2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件:第一章 导数及其应用1.1.1_1.1.2变化率问题导数的概念_图文


第一章 §1.1 变化率与导数

1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念

学习 目标

1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念. 2.掌握函数平均变化率的求法. 3.掌握导数的概念,会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.

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知识梳理

自主学习

知识点一

函数的平均变化率

1.平均变化率的概念 设函数y=f(x),x1,x2是其定义域内不同的两个点,那么函数的变化率 f?x2?-f?x1? x2-x1 表示,我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的 可用式子 平均变化率,习惯上用Δx表示x -x ,即Δx=x -x ,可把Δx看作是相 2 1 2 1

对于x1的一个“增量”,可用x1+Δx代替x2;类似地,Δy= f(x2)-f(x1) . Δy 于是,平均变化率可以表示为 Δx .
答案

2.求平均变化率
求函数y=f(x)在[x1,x2]上平均变化率的步骤如下:

(1)求自变量的增量Δx= x2-x1 ;
(2)求函数值的增量Δy= f(x2)-f(x1) ; f?x2?-f?x1? Δy (3)求平均变化率 = x2-x1 Δx f?x1+Δx?-f?x1? = . Δx

答案

思考 (1)如何正确理解Δx,Δy? 答案 Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘,其值可取正值、负值, 但Δx≠0;Δy也是一个整体符号,若Δx=x1-x2, 则Δy=f(x1)-f(x2),而不是Δy=f(x2)-f(x1),Δy可为正数、负数,亦可 取零.

答案

(2)平均变化率的几何意义是什么?

答案 如图所示:y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均
变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上陡峭程度的

“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视
?Δ y ? ? ? 越大,曲线y=f(x)在区间[x ,x ]上越“陡峭”,反之亦然. 觉化”, 1 2 ? ? ?Δ x ?

平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率,

若函数y=f(x)图象上有两点A(x1,f(x1)) ,B(x2,f(x2)) ,
f?x2?-f?x1? 则 =kAB. x2-x1
答案

知识点二

瞬时速度与瞬时变化率 瞬时速度 .做直线运动的物体,它的运

把物体在某一时刻的速度称为

动规律可以用函数s=s(t)描述,设Δt为时间改变量,在t0+Δt这段时间 内,物体的位移(即位置)改变量是Δs= s(t0+Δt)-s(t0) ,那么位移改

变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度 v ,即 s?t0+Δt?-s?t0? Δs Δt v = Δt = .

答案

物理学里,我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度,即
t0时刻的瞬时速度,用v表示,物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体 s?t0+Δt?-s?t0? 在t0到t0+Δt这段时间内的平均变化率 在Δt→0时的极 Δt

s?t0+Δt?-s?t0? Δs 限,即 v= lim .瞬时速度就是位移函数对时间 = lim → → Δt 0 Δt Δt 0 Δt 的 瞬时变化率 .

答案

思考 (1)瞬时变化率的实质是什么?
答案 其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值,它是刻 画函数值在某处变化的快慢. (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么? 答案 ①区别:平均变化率刻画函数值在区间 [x1,x2]上变化的快慢,

瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢; Δy ②联系:当Δx趋于0时,平均变化率 趋于一个常数,这个常数即为 Δx 函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.

答案

知识点三

导数的概念

函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数

f?x0+Δx?-f?x0? Δy 一般地, 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是Δ lim =Δ lim , x→0 Δx x→0 Δx 我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的 导数 ,记作 f′(x0)或 y ? |x ? x0 ,即 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim Δx→0 Δx f′(x0)=Δ lim = . x→0 Δx

答案

思考 (1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存在? Δy Δy 答案 函数 f(x)在 x0 处可导,是指 Δx→0 时,Δx有极限,如果Δx不存在
极限,就说函数在点 x0 处无导数.

(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么? 答案 求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下: ①求函数值的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
Δy f?x0+Δx?-f?x0? ②求平均变化率:Δx= ; Δx f?x0+Δx?-f?x0? Δy ③取极限,得导数:f′(x0)=Δ lim =Δ lim . x→0 Δx x→0 Δx
答案 返回

题型探究

重点突破

题型一 求平均变化率



当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率为

2 2 f ? x + Δ x ? - f ? x ? [2 ? x + Δ x ? + 3] - ? 2 x Δy 0 0 0 0+3? = = Δx Δx Δx

4x0Δx+2?Δx?2 = = 4 x 0+2Δx. Δx
1 1 当 x0=2,Δx=2时,平均变化率的值为 4×2+2×2=9.
反思与感悟 解析答案

2Δx+4

解析 因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(Δx)2+4Δx,
Δy 所以平均变化率Δx=2Δx+4.

