空间向量及其运算基础梳理

第三章 空间向量及其运算
基础知识 要点梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有 (2)零向量:规定 (3)单位向量: (4)相等向量:方向 和 的量叫做空间向量. 的向量叫做零向量,记为 的向量称为单位向量 且模 的向量. 而方向 的向量称为 a 的相反向量,记为 ,则这些向 自主学习

(5)相反向量:与向量 a 长度 量叫做 (7)共面向量: (1)共线向量定理

(6)共线(平行)向量:表示空间向量的有向线段所在直线 或平行向量 . 的向量.

2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是 推论 如图所示,点 P 在 L 上的充要条件是 . . ① 其中 a 叫直线 L 的方向向量,t∈R, 在 L 上取 AB ? a ,则①可化为 OP ? .

或OP ? (1 ? t )OA ? t OB.
(2)共面向量定理的向量表达式:p= 其中 x,y∈R,a,b 为不共线向量, 推论的表达式为 .或对空间任意一点 O 有 OP ? 或OP ? xOM ? yOA ? zOB,其中 x+y+z=1. (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组 {x,y,z} ,使得 p= ,把{a,b,c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的加法、减法、数乘、数量积及运算律 (1)与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图) 。 . ,

OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a(? ? R)

? ? 运算律:①加法交换律: a ? b ? ? ? ? ②加法结合律: (a ? b ) ? c ? ? ? ③数乘分配律: ? (a ? b) ?
(2)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

; ;

运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则

已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作 OA = a,OB = b,则 的夹角,记作 若〈a,b〉= ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则 (3)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λ a)·b= ②交换律:a·b= ③分配律:a· (b+c)= 4.空间向量的坐标表示及应用 ; . ; 叫做向量 a,b 的数量积,记作 ,其范围是 ,则称 a 与 b , ,记作 a⊥b.

叫做向量 a 与 b

,即

(1)空间直角坐标系中的坐标:
在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组 ( x, y, z ) ,使

OA ? xi ? yi ? zk ,则有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 OA 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐
标,记作 , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。

(2)空间向量加法、减法、数乘及数量积的坐标表示 若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a+b = a- b = λ a = a·b= . , , ,

(3)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a∥b ? a⊥b ?

?

,

,

,

?
=

(a,b 均为非零向量). , cos 〈a,b〉 = .

(4)模、夹角和距离公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|= 若 A(a1,b1,c1) ,B(a2,b2,c2) ,则 dAB=

=


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