t )y -6ty-9=0,显然判别式 大于 0 恒成立, 6t -9 设 A(x1,y1),B(x2,y2),△AF2B 的内切圆半径为 r0,则有 y1+y2= y1y2= 2, 2, 4+3t 4+3t
2 2

x2 y2

r0=

3 2 , 7 所以 S△AF2B=S△AF1F2+S△BF1F2 1 = |F1F2|·|y1-y2| 2 1 2 = |F1F2|· (y1+y2) -4y1y2 2 12 t +1 = 2 . 4+3t 1 1 1 而 S△AF2B= |AB|r0+ |BF2|r0+ |AF2|r0 2 2 2 1 = r0(|AB|+|BF2|+|AF2|) 2 1 = r0(|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|) 2 1 = r0·4a 2 1 3 2 12 2 = ×8× = , 2 7 7 12 t +1 12 2 2 所以 ,解得 t =1, 2 = 4+3t 7 因为所求圆与直线 l 相切,所以半径 r= 所以所求圆的方程为(x-1) +y =2.
5
2 2 2 2

2

t2+1

= 2,

5.解:(1)法一:因为 f′(x)=- 2+ (x>0), 1 所以 f′(2a)= . 4

a2 a x x

a ?1 ? 又 f(2a)= +aln 2a=a? +ln 2a?, 2 ?2 ?

?1 ? 1 故切线方程为 y-a? +ln 2a?= (x-2a). ?2 ? 4 ?1 ? 1 又切线过原点,所以将点(0,0)代入切线方程得-a? +ln 2a?= ×(-2a),即 ln 2a ?2 ? 4
1 =0,解得 a= . 2

a a 1 法二:因为 f′(x)=- 2+ (x>0),所以 f′(2a)= . x x 4
1 又切线过原点,所以切线方程为 y= x. 4 当 x=2a 时,y= . 2

2

a

a? a a a 1 ? 把点?2a, ?代入函数 f(x)= +aln x 得 = +aln 2a,解得 a= . 2? x 2 2 2 ?
(2)因为 f′(x)=- 2+ =

2

a2 a a(x-a) (x>0), x x x2

当 a=0 时,f′(x)=0,此时 f(x)=0, 显然 f(x)在(0,+∞)上不是单调函数; 当 a<0 时,因为 x>0,所以 x-a>0, 故 f′(x)<0,所以 f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数. 当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 x-a>0,即 x>a. 故 f(x)在(0,a)上是单调递减函数, 在(a,+∞)上是单调递增函数, 即 f(x)在(0,+∞)上不是单调函数. 综上可知 a 的取值范围是[0,+∞). 1 (3)证明:当 a=1 时,f(x)= +ln x,

x

由(2)知 f(x)在(1,+∞)上是增函数, 1 1 所以当 x>1 时,f(x)= +ln x>f(1)=1? ln x>1- .

x

x

设 x=

n+1 n+1 n 1 * ,n∈N ,则 ln >1- = . n n n+1 n+1
6

3 4 n+1 1 1 1 所以 ln 2+ln +ln +?+ln > + +?+ , 2 3 n 2 3 n+1 3 4 n+1 又 ln 2+ln +ln +?+ln 2 3 n

n+1? ? 3 4 5 =ln?2× × × ×?× =ln(n+1), n ? ? 2 3 4 ?
1 1 1 所以 ln(n+1)> + +?+ . 2 3 n+1 6.[二选一](选修 4-4) 解:(1)直线 l 的普通方程为 x-y+3=0, ∵ρ =4ρ sin θ -2ρ cos θ , ∴曲线 C 的直角坐标方程为(x+1) +(y-2) =5. 2 ? ?x= 2 t, (2)将直线 l 的参数方程? (t 为参数)代入曲线 C:(x+1) +(y-2) =5,得 2 ? ?y=3+ 2 t
2 2 2 2 2

到 t +2 2t-3=0, ∴t1t2=-3, ∴|PA|·|PB|=|t1t2|=3. (选修 4-5) 1 3 ? 1 3? 解:(1)显然 a≠0,当 a>0 时,解集为?- , ?,则- =-6, =2,无解;

2

? a a?

a

a

1? 1 3 1 1 ?3 当 a<0 时,解集为? ,- ?,令- =2, =-6,得 a=- .综上所述,a=- . a? a a 2 2 ?a (2) 当 a = 2 时 , 令 h(x) = f(2x + 1) - f(x - 1) = |4x + 1| - |2x - 3| =

? ? 1 3 ?6x-2,-4<x<2, 3 ? ?2x+4,x≥2,

1 -2x-4,x≤- , 4

1? ? ? 1 3? ?3 ? 由此可知,h(x)在?-∞,- ?上单调递减,在?- , ?上单调递增,在? ,+∞?上单 4 4 2 ? ? ? ? ?2 ? 1 7 调递增,则当 x=- 时,h(x)取到最小值- , 4 2 7? 7 7 ? 由题意知,- ≤7-3m,解得 m≤ ,则实数 m 的取值范围是?-∞, ?. 2? 2 2 ?

7


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