2016_2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件_图文

阶 段 一

阶 段 三

2.2

直接证明与间接证明 2.2.2 反证法
学 业 分 层 测 评

阶 段 二

1.了解反证法的思考过程、特点.(重点、易混点) 2.会用反证法证明简单的数学问题.(重点、难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 反证法 阅读教材 P89~P91 的内容,完成下列问题.

原命题 不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过 1.定义:假设________
正确的推理,最后得出矛盾,因此说明___________ 假设错误 ,从而证明了________ 原命题 成立, 这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型

已知条件 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与___________ 假设 矛盾,或与__________________ 定义、公理、定理 、事实矛盾等. 矛盾,或与_____

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法.( ) )

(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾.(
【答案】 (1)√ (2)× (3)√

)

2.已知平面 α∩平面 β=直线 a,直线 b?α,直线 c?β,b∩a=A,c∥a, 求证:b 与 c 是异面直线,若利用反证法证明,则应假设__________. 【解析】 ∵空间中两直线的位置关系有 3 种:异面、平行、相交,∴应 假设 b 与 c 平行或相交. 【答案】 b 与 c 平行或相交

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
利用反证法证明否定性命题

(1)用反证法证明:“若方程 ax2+bx+c=0,且 a,b,c 都是奇数, 则方程没有整数根”,正确的假设是方程存在实数根 x0 为( A.整数 C.自然数或负整数 B.奇数或偶数 D.正整数或负整数 b, )

(2)已知三个正整数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证: a, c不成等差数列.

【自主解答】

(1)要证明的结论是“方程没有整数根”,故应假设:方程

存在实数根 x0 为整数,故选 A.
【答案】 A

(2)假设 a,

b,

c成等差数列,则 a+ c=2 b,

即 a+c+2 ac=4b. 又 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac, 即 b= ac, 所以 a+c+2 ac=4 ac, 所以 a+c-2 ac=0,即( a- c)2=0, 所以 a= c,从而 a=b=c, 所以 a,b,c 可以成等差数列,这与已知中“a,b,c 不成等差数列”相矛 盾. 原假设错误,故 a, b, c不成等差数列.

1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有 “ 不 ”“ 不是 ”“ 不可能 ”“ 不存在 ” 等词语的命题称 为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适 合使用反证法. 2.反证法证明问题的一般步骤

[ 再练一题] 1.(2016· 晋州高二检测)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和.求证:数列{Sn}不是等比数列.

【证明】 假设数列{Sn}是等比数列,则 S2 2=S1S3,
2 2 即 a2 (1 + q ) = a · a (1 + q + q ), 1 1 1

因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 所以数列{Sn}不是等比数列.

利用“反证法”“证明”“至少” “至多”等存在性命题

已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能都大于 1 4.

【精彩点拨】

“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对

立面为“全部大于”.

1 【自主解答】 假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 都大于4. ∵a,b,c∈(0,1), ∴1-a>0,1-b>0,1-c>0.

?1-a?+b ∴ ≥ ?1-a?b> 2

1 1 4=2.

?1-b?+c 1 ?1-c?+a 1 同理 >2, >2. 2 2 三式相加得 ?1-a?+b ?1-b?+c ?1-c?+a 3 + + > 2, 2 2 2 3 3 即2>2,矛盾. 1 所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能都大于4.

应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时, 直接证明不易入 手且讨论较复杂.这时,可用反证法证明,证明时常见的“结论 词”与“反设词”如下:

结论词 至少有一个 至多有一个

反设词 一个也没有 至少有两个

结论词 对所有 x 成立 对任意 x 不成立 p或q p且q

反设词 存在某个 x0 不成立 存在某个 x0 成立 綈 p 且綈 q 綈 p 或綈 q

至少有 n 个 至多有 n-1 个 至多有 n 个 至少有 n+1 个

[ 再练一题] 2.已知 a,b,c,d∈R,且 a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c, d 中至少有一个是负数. 【导学号:60030058】

【证明】 假设 a,b,c,d 都是非负数, 因为 a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1. 又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, 所以 ac+bd≤1, 这与已知 ac+bd>1 矛盾, 所以 a,b,c,d 中至少有一个是负数.

