2016.2.28二倍角和正弦定理1教师版

姓名:

三角函数与三角恒等变换 常见的一些式子及其变型:

π? 2π? ? ? 4 3 1、已知 sin?α+3?+sinα=- 5 ,则 cos?α+ 3 ?等于
? ? ? ?

4 答案.5 解析 π? ? 4 3 由 sin?α+3?+sinα=- 5 ,得
? ?

1 3 4 3 3 3 4 3 sin α + cos α + sin α =- ,所以 sin α + cos α =- 2 2 5 2 2 5 . π? π? ? ? 4 3 4 故 3sin?α+6?=- 5 .于是 sin?α+6?=-5.
? ? ? ?

π?? 2π? ?π ? π? 4 ? ? 所以 cos?α+ 3 ?=cos?2+?α+6??=-sin?α+6?=5.
? ? ? ? ?? ? ?

2sin2α+sin2α π 1 π 2、已知 tan(α+4)=2,且-2<α<0,则 π? 等于 ? cos?α-4?
? ?

答案.- 解析

2 5 5

π? tanα+1 1 ? 1 π 由 tan?α+4?= =2,得 tanα=-3.又-2<α<0, ? ? 1-tanα

10 所以 sinα=- 10 . 2sin2α+sin2α 2sinα?sinα+cosα? 2 5 故 = = 2 2sin α =- π? 5 . ? 2 cos?α-4? ? ? 2 ?sinα+cosα? 3、不查表求值: 2 sin130? ? sin100?(1 ?
答案:2
1

3 tan 370?)

1 ? cos10?

.

姓名:

4、如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并 求此最大面积. 4.解:以 OA 为 x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设 P 的坐标为(cosθ ,sinθ ),则 |PS|=sinθ .直线 OB 的方程为 y= 3 x, 直线 PQ 的方程为 y=sin

3 3 sinθ ;sinθ ),所以|PQ|=cosθ - sinθ . 3 3 3 3 3 3 于是 SPQRS=sin θ (cos θ - sin θ )= ( 3 sin θ cos θ - sin2 θ )= ( sin2 θ - 3 3 3 2 3 3 3 3 1 ? cos 2? 1 1 ? )= ( sin2θ + cos2θ - )= sin(2θ + )- . 3 2 3 6 2 2 2 6 1 ? ? ? 5 ? ∵0<θ < ,∴ <2θ + < π .∴ <sin(2θ + )≤1. 6 2 3 6 6 6 3 ? ? ∴sin(2θ + )=1 时,PQRS 面积最大,且最大面积是 ,此时,θ = ,点 P 为 的 6 6 6 3 1 , ). 中点,P( 2 2
θ .联立解之得 Q(

5.已知 cos(

?
4

+x)=

sin 2 x ? 2 sin2 x 3 17? 7? ,( <x< ),求 的值. 1 ? tan x 5 4 12

3 ? 7 ? x ) ? ,? sin 2 x ? ? cos 2( ? x ) ? . 4 5 4 25 17? 7 5? ? ? 4 又 ? x ? ? ,? ? x ? ? 2? ,? sin(x ? ) ? ? 12 4 3 4 4 5 2 2 sin 2 x ? 2 sin x 2 sin x cos x ? 2 sin x 2 sin x (sin x ? cos x ) cos x ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 7 4 ? ? (? ) sin 2 x sin( ? x ) 5 ? 28 4 ? ? 25 ? 3 75 cos( ? x ) 4 5 5.解 :? cos(
6、若

?

π π α∈(2,π),则 3cos2α=sin(4-α),则 sin2α 的值为(

)

17 答案.- 18
2

姓名:

π 2 解析:由 3cos2α=sin(4-α)得 3(cos2α-sin2α)= 2 (cosα-sinα), 2 2 1 从而 3(cosα+sinα)= 2 , 即 cosα+sinα= 6 平方得 1+2sinαcosα=18, 17 ∴2sinαcosα=-18 正弦定理 正弦定理内容: 变形: 两个原则:

解的个数问题 7、 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 a= 2, b=2,sinB+cosB= 2,则角 A 的大小为________. 解析 π? ? 由题意知,sinB+cosB= 2,所以 2· sin?B+4?= 2,所
? ?

π a b 2 2 以 B=4,根据正弦定理可知sinA=sinB,可得sinA= π,所以 sinA sin4 1 π =2,又 a<b,故 A=6. 8、设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC +ccosB=asinA,则△ABC 的形状为 答案.直角三角形 解析 由正弦定理及已知条件可得 sinBcosC+cosBsinC=sin2A,

即 sin(B+C)=sin2A,而 B+C=π-A,所以 sin(B+C)=sinA,所以 π sin2A=sinA,又 0<A<π,sinA>0,∴sinA=1,即 A=2. 9、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且满
3

姓名:

足 csinA= 3acosC,则 sinA+sinB 的最大值是 答案. 3 解析 由 csinA= 3acosC,

所以 sinCsinA= 3sinAcosC,即 sinC= 3cosC. π 2π 所以 tanC= 3,C=3,A= 3 -B.
?2π ? 所以 sinA+sinB=sin? 3 -B?+sinB ? ?

π? ? 2π π π 5π = 3sin?B+6?.因为 0<B< 3 ,所以6<B+6< 6 .
? ?

π π π 所以当 B+6=2,即 B=3时,sinA+sinB 的最大值为 3. →· → =tanA,当 A=π时,△ABC 的面 10、在△ABC 中,已知AB AC 6 积为________. 解析 →· → =tanA,可得|AB → ||AC → |cosA=tanA,因为 A=π,所 由AB AC 6

→ ||AC → |· 3= 3,即|AB → ||AC → |=2. 以|AB 2 3 3 1→ → 1 2 1 1 1 所以 S△ABC=2|AB ||AC|· sinA=2×3×2=6.答案 6

4


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