高中数学(人教a版)必修一教案:§2.1.2指数函数及其性质(2)

第 2 课时
2、例题 例 1:(P57 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.73

( 2 ) 0.8?0.1 与 0.8?0.2
( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1
解法 1:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出 y ? 1.7x 的

图象,在图象上找出横坐标分别为 2.5, 3 的点,显然,图象上横坐标就为 3 的点在横坐标为

2.5 的点的上方,所以 1 . 72 . 5? 1 . .73

8
6
4 y ? 1.7x
2

-10

-5

0 -2

-4

-6

-8

5

10

解法 2:用计算器直接计算:1.72.5 ? 3.77 1 . 73 ? 4 . 9 1

所以,1.72.5 ? 1.73
解法 3:由函数的单调性考虑
因为指数函数 y ? 1.7x 在 R 上是增函数,且 2.5<3,所以,1.72.5 ? 1.73
仿照以上方法可以解决第(2)小题 . 注:在第(3)小题中,可以用解法 1,解法 2 解决,但解法 3 不适合 .
由于 1.70.3=0.93.1 不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到 1, 把这两数值分别与 1 比较大小,进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大小 .
思考:
1、已知 a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8, 按大小顺序排列 a, b, c .

1

1

2. 比较 a3与a 2的大小( a >0 且 a ≠0).

指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有很多实际的应用. 例 2(P57 例 8)截止到 1999 年底,我们人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均 增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题:

1999 年底 经过 1 年 经过 2 年 经过 3 年

人口约为 13 亿 人口约为 13(1+1%)亿 人口约为 13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2 亿 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿

经过 x 年

人口约为 13(1+1%) x 亿

经过 20 年

人口约为 13(1+1%)20 亿

解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则

y ? 13(1?1%)x

当 x =20 时, y ? 13(1?1%)20 ? 16(亿)

答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿.
小结:类似上面此题,设原值为 N,平均增长率为 P,则对于经过时间 x 后总量

y ? N (1? p)x , 像y ? N (1? p)x 等形如y ? kax (K ? R , a >0 且 a ≠1)的函数称为指数

型函数 . 思考:P58 探究: (1)如果人口年均增长率提高 1 个平分点,利用计算器分别计算 20 年后,33 年后的
我国人口数 . (2)如果年平均增长率保持在 2%,利用计算器 2020~2100 年,每隔 5 年相应的人口数 . (3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势? (4)如何看待计划生育政策? 3.课堂练习

(1)右图是指数函数① y ? ax

② y ? bx ③ y ? cx ④ y ? d x 的图象,判断

y ? bx y ? cx

8
Y=
6

y ? ax

4

y ?dx

2

-10
a,b, c, d 与 1 的大小关系;

-5 -2 -4 -6

5

10

(2)设 y1 ? a3x?1 , y2 ? a2? x , 其中 a >0,a ≠1,确定 x 为何值时,有:① y1 ? y2



y1 > y2
(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的 3 ,写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的函数关系 4
式,若要使存留的污垢,不超过原有的 1%,则少要漂洗几次(此题为人教社 B 版 101 页第 6 题).
归纳小结:本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住 a >1 或 0< a <时 y ? ax 的

图象,在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用,形如 y ? kax (a>0 且

a ≠1).


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