成才之路·北师大版数学必修1-2.2.3

第二章

§2

第 3 课时

一、选择题 1.下列从集合 A 到集合 B 的对应中为映射的是( A.A=B=N+,对应法则 f:x→y=|x-2|
? ?1 B.A=R,B={0,1},对应法则 f:x→y=? ?0 ?

)

?x≥0? ?x<0?

C.A=B=R,对应法则 f:x→y=± x 1 D.A=Z,B=Q,对应法则 f:x→y= x [答案] B [解析] A 中元素 2 无象,排除 A;C 中一个 x 对应两个 y,与映射定义不符,排除 C; D 中元素 0 无像,排除 D,故只有 B 正确. 2.设 f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射,则下面的命题为真命题的是( A.A 中的每一个元素在 B 中必有像 B.B 中的每一个元素在 A 中必有原像 C.B 中的每一个元素在 A 中的原像唯一 D.A 中的不同元素的像必定不同 [答案] A [解析] 由映射的定义可知,集合 A 中的每一个元素在 B 中必有像,故选 A. 3.已知(x,y)在映射下的像是(x+y,x-y),则像(1,2)在 f 下的原像为( 5 3 A.( , ) 2 2 3 1 C.(- ,- ) 2 2 [答案] D
? ?x+y=1 根据题意得? ,∴ ?x-y=2 ?

)

)

3 1 B.(- , ) 2 2 3 1 D.( ,- ) 2 2

[解析]

?x=2 ? 1 ?y=-2

3

.

4. 设 A={x|0≤x≤2}, B={y|1≤y≤2}, 下列能表示从集合 A 到集合 B 的映射的是(

)

[答案] D [解析] 对于 A,当 x=0,y=0?{y|1≤y≤2},不是从 A 到 B 的映射;对于 B,当 x=2 时 y=0?{y|1≤y≤2},也不是从 A 到 B 的映射;对于 C,当 x=0 时,y=1 且 y=2,即集合 A 中的一个元素 0 与集合 B 中的两个元素 1 和 2 相对应,所以也不是从 A 到 B 的映射;对 于 D,集合 A 中的任何一个元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,所以是从 A 到 B 的 映射. 5.下列对应为 A 到 B 的函数的是( A.A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x| B.A=Z,B=N+,f:x→y=x2 C.A=Z,B=Z,f:x→y= x D.A=[-1,1],B={0},f:x→y=0 [答案] D [解析] 由函数的定义可知,对于 A,0∈R, 且|0|=0?B,故 A 不是 f:A→B 的函数; 对于 B,0∈Z,且 02=0?N+, 故 B 不是 f:A→B 的函数; 对于 C,当 x<0 时,如-2∈Z,但 -2无意义, 故 C 不是 f:A→B 的函数; 对于 D,是多对一的情形, 符合函数的定义,是 f:A→B 的函数. 6.下列对应是集合 M 到集合 N 的一一映射的是( 1 A.M=N=R,f:x→y=- ,x∈M,y∈N x B.M=N=R,f:x→y=x2,x∈M,y∈N 1 C.M=N=R,f:x→y= ,x∈M,y∈N |x|+x D.M=N=R,f:x→y=x3,x∈M,y∈N ) )

[答案] D [解析] 用排除法,A 中集合 M 的元素 0,在 f 下,N 中没有元素与之对应,所以这个 对应不是映射;B 中集合 M 的元素± 1,在 f 下的像都是 1,故排除 B;C 中,负实数及 0 在 f 下没有元素和它对应,应排除;故选 D. 二、填空题 7.已知集合 A={a,b},B={m,n},则由 A 到 B 的一一映射的个数为________. [答案] 2 [解析] 由题意可知如图:

共有 2 个一一映射. b 8.a,b 为实数,集合 M={ ,1},N={a,0},f:x→x 表示把集合 M 中的元素 x 映射 a 到集合 N 中仍为 x,则 a+b 的值等于________. [答案] 1 [解析] 因为 f:x→x,∴M=N, b ∴ =0,a=1,故 a+b=1. a 三、解答题 9.已知映射 f:A=B={(x,y)|x∈R,y∈R}, f:(x,y)→(x+2y+2,4x+y). (1)求 A 中元素(5,5)的像; (2)求 B 中元素(5,5)的原像; (3)A 中是否存在这样的元素(a,b),使它的像仍是自己?若存在,求出这个元素;若不 存在,请说明理由. [解析] (1)∵x=5,y=5, ∴(x+2y+2,4x+y)=(17,25). ∴A 中元素(5,5)的像是(17,25). (2)设元素(5,5)的原像是(m,n),得
? ?m+2n+2=5, ? ?4m+n=5, ? ?m=1, ? ∴? ?n=1, ?

∴(5,5)的原像是(1,1).

? ? ?a+2b+2=a, ?a=0, (3)假设 A 中存在这样的元素(a,b),则由题意得? ∴? ?4a+b=b, ?b=-1, ? ?

∴A 中存在元素(a,b)使它的像仍是它自己,这个元素为(0,-1).

