第二章极限与连续性习题课_图文

第二章 极限与连续性 习 题 课
主要内容
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典型例题

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一,主要内容
(一)函数的定义 (二)极限的概念 (三)连续的概念
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基本初等函数

复合函数 初等函数 双曲函数与 反双曲函数

函 数 的定义
反函数 隐函数

函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 上页 周期性
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反函数与直接 函数之间关系

1,函数的定义
定义 是两个变量, 定义 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数 集.如果对于每个数 x ∈ D,变量 y 按照一定法 对应, 的函数, 则总有确定的数值和它 对应,则称 y 是 x 的函数, 记作 y = f ( x ). x 叫做自变量, 数集 D 叫做这个函数的定义域 , 叫做自变量, y 叫做因变量. 叫做因变量. 函数值全体组成的数集 W = { y y = f ( x ), x ∈ D } 称为函数的值域 .
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函数的分类
代 数 初 等 函 数

有 理 函 数 分函数 分 函数 函数 函数 函数 分 函数 函数 函数 函数

函 数

函 数

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2,函数的性质 (1) 单值性与多值性 单值性与多值性:
若对于每一个 x ∈ D ,仅有一个值 y = f ( x ) 与之对 仅有一个值 则称 为单值函数,否则就是多值函数 否则就是多值函数. 应,则称 f ( x ) 为单值函数 否则就是多值函数

y
y = ex

y

( x 1)2 + y2 = 1

o
o

上页

x 下页
返回

x

(2) 函数的奇偶性 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x ∈ D , 有

f ( x ) = f ( x ) f ( x ) = f ( x ) y

称f ( x )为偶函数; 称f ( x )为奇函数;
y

y= x
o 偶函数

y = x3
上页

x 下页
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o

x

奇函数

(3) 函数的单调性 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为 ,区间 D,如果对于区间 上 的定义域为D,区间I 设函数 的定义域为 ,如果对于区间I上 恒有: 任意两点 x1 x2,当 x1 < x2 时,恒有: 及 (1) f ( x1 ) < f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间 上是单调增加的; 在区间I上是单调增加的; 上是单调增加的 则称函数 在区间I上是单调递减的; 上是单调递减的 或(2) f ( x1 ) > f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间 上是单调递减的; 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 单调函数

y
y = x2

当 x ≤ 0 时为减函数; 当 x ≥ 0 时为增函数;
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o

x

(4) 函数的有界性 函数的有界性:
若X D, M > 0, x ∈ X , 有 f ( x ) ≤ M 成立, 则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 .

y
1 y= x

在( ∞ ,0)及( 0,+∞ )上无界; 在( ∞ ,1]及[1,+∞ )上有界 . 上页
下页

1

o

1

x

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(5) 函数的周期性 函数的周期性:
的定义域为D, 设函数 f(x) 的定义域为 ,如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x ∈ D,有 ( x ± l ) ∈ D .且 f(x+l)=f(x) 使得对于任一 有 且 恒成立,则称 则称f(x)为周期函数 称为 f(x) 的周期 (通 周期.( 恒成立 则称 为周期函数,l 常说周期函数的周期是指其最小正周期 周期) 常说周期函数的周期是指其最小正周期).

T =1

y

1

y = x [x]

上页

o

1

x

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3,反函数
由y = f ( x )确定的 y = f 1 ( x )称为反函数 .

y = shx

y = f 1 ( x ) = arsh x

4,隐函数
由方程 F ( x , y ) = 0所确定的函数 y = f ( x )称为隐函数 .
如 y x εe y = 0
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5,反函数与直接函数之间的关系
设函数 f ( x )是一一对应 函数, 则
y

y = f 1 ( x )

(1) f ( f 1 ( x )) = f 1 ( f ( x ))
=x x Df

( f ( x ), x )

y = f ( x)
( x , f ( x ))
上页

(2 ) y = f ( x )与y = f 1 ( x )的
图象对称于直线 y = x .

o

x下页
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6,基本初等函数 1)幂函数 y = x )
y = ax 2)指数函数 ) (是常数 ) (a > 0, a ≠ 1)

3) 3)对数函数 y = log a x 4)三角函数 y = sin x; )

(a > 0, a ≠ 1) y = cos x; y = cot x;
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y = tan x;

5)反三角函数 y = arcsin x; y = arccos x; )

y = arctan x; y = arc cot x

7,复合函数
设函数 y = f (u ) 的定义域 D f ,而函数 u = ( x ) 而函数 的 值 域 为 Z, 若 D f ∩ Z ≠ , 则 称 函 数

y = f [( x )]为 x 的复合函数 复合函数.

