选修1-1第三章导数测试题(含详解)1


高中数学(文科)选修 1-1 第三章导数单元测试题
一、选择题(本大题共 10 小题.每题只有一个正确答案,请把正确答案的选项填在括号内) 1.已知 f(x)在 x=x0 处可导,则 lim A.f′(x0) C.f(x0)·f′(x0) 2.物体运动的方程为 s= A.5 C.125 3. (2006.安徽高考.理 7)若曲线 A. 4 x ? C. 4 x ?

? f ( x)?2 ? ? f ( x0 )?2 等于
x ? x0
B.f(x0) D.2f(x0)·f′(x0)

x? x0

1 4

t4-3,则 t=5 的瞬时速度为
B.25 D.625

y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为
B. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

y ?3 ? 0

y ?3? 0
3 2

4.对于函数 f(x)=x -3x ,给出命题:①f(x)是增函数;②f(x)为减函数,无极值;③f(x)是增函数的区间为 (-∞,0)∪(2,+∞),是减函数的区间为(0,2);④f(0)是极大值,f(2)=-4 是极小值.其中正确的命题有 A.1 个 C.3 个
2 3

B.2 个 D.4 个

5.若曲线 y=x -1 与 y=1-x 在 x=x0 处的切线互相垂直,则 x0 等于
3

A.

36 6

3

B.-

36 6

C.

2 3
3 2

D.

2 3

或0

6.已知函数 f(x)=x -3x -9x,x∈(-2,2),则 f(x) A.极大值为 5,极小值为-27 C.极大值为 5,无极小值 A、f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1)
2

B.极大值为 5,极小值为-11 D.极小值为-27,无极大值 ) B. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1)

( ?0,则必有( 7. (2006.江西高考.理 5)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ? x)

8.函数 f(x)=x(1-x )在[0,1]上的最大值为

A.

2 3 9 3 2 9
sin x ? ,则 f′( sin x ? cos x ?
)等于

B.

2 2 9
3 8

C.

D.

9.已知 f(x)=

1

A.

1 2
1 2
2

B.

1 2 2
1 2

C.

D.-

10.已知函数 f(1)=x +2xf′(1),则 f(-1)与 f(1)的大小关系是 A.f(-1)=f(1) C.f(-1)>f(1) B.f(-1)<f(1) D.无法确定

二、填空题(本大题共 4 小题.把答案填在题中横线上) 11.曲线 y=x +3x +6x-10 的切线中,斜率最小的切线方程为__________. 12.已知函数 y=x +ax +bx+27 在 x=-1 处有极大值,在 x=3 处有极小值,则 a=__________,b=__________. 13.函数 f(x)=x -x 的单调增区间为__________. 14. (2006·全国高考 I·理 16)设函数 奇函数,则 ?
3 3 2 3 2

f ? x ? ? cos

? _________。

?

3x ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 。若 f ? x ? ? f

?

/

?x ? 是

三、解答题(本大题共 6 小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.若 f(x)= 值范围. 16.已知函数 f(x)=x -3ax +2bx 在 x=1 处有极小值-1,试确立 a、b 的值,并求 f(x)的单调区间.
3 2

1 1 x - ax +(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数 a 的取 3 2
2 2

17.设函数 y=4x +ax +bx+5 在 x= (1)写出函数的解析式; (2)指出函数的单调区间;

3

2

3 2

与 x=-1 时有极值.

(3)求 f(x)在[-1,2]上的最值. 18. 某银行准备新设一种定期存款业务,经预测:存款量与存款率的平立成正比,比例系数为 k(k>0),贷款的 利率为 4.8%,又银行吸收的存款能全部放贷出去. (1)若存款利率为 x,x∈(0,0.048),试写出存款量 g(x)及银行应支付给储户的利息 h(x)与存款利率 x 之间 的关系式; (2)存款利率定为多少时,银行可获得最大效益?

19. (2006.天津高考.文 20)已知函数

f ( x) ? 4 x3 ? 3x 2 cos ? ?

1 ,其中 x ? R , ? 32

为参数,且

0 ≤? ≤

π . 2

(Ⅰ)当 cos ?

? 0 时,判断函数 f ( x) 是否有极值;

2

(Ⅱ)要使函数

f ( x) 的极小值大于零,求参数 ?

的取值范围;

(Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 实数 a 的取值范围.

f ( x) 在区间 (2a ?1 a) 内都是增函数,求 ,

20. (2006.浙江高考.理 20)已知函数 f(x)=x + x ,数列|x n |(x n >0)的第一项 x n =1,以后各项 按如下方式取定:曲线 x=f(x)在 ( xn?1 , 平行(如图)求证:当 n ? N 时,
*

3

3

f ( xn?1 )) 处的切线与经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点的直线

(Ⅰ)x n ? xn
2

2 ? 3xn?1 ? 2xn?1 ;

(Ⅱ) (

1 n ?1 1 ) ? xn ? ( ) n?2 . 2 2

答案:

1. 思路分析: lim

x? x0

? f ( x) ? f ( x0 )?? f ( x) ? f ( x0 )? = lim [f(x)+f(x )] lim ·
x ? x0
0

x? x0

x? x0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

=2f(x0)·f′(x0). 答案:D

2. 思路分析:利用导数的物理意义.
答案:C

3.思路分析:与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x 在某一点的导数为 4,
4



y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 .

