【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:7-1命题及其关系、充分条件与必要条件


第七章 常用逻辑用语、推理与证明

第一节 命题及其关系、充分条件与必要条件

考纲导学 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否 命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

1. 已知 a, b, c∈R, 命题“若 a+b+c=3, 则 a2+b2+c2≥3” 的否命题是( )

A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3
解析:a+b+c=3 的否定是 a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3 的否 定是 a2+b2+c2<3.

答案:A

2. 设集合 A={x∈R|x-2>0}, B={x∈R|x<0}, C={x∈R|x(x -2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:A∪B={x∈R|x<0 或 x>2},C={x∈R|x<0 或 x>2}, ∵A∪B=C,∴x∈A∪B 是 x∈C 的充分必要条件.故选 C.

)

答案:C

3.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( A.若 a?M,则 b?M C.若 a?M,则 b∈M B.若 b?M,则 a∈M D.若 b∈M,则 a?M

)

解析:命题的逆否命题:“若 b∈M,则 a?M”与原命题等价, 故选 D.

答案:D

4. 命题“若 C=90° , 则△ABC 是直角三角形”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( A.0 B.2 C.3 ) D.4

解析:命题“若 C=90° ,则△ABC 是直角三角形”是正确的, ∴其逆否命题也正确. 又∵命题“若 C=90° ,则△ABC 是直角三角形”的逆命题是 “若△ABC 是直角三角形,则 C=90° ”是错误的. ∴否命题也是错误的, ∴只有两个命题正确.
答案:B

5.设A、B为两个集合,下列四个命题: ①A?B?对任意x∈A,有x?B;②A?B?A∩B=?;③A?B?A? B;④A?B?存在x∈A,使得x?B. 其中真命题的序号是__________.(把符合要求的命题序号都 填上)
解析:若A={1,2,3},B={2,3,4},则集合A、B满足A?B.但2 ∈A,2∈B,故①、②错.若取A={1,2,3},B={2,3},则集合A、B 满足A?B,但A?B,故③是错误的.

答案:④

一、命题 在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以① ________________叫做命题.其中②__________的语句叫做真命 题,③____________的语句叫做假命题. 二、四种命题及其关系 1.四种命题

命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题

表述形式 若p则q ④__________ ⑤____________ ⑥____________

2.四种命题间的关系

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有⑩______的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性? __________. 三、充分条件与必要条件 1.如果p?q,那么p是q的?__________,q是p的? __________. 2.如果p?q且q?p,那么p是q的?__________.

答案:①判断真假的陈述句 q则p ⑤若綈p则綈q ⑩相同

②判断为真

③判断为假 ⑧否命题 ?必要条件

④若 ⑨ ?

⑥若綈q则綈p ?没有关系

⑦逆命题

逆否命题 充要条件

?充分条件

1.用集合的观点,看充要条件 设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有: (1)若A?B,则p是q的充分条件,若A B,则p是q的充分不必 要条件; (2)若B?A,则p是q的必要条件,若B A,则p是q的必要不充 分条件; (3)若A=B,则p是q的充要条件; (4)若A B,且B A,则p是q的既不充分也不必要条件.

2.从逆否命题,谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当 判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真 假.这就是常说的“正难则反”.

考点一

四种命题及其真假判断 )

例 1 下列命题中的真命题是(

A.命题“若a、b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题 B.命题“奇数的平方不是偶数”的否定 C.命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题 D.命题“至少有一个内角为60° 的三角形是正三角形”的否 命题

解析:选择项A中的命题是“a+b是偶数,则a、b都是偶 数”,举一反例即能断定这是一个假命题; 选择项B中的命题是“存在一个奇数,其平方是偶数”,显然 也是一个假命题; 注意到空集是任何非空集合的真子集,而不是任何集合的真 子集,∴选择项C中的原命题是一个假命题, ∴它的逆否命题也是一个假命题;

选择项D中的命题是“三个内角均不为60° 的三角形不是正三 角形”,这显然是一个真命题. 所以正确选项为D.

答案:D

【师说点拨】原命题与它的逆命题不等价,原命题与它的否 命题也不等价,解题时应该充分注意这一点,要避免犯“用一个 命题的逆命题或否命题的真假来断定原命题的真假”的错误.

变式探究1

已知:命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上 )

是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是(

A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数, 则m>1”,是真命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是 增函数”,是假命题

C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上 是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上 不是增函数”,是真命题

解析:由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex- m≥0恒成立,∴m≤1.∴命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上 是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函 数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
答案:D

考点二 例 2

充分条件与必要条件的判定 (1)(2013· 福建卷)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是 )

“点P在直线l:x+y-1=0上”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)(2014· 济南模拟)如果a=(1,k),b=(k,4),那么“a∥b”是 “k=-2”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

解析:(1)当x=2且y=-1时,满足方程x+y-1=0,但方程x +y-1=0有无数多个解,不能确定x=2且y=-1,∴“x=2且y= -1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件. (2)因为a∥b,所以1×4-k2=0,即4=k2,所以k=± 2. 所以“a∥b”是“k=-2”的必要不充分条件.

答案:(1)A

(2)B

【师说点拨】判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p则 q”及其逆命题“若q则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假, p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必 要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件; 原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件,同 时要注意反例法的运用.