8,初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 上页 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 下页 的函数,称为初等函数. 称为初等函数 的函数 称为初等函数 返回

9,双曲函数与反双曲函数
e e 双曲正弦 shx = 2 x x e +e 双曲余弦 chx = 2 shx e x e x 双曲正切 thx = = x chx e + e x
x x

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双曲函数常用公式

sh( x ± y ) = shxchy ± chxshy ;

ch( x ± y ) = chxchy ± shxshy ;

ch2 x sh 2 x = 1;

sh2 x = 2 shxchx ;

ch2 x = ch 2 x + sh 2 x .

反双曲正弦 y = arshx ; 反双曲余弦 y = ar chx ; 反双曲正切 y = ar thx ;
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数列极限
lim xn = a
n→∞ x→∞






x→x0



无穷大
lim f ( x) = ∞

lim f ( x) = A

lim f ( x) = A

两者的 关系

极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 唯一性

左右极限 两个重要 极限

无穷小的比较 等价无穷小 及其性质

无穷小
lim f ( x) = 0

无穷小 的性质
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求极限的常用方法

极限的性质返回

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1,极限的定义
ε 不论它多么 定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
),总 存在 正数N ,使 小总 使 得对 n > N 时 一 xn ,不 于 的 切 不

a x 都成立,那末就称常数 等式 xn a < ε都成立 那末就称常数 是数列 n
,或 极限 或 称数列xn 收 于 ,记 为 的 者 敛 a 记

lim xn = a,或xn → a (n → ∞).
n→∞

"ε N"定义
ε > 0, N > 0, 使n > N时, 恒有 xn a < ε .

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定义 2

不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 ε ( 不论它多么小),

总存在正数 δ , 使得对于适合不等式 0 < x x 0 < δ 的 一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式

f ( x) A < ε,
时的极限, 那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x → x 0 时的极限, 记作
x → x0

lim f ( x ) = A 或

f ( x ) → A(当x → x 0 )
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"ε δ"定义 ε > 0, δ > 0, 使当0 < x x 0 < δ时, 下页

恒有 f ( x ) A < ε.

返回

左极限 ε > 0, δ > 0, 使当x 0 δ < x < x 0时,

恒有 f ( x ) A < ε.
记作 lim f ( x) = A 或 f ( x0 0) = A.
x→x0 0 ( x→x0 )

右极限

ε > 0, δ > 0, 使当 x 0 < x < x 0 + δ时, 恒有 f ( x ) A < ε.

记作 lim f ( x) = A 或 f ( x0 + 0) = A.
x→x0 +0 + ( x→x0 )
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定理 : lim f ( x ) = A f ( x 0 0) = f ( x 0 + 0) = A. 返回
x → x0

2,无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小 无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小

记作 lim f ( x ) = 0 (或 lim f ( x ) = 0).
x → x0 x →∞

无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大 无穷大. 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大

记作 lim f ( x ) = ∞ (或 lim f ( x ) = ∞ ).
x → x0 x →∞

无穷小与无穷大的关系
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在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 零的无穷小的倒数为无穷大.

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无穷小的运算性质 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 推论 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
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3,极限的性质
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则

(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) g( x)] = A B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B 推论1 , c , 推论1 如果lim f ( x)存在 而 为常数 则

lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
推论2 推论2

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, , 如果lim f ( x)存在 而n是正整数 则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n

4,求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
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5,判定极限存在的准则
则 ′ 如 当x∈U ( x0 , r)(或x > M )时有 ∈ 准 Ⅰ 果 或 时,有
0

(1) g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x), (2) lim g( x) = A, lim h( x) = A,
x→x0 ( x→∞) x→x0 ( x→∞)

末 在,且 那 lim f ( x)存 且 于A. 在 等
x→x0 ( x→∞)