答案: A

4.思路分析:f′(x)=3x2-6x=0,∴x=0 或 x=2.
当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,2)时,f′(x)<0;x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以③④正确. 答案:B

5.思路分析:y′| x? x0 =2x0-1,y′| x? x0 =-3x02,∴2x0·(-3x02)=-1.∴x03=
答案:A

1 6

3

.∴x0=

36 . 6

6.思路分析:f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)=0.∴x=3(舍)或 x=-1.
∴当 x∈(-2,-1)时,f′(x)>0;x∈(-1,2)时,f′(x)<0. 答案:C

7.思路分析:依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x)
?0,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)?f(1) ,f(2)?f(1). 3

答案: C

8.思路分析:f′(x)=1-3x2=0,则 x=±
答案:A

3 3 3 2 3 .∵x∈[0,1],∴x= .∴f( )= ,f(0)=0,f(1)=0. 3 3 3 9

9.思路分析:f′(x)=(

sin x (sin x)?(sin x ? cos x) ? sin x(sin x ? cos x)? )′= sin x ? cos x (sin x ? cos x) 2
.

=

1 cos x(sin x ? cos x) ? sin x(cosx ? sin x) cos2 x ? sin 2 x = = 2 2 (sin x ? cos x) (sin x ? cos x) 1 ? sin 2 x

将 x=

? ? 代入 f′(x)中得 f′( ? ?

)=

1 2

.

答案:C

10.思路分析:f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=2+2f′(1).∴f′(1)=-2.∴f(x)=x2-4x.
∴f(1)=3,f(-1)=5. 答案:C

11.思路分析:y′=3x2+6x+6=3(x0+1)2+3≥3.当 x=-1 时,y′min=3,当 x=-1 时,y=-14.
∴切线方程为 y+14=3(x+1),即 3x-y-11=0. 答案:3x-y-11=0

12.思路分析:y′=3x2+2ax+b,则-1、3 是方程 3x2+2ax+b=0 的两根,∴a=-3,b=-9.
答案:-3 -9

13.思路分析:f′(x)=3x2-1>0,∴x>

3 3 或 x<- . 3 3

答案:(-∞,-

3 3 )和( ,+∞) 3 3

f ' ? x ? ? ? sin 14.思路分析: h ? x ? ? f ? x ? ? f '? x ?

?

3x ? ?

??

3x ? ? ' ? ? 3 sin

?

?

3x ? ?

?

? ? ? 2 ?cos cos 3 ?

?

3 x ? ? ? sin

?

?
3

sin

?

? 3x ? ? ? ?

?

?? ? ? 2cos ? 3 x ? ? ? ? 3? ?
h ? x ? 为奇函数,需且仅需 ? ? 3 ? k? ? 2 ? k ? Z ? ,即: ? ? k? ? 6 ? k ? Z ? 。 要使
0 ? ? ? ? ,所以 k 只能取 0,从而 又

?

?

?

??

?
6


? 答案: 6

.

15.思路分析:本题已知函数的单调性,(1,4) 和(6,+∞)应为 f(x)=

1 1 x- 3 2
2

ax2+(a-1)x+1 的单调区间的

4

子集 答案::函数 f(x)的导数 f′(x)=x -ax+a-1. 令 f′(x)=0,解得 x=1 或 x=a-1,当 a-1≤1,即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意. 当 a-1>1 即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函数,在(a-1, +∞)上为增函数. 依题意,当 x∈(1,4)时,f′(x)<0;当 x∈(6,+∞)时,f′(x)>0. 所以 4≤a-1≤6.解得 5≤a≤7. 所以 a 的取值范围是[5,7].
2

16.思路分析:函数 f(x)=x3-3ax2+2bx 在 x=1 处有极小值-1 说明 x=1 为 f(x)的导函数的根,再求单调区
间时,可以根据求函数单调区间的一般步骤。 答案:∵f′(x)=3x -6ax+2b,由题意 f′(1)=3-6a+2b=0,且 f(1)=1-3a+2b=-1. ∴a=
2

1 1 ,b=- 3 2
2

.∴f(x)=x -x -x.