变式探究2

1 已知条件p:x≤1,条件q: x <1,则綈p是q的

(

) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 解析:由x>1,得 x <1;反过来,由 x <1,不能得知x>1, 即綈p是q的充分不必要条件.

答案:A

考点三 例 3

充分条件、必要条件的探求 (1)若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则 )

“A∩B≠?”的充要条件是( A.a>-2 C.a>-1

B.a≤-2 D.a≥-1

? ?log2x,x>0, (2)函数f(x)= ? x ? ?2 -a,x≤0

有且只有一个零点的充分不必要

条件是(

) 1 B.0<a<2 D.a<0

A.a≤0或a>1 1 C. <a<1 2

解析:(1)A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<a},如图所示: ∵A∩B≠?,∴a>-1.
? ?log2x,x>0, (2)因为f(x)= ? x ? ?2 -a,x≤0

有且只有一个零点的充要条件为

a≤0或a>1.由选项可知,使“a≤0或a>1”成立的充分条件为选 项D.

答案:(1)C

(2)D

【师说点拨】有关探求充要条件的选择题,破题关键是:首 先,判断是选项“推”题干,还是题干“推”选项;其次,利用 以小推大的技巧,即可得结论.

变式探究3

“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同 )

的交点”的一个充分不必要条件可以是( A.-1<k<3 C.0<k<3 B.-1≤k≤3 D.k<-1或k>3

解析:“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交 |1-0-k| 点”等价于 < 2 ,解得k∈(-1,3).四个选项中只有(0,3) 2 是(-1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是0<k<3.

答案:C

考点四 例 8)≤0}. 4

充分条件、必要条件的应用 已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)· (x-

(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要 条件; (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充 分但不必要条件; (3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个 必要但不充分条件.

解析:(1)由M∩P={x|5<x≤8},得-3≤a≤5,因此M∩P= {x|5<x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}; (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充 分但不必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取a= 0,此时必有M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P={x|5<x≤8}未必 有a=0,故a=0是所求的一个充分不必要条件;

(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个 必要不充分条件就是另求一个集合Q,使{a|-3≤a≤5}是集合Q的 一个真子集.如果{a|a≤5}时,未必有M∩P={x|5<x≤8},但是 M∩P={x|5<x≤8}时,必有a≤5,故{a|a≤5}是所求的一个必要 不充分条件.

【师说点拨】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或 充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式求解.

变式探究4

(2014· 吉林模拟)已知p:-2≤x≤10,q:(x-

a)(x-a-1)>0,若p是q成立的充分不必要条件,则实数a的取值 范围是__________.

解析:由(x-a)(x-a-1)>0,得x>a+1或x<a,由题意, 得{x|-2≤x≤10} {x|x>a+1或x<a}. 所以a+1<-2或a>10,即a<-3或a>10.

答案:(-∞,-3)∪(10,+∞)

·方法与技巧 1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必要保留 大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成的命题,在 写其它三种命题时,应把其中一个(或 n 个)作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定 理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的.

3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法:利用A?B与綈B?綈A,B?A与綈A?綈B,A?B与

綈B?綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运

用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若A?B,则A是B的充分条件 或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.

?失误与防范 1.否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命题 的否定是只否定命题的结论.要注意区别. 2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方向性, 充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.

an+an+1 1.(2014· 陕西卷)原命题为“若 <an,n∈N+,则{an} 2 为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断 依次如下,正确的是( A.真,真,真 C.真,真,假 ) B.假,假,真 D.假,假,假

an+an+1 解析:从原命题的真假入手,由于 <an?an+1<an? 2 {an}为递减数列,即原命题和否命题均为真命题,又原命题与逆 否命题同真同假,则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题,选 A.
答案:A

2.(2014· 北京卷)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:可采用特殊值法进行判断,令a=1,b=-1,满足a> b,但不满足a2>b2,即条件“a>b”不能推出结论“a2>b2”; 再令a=-1,b=0,满足a2>b2,但不满足a>b,即结论“a2> b2”不能推出条件“a>b”.故选D.
答案:D

3.(2014· 广东卷)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( A.充分必要条件 C.必要非充分条件 )

B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

a b 解析:由正弦定理,得 sinA = sinB ,故a≤b?sinA≤sinB,选 A.
答案:A

4.(2014· 江西卷)下列叙述中正确的是(

)

A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2 -4ac≤0” B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有 x2≥0” D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则 α∥β

解析:由b2-4ac≤0推不出ax2+bx+c≥0,这是因为a的符号 不确定,所以A不正确;当b2=0时,由a>c推不出ab2>cb2,所以 B不正确;“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2 <0”,所以C不正确,选D.
答案:D

5.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p: f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 )

解析:设f(x)=x3,f′(0)=0,但是f(x)是单调增函数,在x=0 处不存在极值,故若p则q是一个假命题,由极值的定义可得若q则 p是一个真命题.故选C.
答案:C

基础训练 训练案·课时作业(点击进入)


相关文档

【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:6-1不等关系与不等式
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:8-3空间点、直线、平面之间的位置关系
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:10-2用样本估计总体
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:9-2两条直线的位置关系与距离公式
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:3-7正弦定理与余弦定理
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:9-4直线与圆、圆与圆的位置关系
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:5-1数列的概念与简单表示
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:10-4随机事件的概率
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:3-6简单的三角恒等变换
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:10-3变量间的相关关系、统计案例
电脑版