一、选择题 1.已知 A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列对应不表示从 A 到 B 的映射的是( 1 A.f:x→y= x 2 3 C.f:x→y= x 2 [答案] C 1 1 [解析] 对于 A,当 0≤x≤4 时,0≤ x≤2,f:x→y= x 能构成 A 到 B 的映射;对于 2 2 1 4 3 B,0≤ x≤ ,也能构成集合 A 到集合 B 的映射;对于 C,0≤ x≤6,而[0,6]?[0,2],所以不能 3 3 2 构成从 A 到 B 的映射;对于选项 D,0≤ x≤2,能构成从 A 到 B 的映射. 2.已知映射 f:A→B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中的元素在映射 f 下的像,且对任意的 a∈A,在 B 中和它对应的元素是|a|,则集合 B 中的 元素的个数是( A.4 C.6 [答案] A [解析] ∵a∈A,∴|a|=1,2,3,4, 即 B={1,2,3,4}. 二、填空题 3.已知集合 A={a,b,c},B={0,1},若映射 f:A→B 满足 f(a)+f(b)=f(c),则这样 的映射的个数是________. [答案] 3 [解析] 由于 f(a)+f(b)=f(c),所以只能有 f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1,或 f(a)=1,f(b) =0,f(c)=1,或 f(a)=f(b)=f(c)=0,即这样的映射有 3 个. 4.下列对应是集合 A 到集合 B 的一一映射的是________(填正确序号). (1)A=N,B={-1,1},x∈A,y∈B,f:x→y=(-1)x; 1 (2)A={x|0≤x≤3},B={y|0≤y≤1},f:x→y= x; 3 1 (3)A={x|0≤x≤1},B={y|y≥1},f:x→y= ; x ) B.5 D.7 1 B.f:x→y= x 3 D.f:x→y= x )

(4)A={三角形},B=R,f:三角形与它面积的对应. [答案] (2) [解析] (1)(2)(4)为映射,(3)不是映射(因为(3)中集合 A 中的元素 0 没有像),只有(2)是 一一映射. 三、解答题 5.设 f,g 都是由 A 到 A 的映射(其中 A={1,2,3}),其对应关系如下表: 映射 f 的对应关系 原像 像 1 2 2 3 3 1 映射 g 的对应关系 原像 像 1 2 2 1 3 3

设 a=g(f(3)),b=g(g(2)),c=f(g(f(1))).试判断 a,b,c 的大小关系. [解析] ∵a=g(f(3))=g(1)=2, b=g(g(2))=g(1)=2, c=f(g(f(1)))=f(g(2))=f(1)=2, ∴a=b=c. 6.下列对应是不是从 A 到 B 的函数?是不是从 A 到 B 的映射? (1)A=B=N,f:x→|x-3|; (2)A={x|x 是三角形},B={x|x 是圆}, f:三角形的内切圆; (3)A=R,B={1},f:x→y=1; 1 (4)A=[-1,1],B=[-1,1],f:x→y= . x [解析] (1)当 x∈N 时,则|x-3|∈N,即 A 中的元素在 B 中都有像,所以(1)是映射,也 是函数. (2)由于 A,B 不是数集,所以(2)不是函数,但每个三角形都有唯一的内切圆,所以(2) 是 A 到 B 的映射. (3)A 中的每一个数都与 B 中的数 1 对应,因此,(3)是 A 到 B 的函数,它是 A 到 B 的映 射. 1 (4)取 x=0,y= 没有意义,即 A 中元素 0 在 B 中没有像,所以(4)不是函数,也不是映 0 射. 规律技巧总结:(1)函数是一种特殊的映射,是非空数集间的一种映射. (2)有的同学问: 关系式 y=1 是 y 关于 x 的函数, 那么关系式 x=1 是 y 关于 x 的函数吗? 对于关系式 x=1,显然有 x∈{1},y∈R,则 1 与全体实数建立对应关系,不符合函数的定 义,因此,“x=1”不是 y 关于 x 的函数. 7.已知:集合 A={x|-2≤x≤2},B={x|-1≤x≤1}.对应 f:x→y=ax.若在 f 的作用

下能够建立从 A 到 B 的映射 f:A→B,求实数 a 的取值范围. [解析] ①当 a≥0 时,集合 A 中元素的像满足-2a≤ax≤2a.若能够建立从 A 到 B 的映
?-2a≥-1, ? 1 射,则[-2a,2a]?[-1,1],即? ∴0≤a≤ . 2 ?2a≤1, ?

②当 a<0 时,集合 A 中元素的像满足 2a≤ax≤-2a,若能建立从 A 到 B 的映射,
? ?2a≥-1, 1 1 1 则[2a,-2a]?[-1,1],即? ∴- ≤a<0.综合①②可知- ≤a≤ . 2 2 2 ? ?-2a≤1,


相关文档

成才之路·北师大版数学必修1-3.2
成才之路·北师大版数学必修1-2.3
成才之路·北师大版数学必修1-1.3.2
【成才之路】2014-2015高中数学北师大版必修3同步练习:1.2.2分层抽样与系统抽样
【2016成才之路】(北师大版)数学必修1课件:第一章 集合 1.3.2
成才之路·北师大版数学必修1-3.5.2
【成才之路】高中数学 2-1、2-3 映 射同步练习 北师大版必修1
【成才之路】高中数学 2.2.3映射同步测试 北师大版必修1
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 指数扩充及其运算性质课件 北师大版必修1
【成才之路】高中数学 3-2 指数扩充及其运算性质同步练习 北师大版必修1
电脑版