(夹逼准则 夹逼准则) 夹逼准则
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. 则Ⅱ 准 Ⅱ 单调 界数列 则 有 必有 极限

6,两个重要极限
(1)

sin x lim =1 x→0 x 1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
lim(1 + x) = e
x→0 1 x

某过程

lim

sinα

α

= 1;

(2)

某过程

lim (1 + α) = e.
α

1

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7,无穷小的比较
定义: 定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0.
β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); (α

β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说β 与α是同阶的无穷小; α 上页 β 特殊地 如果 lim = 1, 则称β 与α是等价的无穷小; 下页 α 返回 记作 α ~ β;

β ( 3) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), 就说β 是α是k阶的 α 无穷小.

8,等价无穷小的性质 ,
定理(等价无穷小替换定理 定理 等价无穷小替换定理) 等价无穷小替换定理 β′ β β′ 设α ~ α′, β ~ β′且lim 存在 则lim = lim . , α′ α α′

9,极限的唯一性 ,
存在,则极限唯一 则极限唯一. 定理 若lim f ( x)存在 则极限唯一

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x→0







lim y = 0

x→x0

lim f ( x) = f ( x0 )

间断点定义

左右连续

连续的 充要条件
连续 的

连续

第一类 第二类 可 跳 无 振 去 跃 穷 荡 间 间 间 间 断 断 断 断 点 点 点 点
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的连续

的连续

连续 的

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1,连续的定义
义1 义, 定 1 设 数f (x)在 x 0 的 一 域 有 义, 义 函 点 某 邻 内 定 如 果当 自变 量的 增量x 趋向于 时,对 的函数 零时 应 , 增 的 量y 也 向 零 即 趋 于 ,
x→0

lim y = 0 或 lim[ f ( x0 + x) f ( x0 )] = 0
x→0
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末就 函数f (x)在 x 0 连 , 0 称为f (x)的 称 那 点 续x 连 点 续 .
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定义2 lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0

2,单侧连续
若函数 f ( x )在(a , x 0 ]内有定义 , 且f ( x 0 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续 .

3,连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续是函数f ( x)在 x0 处
. 既左连续又右连续
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4,间断点的定义
函数f ( x )在点x 0处连续必须满足的三个 条件 :

(1) f ( x)在点 0处有定义 x ;

(2) lim f ( x)存在 ;
x→x0 →

(3) lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0

如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数f ( x )在点x 0处不连续 (或间断 ), 并称点 x 0为 f ( x )的不连续点(或间断点).

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5,间断点的分类 (1) 跳跃间断点 如果f ( x )在点x 0处左, 右极限都
存在, 但f ( x 0 0) ≠ f ( x 0 + 0), 则称点 x 0为函数 f ( x )的跳跃间断点.

(2)可去间断点 如果f ( x )在点x 0处的极限存在 , 可去间断点
但 lim f ( x ) = A ≠ f ( x 0 ), 或f ( x )在点x 0处无定
x → x0
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义则称点 x 0为函数 f ( x )的可去间断点.

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 第一类间断点 特点: 函数在点x 特点: 函数在点 0处的左 , 右极限都存在 . 第 一 类 间 断 点
0
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y 可去型

y 跳跃型

x0

x

0

x0

x

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第二类间断点 如果f ( x )在点x 0处的左 , 右极限
至少有一个不存在 , 则称点 x 0为函数 f ( x )的第二 类间断点.
第 二 类 间 断 点
0
x0

y

y

x

0

x 振荡型

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无穷型

6,闭区间的连续性
如果函数在开区间 (a , b )内连续 , 并且在左端点 x = a处右连续 , 在右端点 x = b处左连续 , 则称 函数f ( x )在闭区间[a , b]上连续 .

7,连续性的运算性质
定理 若函数 f ( x ), g ( x )在点x 0处连续 , 则

f ( x) f ( x ) ± g ( x ), f ( x ) g ( x ), ( g ( x 0 ) ≠ 0) g( x ) 在点x 0处也连续 .