3

2

1 或 1. 3 1 1 易知当 x<- 或 x>1 时,f′(x)>0;当- <x<1 时,f′(x)<0. 3 3 1 1 ∴f(x)的增区间为(-∞,- )和(1,+∞);减区间为(- ,1). 3 3 3 3 17.思路分析:函数 y=4x +ax +bx+5 在 x= 与 x=-1 时有极值.说明 x= 2 2
∴f′(x)=3x -2x-1=0 ? 驻点 x=-
3 2

与 x=-1 是导函数对应方程的两

根,利用韦达定理即可求出 a,b 的值,即求出解析式,然后根据求单调区间和最值的一半步骤即可求出。 答案::(1)y′=12x +2ax+b.由题设 x= 则 x=
2

3 2

与 x=-1 时函数有极值,

3 2

与 x=-1 满足 f′(x)=0,

即 12·(

3 2

) +2a·

2

3 2

+b=0 且 12(-1) +2a(-1)+b=0.
3 2

2

解得 a=-3,b=-18.∴y=4x -3x -18x+5. (2)y′=12x -6x-18=6(x+1)(2x-3),列表如下:
2

由上表可知(-∞,-1)和( (3)极值点-1,

3 2

,+∞)上均为函数的单调递增区间.(-1,

3 2

)为函数的单调递减区间.

3 2

均属于[-1,2].

又∵f(-1)=16,f(2)=-11>-

61 . 4 61 ,最大值为 16. 4

故 f(x)在[-1,2]上的最小值是-

18.思路分析:根据题意列出 g(x)及 h(x)的函数关系,由收益=贷款收益-存款利息,建立收益与贷款收益、

5

支付存款利息间的关系,从而利用导数求最值. 答案:(1)由题意,存款量 g(x)=kx .银行应支付的利息 h(x)=xg(x)=kx . (2)设银行可获得收益为 y,则 y=0,048kx -kx , y =0.096kx-3kx ,令 y =0,得 x=0(舍去)或 x=0.032. 当 x∈(0,0.032)时, y >0;当 x∈(0.032,0.048)时, y <0, 所以当 x=0.032 时,y 取得最大值. 即当存款利率为 3.2%时,银行可获得最大收益.
/ / / 2 / 2 3 2 3

19. 思路分析:本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和
解决问题的能力. 答案: (I)当 cos ? (II) 由0 ??

?

?

1 , 则 f ( x) 在 (??, ??) 内是增函数,故无极值. 32 cos ? . f '( x) ? 12x2 ? 6x cos? , 令 f '( x) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? 2

? 0 时 f ( x) ? 4 x3 ?

2

及(I) ,只需考虑 cos ?

? 0 的情况.

当 x 变化时,

f '( x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)
因此,函数

(??, 0)


0

(0,

cos ? ) 2


cos ? 2
0

(

cos ? , ??) 2


0

?

极大值

?

极小值

?

cos ? cos ? cos ? 1 1 ), 且 f ( ) ? ? cos3 ? ? . 处取得极小值 f ( 2 2 2 4 32 cos ? 1 1 1 ? ? ) ? 0, 必有 ? cos3 ? ? ? 0, 可得 0 ? cos ? ? , 所以 ? ? ? 要使 f ( 2 4 32 2 3 2 cos ? , ??) 内都是增函数. (III)解:由(II)知,函数 f ( x ) 在区间 ( ??, 0) 与 ( 2
f ( x) 在 x ?
由题设,函数

f ( x) 在 (2a ? 1, a) 内是增函数,则 a 须满足不等式组

? 2a ? 1 ? a ? ?a ? 0
由(II) ,参数 ? 有 2a ? 1 ?

? 2a ? 1 ? a ? 或? 1 ?2a ? 1 ? 2 cos ? ?

? ? 1 1 ? ( , ) 时, 0 ? cos? ? . 要使不等式 2a ? 1 ? cos ? 3 2 2 2

关于参数 ? 恒成立,必

1 . 4 5 5 ? 0 或 ? a ? 1. 所以 a 的取值范围是 (??, 0] ? [ ,1). 8 8

综上,解得 a

20.思路分析:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻辑推
理能力.

6

答案: I)因为 (

f ' ( x) ? 3x2 ? 2 x,

所以曲线

y ? f ( x)



( xn?1 , f ( xn?1 ))

处的切线斜率

2 kn?1 ? 3xn?1 ? 2xn?1.

因为过 (0, 0) 和 ( xn ,

2 2 f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn ? xn , 所以 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1 .

(II)因为函数 h( x) ?

2 x2 ? x 当 x ? 0 时单调递增,而 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1

? 4xn?12 ? 2xn?1 ? (2xn?1 )2 ? 2xn?1 ,
所以 xn

? 2xn?1 ,即

xn?1 1 x x x 1 ? , 因此 xn ? n ? n ?1 ????? 2 ? ( )n ?1. xn 2 xn ?1 xn ?2 x1 2
yn?1 1 ? . yn 2

又因为 xn

2

2 2 ? xn ? 2( xn?1 ? xn?1 ), 令 yn ? xn ? xn , 则

1 1 y1 ? x12 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( ) n ?1 ? y1 ? ( ) n ?2 . 2 2 1 n?2 1 n ?1 1 2 ? xn ? ( ) n ? 2 . 因此 xn ? xn ? xn ? ( ) , 故( ) 2 2 2
因为

7


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