解析答案

1 1 解 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)= 2- 2 ?x0+Δx? x0 Δx?2x0+Δx? =- 2 2, ?x0+Δx? x0

Δx?2x0+Δx? - 2 2 ? x + Δ x ? x0 0 Δy ∴Δx= Δx

2x0+Δx =- 2 2. ?x0+Δx? x0
解析答案

题型二 例2

实际问题中的瞬时速度

一作直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2(位移单

位:m,时间单位:s). (1)求此物体的初速度;
s?Δt?-s?0? 3Δt-?Δt?2 解 初速度 v0=Δ lim =Δ lim t→0 Δt t→0 Δt
= lim (3-Δt)=3.
Δt→0

即物体的初速度为3 m/s.

解析答案

(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;
解 s?2+Δt?-s?2? v 瞬=Δ lim t →0 Δt
2

3?2+Δt?-?2+Δt? -?3×2-4? =Δ lim t→0 Δt
-?Δt?2-Δt =Δ lim t→0 Δt
=Δ lim (-Δt-1)=-1. t→0

即此物体在t=2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度方向相反.
解析答案

(3)求t=0到t=2时的平均速度.
解 s?2?-s?0? 6-4-0 v= = =1. 2 2-0

即t=0到t=2时的平均速度为1 m/s.

反思与感悟

解析答案

Δs 2.989 v1 = Δt ≈ 0.1 =29.89(米/秒).

同理,当 t 在区间[3,3.01] 上时, v2 ≈29.449(米/秒)

当 t 在区间[3,3.001]上时, v3 ≈29.404 9(米/秒),

当 t 在区间[3,3.000 1]上时, v4 ≈29.400 49(米/秒).
解析答案

(2)求t=3秒时的瞬时速度. 1 1 2 2 g ? 3 + Δ t ? - g · 3 s ? 3 + Δ t ? - s ? 3 ? 2 2 Δs 解 Δt = = Δt Δt

1 =2g(6+Δt),
Δs 1 lim =Δ lim g(6+Δt)=3g≈29.4(米/秒). Δt→0 Δt t→0 2

所以t=3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒.

解析答案

题型三 函数在某点处的导数
1 1 解 Δy=(1+Δx)- -(1-1) 1+Δx Δx =Δx+ , 1+Δx Δx Δx+ 1+Δx Δy 1 =1+ , Δx = Δx 1+Δx
Δy 1 ∴Δ lim = lim (1 + ) = 2 , → → x 0 Δx Δx 0 1+Δx

从而y′|x=1=2.
反思与感悟 解析答案

?Δx? +4Δx 4 4 4 解 ∵Δy= 2- 2= 2-1=- 2 , 2 ?Δx+2? ?Δx+2? ?Δx+2?
2

Δx+4 Δy ∴Δx=- 2, ?Δx+2?
Δx+4 Δy ∴Δ lim =-Δ lim 2=-1. x → 0 Δx x→0 ?Δx+2?

解析答案

易错易混

因对导数的概念理解不到位致误

例4 设函数f(x)在x0处可导,且f′(x0)已知,求下列各式的极限值.
f?x0-Δx?-f?x0? (1)lim ; Δx→0 Δx f?x0+h?-f?x0-h? (2)lim . h→0 2h

防范措施

解析答案

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当堂检测

1

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3

4

5

1.在求解平均变化率时,自变量的变化量Δx应满足( C ) A.Δx>0 C.Δx≠0 B.Δx<0 D.Δx可为任意实数

解析答案

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3

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2.沿直线运动的物体从时间 t 到 t+Δt 时,物体的位移为 Δs,那么 Δs lim 为 ( ) B → Δt 0 Δt

A.从时间t到t+Δt时物体的平均速度 B.t时刻物体的瞬时速度 C.当时间为Δt时物体的速度 D.从时间t到t+Δt时位移的平均变化率
解析 Δs Δs v = Δt ,而Δ lim 则为 t 时刻物体的瞬时速度 . → t 0 Δt
解析答案

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1 2
解析 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1+Δx-1,
1+Δx-1 Δy 1 ∴Δx= = , Δx 1+Δx+1
Δy ∴f′(1)=Δ lim =Δ lim x→0 Δx x→0 1 1 =2. 1+Δx+1

解析答案

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f?x0+3Δx?-f?x0? 4.设 f(x)在 x0 处可导,若Δ lim =A,则 f′(x0)= x→0 Δx

1 3A

.

解析

f?x0+3Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx

f?x0+3Δx?-f?x0? =33Δ lim =3f′(x0)=A. x→0 3Δx
1 故 f′(x0)=3A.

解析答案

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3

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5

解析答案

课堂小结
Δy 1.求平均变化率的步骤:(1)求 Δy,Δx.(2)求Δx. Δs Δs 2.求瞬时速度的一般步骤:(1)求 Δs 及 Δt.(2)求 Δt . (3)求Δ lim . t→0 Δt 3.利用定义求函数 f(x)在 x=x0 处的导数: (1)求函数的改变量 Δy=f(x0+Δx) f?x0+Δx?-f?x0? Δy -f(x0).(2)求Δx.(3) y ' |x ? x0=Δ lim . x→0 Δx

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