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8,初等函数的连续性
定理1 定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 续反函数. 定理2 定理2 若 lim ( x ) = a , 函数f ( u)在点a连续, 则有
x → x0 x → x0

lim f [( x )] = f (a ) = f [ lim ( x )].
x → x0
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定理3 定理3 设函数 u = ( x )在点x = x 0 连续, 且( x 0 )

= u0 , 而函数 y = f ( u)在点u = u0 连续, 则复合函数 y = f [( x )]在点x = x 0也连续 .

定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间内都是连续的 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间. 定义区间是指包含在定义域内的区间

9,闭区间上连续函数的性质
定理1 最大值和最小值定理) 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. 的函数一定有最大值和最小值.
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定理2 有界性定理) 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 在该区间上有界.

理 3(零点 定 3(零点 定理 设 ) 函数f (x)在 闭区间 [a, b] 连 , 号( 上 续 且f (a) 与f (b)异 (即 f (a) f (b) < 0), 号 那末在开区间(a, b) 内至少有函数 f (x)的一个零 , 至 有 点 点 即 少 一 ξ (a < ξ < b), f (ξ) = 0. 使
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理4( 值 理 理) 定 4(介 定 ) 设函 f (x)在闭区 [a, b] 上 理 4(介 数 间 续 且 这 间的 点 不 的 数 端 取 同 函 值 连 , 在 区
f (a) = A 及 f (b) = B,
B 间的 C 那末, 那末,对于A 与 之 任意 一个数 ,在开区 间

(a, b)内至少有一点 ,使得 f (ξ) = c (a < ξ < b). ξ
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 上页 与最小值m之间的任何值 之间的任何值. 与最小值 之间的任何值
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二,典型例题
例1 求函数 = log( x1) (16 x2 )的定义域 y . 解

16 x 2 > 0,
x 1 > 0, x 1 ≠ 1,
即(1,2) ∪ ( 2,4).

x <4 x > 1 x ≠ 2
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1 < x < 2及 2 < x < 4,

x 1 例2 设f ( x) + f ( ) = 2x, 其中x ≠ 0, x ≠ 1. x 求f ( x). 解 利用函数表示法的无关特性
1 x 1 , 代入原方程得 , 即x= 令t= 1 t x 1 2 1 2 f( ) + f (t ) = , 即f ( x) + f ( )= , 1 t 1 t 1 x 1 x 1 u1 1 , 即x= , 令 = 1 x u 1 u f(

代入上式得

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1 u 1 2( u 1) 1 x 1 2( x 1) 返回 )+ f ( )= ,即 f ( )+ f ( )= , 1 u u u 1 x x x

解联立方程组
x 1 f ( x) + f ( x ) = 2x 1 2 )= f ( x) + f ( 1 x 1 x 1 x 1 2( x 1) f (1 x) + f ( x ) = x

1 1 ∴ f ( x) = x + + 1. x 1 x

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例3

时 当x < 1 , 求lim(1 + x)(1 + x )(1 + x )(1 + x ).
2 4 2n n→∞

解 将分子,分母同乘以因子 -x), 则 将分子,分母同乘以因子(1 2 4 2n (1 x)(1 + x)(1 + x )(1 + x )(1 + x ) 原式= lim n→∞ 1 x 2 2 4 2n (1 x )(1 + x )(1 + x )(1 + x ) = lim n→∞ 1 x 2n 2n 2n+1 (1 x )(1 + x ) 1 x = lim = lim n→∞ n→∞ 1 x 1 x 1 2n +1 . (∵当 x < 1时, lim x = 0.) = n→ ∞ 1 x

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例4

1 + tan x x3 ) . 求lim( x→0 1 + sin x
1

解 解法讨论

设 lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = ∞ , 则

lim[1 ± f ( x )]

g( x)

=e

lim g ( x ) ln[ 1± f ( x )]

=e

lim g ( x )[ ± f ( x )]

(∵ ln[1 ± f ( x )] ~ ± f ( x ))

=e

± lim g ( x ) f ( x )

.

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1 + tan x x3 [ 1)] 原式= lim 1 + ( x→0 1 + sin x 1 tan x sin x x3 [ ] = lim 1 + x→0 1 + sin x
1

tan x sin x 1 sin x(1 cos x) 1 ∵lim 3 = lim 3 x→0 x→0 (1 + sin x)cos x x 1 + sin x x

sin x 1 cos x 1 1 = lim = 2 x→0 x x (1 + sin x)cos x 2

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∴原式= e .