[ 探究共研型]
利用反证法证明唯一性命题

探究 反证法解题的实质是什么? 【提示】 否定结论、导出矛盾,从而证明原结论正确.

已知直线 m 与直线 a 和 b 分别交于 A,B 两点,且 a∥b.求证:过 a, b,m 有且只有一个平面. 【精彩点拨】 “有且只有”表示“存在且唯一”,因此在证明时,要分 别从存在性和唯一性两方面来考虑.
【自主解答】 因为 a∥b, 所以过 a,b 有一个平面 α. 又因为 m∩a=A,m∩b=B, 所以 A∈a,B∈b, 所以 A∈α,B∈α. 又因为 A∈m,B∈m,所以 m?α,

即过 a,b,m 有一个平面 α,如图.

假设过 a,b,m 还有一个平面 β 异于平面 α, 则 a?α,b?α,a?β,b?β,这与 a∥b,过 a,b 有且只有一个平面矛盾. 因此,过 a,b,m 有且只有一个平面.

用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在 性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存 在”等形式出现的命题时,可先证“存在性”,由于假设“唯一 性”结论不成立易导出矛盾,因此可用反证法证其唯一性.

[ 再练一题] 3.若函数 f(x)在区间[ a,b] 上的图象连续,且 f(a)<0,f(b)>0,且 f(x)在[ a, b] 上单调递增,求证: f(x)在(a,b)内有且只有一个零点. 【证明】 由于 f(x)在[ a,b] 上的图象连续,且 f(a)<0, f(b)>0,即 f(a)· f(b)<0,
所以 f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为 m,则 f(m)=0. 假设 f(x)在(a,b)内还存在另一个零点 n,即 f(n)=0,则 n≠m. 若 n>m,则 f(n)>f(m),即 0>0,矛盾; 若 n<m,则 f(n)<f(m),即 0<0,矛盾. 因此假设不正确,即 f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.

[ 构建· 体系]

1.“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 C.a,b,c 中至少有两个偶数

)

D.a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数 【解析】 自然数 a,b,c 的奇偶性共有四种情形:(1)3 个都是奇数;(2)2
个奇数,1 个偶数;(3)1 个奇数,2 个偶数;(4)3 个都是偶数,所以否定正确的 是 a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数. 【答案】 D

2.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正确的 是( ) A.三个内角中至少有一个钝角 B.三个内角中至少有两个钝角 C.三个内角都不是钝角 D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 【解析】 “至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至

少有两个”. 【答案】 B

3.“x=0 且 y=0”的否定形式为________.

【解析】 “p 且 q”的否定形式为“綈 p 或綈 q”.
【答案】 x≠0 或 y≠0

4.完成反证法证题的全过程. 题目:设 a1,a2,?,a7 是由数字 1,2,?,7 任意排成的一个数列,求证: 乘积 p=(a1-1)(a2-2)?(a7-7)为偶数. 证明:假设 p 为奇数,则________ 均为奇数. 因奇数个奇数之和为奇数,故有 奇数=________________ =________________ =0. 但奇数≠偶数,这一矛盾说明 p 为偶数.

【解析】 由假设 p 为奇数可知 a1-1,a2-2,?,a7-7 均为奇数,故(a1 -1)+(a2-2)+?+(a7-7)=(a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7)=0 为奇数, 这与 0 为偶数矛盾. 【答案】 a1-1,a2-2,?,a7-7 (a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) (a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7)

5.若 a,b,c 互不相等,证明:三个方程 ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a= 0,cx2+2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根.
【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根, 则 Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0. 相加得 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,(a-b)2+(b-c)2+(c- a)2≤0,∴a=b=c.这与 a,b,c 互不相等矛盾. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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