1 2

p( x) x3 例5 设p( x)是多项式 且lim , = 2, 2 x→∞ x p( x) lim = 1,求p( x). x→0 x p( x) x3 解 ∵lim = 2, 2 x→∞ x ∴可设p( x) = x3 + 2x2 + ax + b(其中a, b为待定系数) p( x) 又∵lim = 1, x→0 x 上页 下页 ∴ p( x) = x3 + 2x2 + ax + b ~ x ( x → 0)
从而得 b = 0, a = 1. 故 p( x) = x + 2x + x
3 2
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例6

x 1, x > 1 讨论 ( x) = πx f 的连续性 . cos 2 , x ≤ 1
将f ( x )改写成



1 x , x < 1 πx f ( x ) = cos , 1 ≤ x ≤ 1 2 x 1, x > 1
显然 f ( x )在( ∞ ,1), ( 1,1), (1,+∞ )内连续 .

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当x = 1时, 时
x → 1

lim f ( x ) = lim (1 x ) = 2. ∵ xlim f ( x ) ≠ xlim+ f ( x ) → 1 → 1
x → 1
+

πx = 0. 故f ( x )在x = 1间断 . lim f ( x ) = lim cos x → 1 x → 1 2 当x = 1时, 时 πx = 0. ∵ lim f ( x ) = lim f ( x ) lim f ( x ) = lim cos x →1 x →1 x →1 x →1 2 故f ( x )在x = 1连续 . 上页 lim f ( x ) = lim ( x 1) = 0.
+ +

x →1+

x →1+

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∴ f ( x )在( ∞ ,1) ∪ ( 1,+∞ )连续 .

例7 设f ( x)在闭区间0,1]上连续 且f (0) = f (1), [ ,

证明 令 F ( x ) = f ( x + 1 ) f ( x ),
2

1 ξ f 证明必有一点 ∈[0,1]使得 (ξ + ) = f (ξ ). 2

1 则 F ( x )在[0, ]上连续 . 2 1 1 1 ∵ F (0) = f ( ) f (0), F ( ) = f (1) f ( ), 2 2 2 1 讨论: 讨论 若F (0) = 0, 则 ξ = 0, f (0 + ) = f (0); 2 1 1 1 1 1 若F ( ) = 0, 则 ξ = , f ( + ) = f ( ); 2 2 2 2 2

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1 若 F ( 0 ) ≠ 0, F ( ) ≠ 0, 则 2 1 1 [ f ( ) f (0)]2 < 0. F ( 0) F ( ) = 2 2 1 由零点定理知, 由零点定理知 ξ ∈ (0, ), 使F (ξ ) = 0. 2 1 即 f (ξ + ) = f (ξ )成立. 2 1 综上, 综上 必有一点 ξ ∈ [0, ] [0,1], 2 1 . 使 f (ξ + ) = f (ξ ) 成立 2

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测验题
选择题: 一,选择题: 1.函数 y = 1 x + arccos
x+1 的定义域是( 的定义域是( ) 2

(A) x ≤ 1 ; (B) 3 ≤ x ≤ 1; (C)( 3 , 1 ) ; (D){x x < 1} ∩ {x 3 ≤ x ≤ 1}. x 3, 4 ≤ x ≤ 0 2.函数 的定义域是( 2.函数 f ( x ) = 2 的定义域是( ) x + 1,0 < x ≤ 3 (A) 4 ≤ x ≤ 0 ; (B) 0 < x ≤ 3 ; (C)( 4 , 3 ) ; (D){x 4 ≤ x ≤ 0} ∪ {x 0 < x ≤ 3}.

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3 , 函数 y = x cos x + sin x 是 ( (A)偶函数; (A) 偶函数; 偶函数 (B)奇函数; (B) 奇函数; 奇函数

)

(C)非奇非偶函数; (D)奇偶函数 奇偶函数. (C) 非奇非偶函数;(D) 奇偶函数 . 非奇非偶函数 π 的最小正周期是( 4 ,函数 f ( x ) = 1 + cos x 的最小正周期是(

2

)

(B) π; (C) 4 ; x 在定义域为( 5 , 函数 f ( x ) = 在定义域为 ( ) 2 1+ x (A)有上界无下界 有上界无下界; (B)有下界无上界 有下界无上界; (A) 有上界无下界 ; (B) 有下界无上界 ; (C)有界 有界, (C) 有界 , 且 1 ≤ f ( x ) ≤ 1 ; 2 2 x ≤2 . 有界, ( D ) 有界 , 且 2 ≤ 2 1+ x (A)2 π ; (A) 2

1 (D) . 2

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6,与 f ( x ) = (A) x ; (C) ( 3 x ) 3 ;

等价的函数是( x 2 等价的函数是( ) (B) ( x ) 2 ; (D) x .

7,当 x → 0 时,下列函数哪一个是其它三个的高阶 无穷小( 无穷小( ) (A) x 2 ; (B)1 cos x ; (C) x tan x ; (D)ln(1 + x ) .

则当( 8,设a 0 , b0 ≠ 0, 则当( )时有 a 0 x m + a1 x m 1 + ........ + a m a 0 lim = . n n1 x→∞ b x + b x b0 + ......... + bn 0 1 (A) m > n ; (B) m = n ; (C) m < n ; (D)m , n 任意取 .

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x 1,1 < x ≤ 0 9,设 f ( x ) = x ,0 < x ≤ 1 则 lim f ( x ) = ( )
x→0

(B)1 (A)-1 ; (B)1 ; (C)0 (D)不存在 (C)0 ; (D)不存在 . x 10, 10, lim = ( ) x→0 x (A)1 (B)-1 -1; (A)1; (B)-1; (C)0 (D)不存在 不存在. (C)0; (D)不存在.
求下列函数的定义域: 二,求下列函数的定义域:
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1,y = sin( 2 x + 1) + arctan x ;

9x x2 ) 2, ( x ) = lg( 1 . 2 三,设 g ( x 1) = 2 x 2 3 x 1 (1) 试确定 a , b, c 的值使 g ( x 1) = a ( x 1) 2 + b( x 1) + c ; (2) 求 g ( x + 1) 的表达式 . 四,求 f ( x ) = (1 + x 2 ) sgn x 的反函数 f 1 ( x ) .
五,求极限: 求极限: 2n 2 + n + 1 1, lim ; 2 n → ∞ (1 n ) 3,lim (1 + x )
x→0 2 x

2,lim
x→3

1+ x 2 ; x3
1 x

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;

4, lim x (e 1) ;
x→∞

x x x 5,当 x ≠ 0 时, lim cos cos ........ cos n ; n→ ∞ 2 4 2 1 x 2 sin x . 6, lim x → +∞ 2x2 1 sin ax , x < 1 六,设有函数 f ( x ) = 试确定 a 的 a ( x 1) 1, x ≥ 1 值使 f ( x ) 在 x = 1 连续 .

1 x arctan x 1 的连续性 , 并判 的连续性, 七,讨论函数 f ( x ) = π sin x 2
断其间断点的类型 .

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证明奇次多项式: 八,证明奇次多项式: P ( x ) = a 0 x 2 n +1 + a1 x 2 n + + a 2 n +1 ( a 0 ≠ 0) 至少存 在一个实根 .

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测验题答案
2, 3, 4, 5, 一,1,B; 2,D; 3,B; 4,C; 5,C ; 6, 7, 8, 9, 10, 6,D; 7,C; 8,B; 9,D; 10,D ; 2, 二,1,( ∞ ,+∞ ); 2,[4,5]. 三, a = 2, b = 1, c = 0, g ( x + 1) = 2 x 2 + 5 x + 3 . x 1, x > 1 四, f 1 ( x ) = 0, x = 0 . ( x + 1) , x < 1 1 sin x 2 2, 3, 4, 5, 五,1,2; 2, ; 3,e ; 4,1; 5, ; 4 x 2 6, 6, . 2

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π 六, a = ± 2kπ ( k = 0,1,2, ) 2

可去间断点, 跳跃间断点, 七, x = 0 可去间断点, x = 1 跳跃间断点, x = 2n( n = ±1,±2,) 无穷间断点, 无穷间断点, 连续. x 为其它实数时 f ( x ) 连续.

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