数列综合题4(经典分类)

数列 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 n ?1 例题 1. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? 3 ? an?1 (n ? 2) . (1)求 a2 , a3 ; (2)证明:
an ? 3n ? 1 2 .

例题 2. 数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1(n ? 1) (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;

b成 1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?3 (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b 等比数列,求 Tn .
2 例题 3. 已知数列 ?an ? 的前三项与数列 ?bn ? 的前三项对应相同,且 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ...

?2n?1 an ? 8n 对任意的 n ? N* 都成立,数列 bn?1 ? bn 是等差数列.

?

?

⑴求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;
? ⑵是否存在 k ? N ,使得 bk ? ak ? (0,1) ,请说明理由.

例题 4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1 成等差数列,bn、an+1、bn+1 成等比数列,且 a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项 an,bn
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

2. 研究前 n 项和的性质 例题 5.
n 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? a ? 2 ? b ,且 a1 ? 3 . (1)求 a 、 b 的值及数列 {an } 的通项公式;

(2)设

bn ?

n an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

例题 6. 数列 {an } 是首项为 1000,公比为 10 的等比数列,数列 {bn } 满足 1 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? ? lg ak ) (k ? N* ) , k
? (1)求数列 {bn } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n .

1

例题 7. 已知递增的等比数列{ an }满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项.
an (1)求{ an }的通项公式 an ; (2)若 bn ? an log 1 , Sn ? b1 ? b2 ? 2
? bn 求使 Sn ? n ? 2n?1 ? 30

成立的 n 的最小值.
* 例题 8. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 ?1, Sn , an?1 成等差数列, n ? N , a1 ? 1 . 函数

f ( x) ? log3 x .

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设数列 {bn } 满足
5 2n ? 5 Tn与 ? 12 312 的大小.
bn ? 1 (n ? 3)[ f (an ) ? 2] ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 T ,试比较 n

3. 研究生成数列的性质 (II) 设 ?a n ?、 ?bn ?是公比不相等的两个等比数列, cn ? an ? bn ,证明数列 ?c n ?不是等 比数列.
n n 例题 9. (I) 已知数列 ?c n ?,其中 cn ? 2 ? 3 ,且数列 ?cn?1 ? pcn ? 为等比数列,求常数 p ;

例题 10. n2( n≥4)个正数排成 n 行 n 列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成 1 3 a 42 ? , a 43 ? 8 16 等比数列,并且所有公比相等 已知 a24=1, 求 S=a11 + a22 + a33 + ? + ann
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

f ( n) * 例题 11. 已知函数 f ( x) ? log3 (ax ? b) 的图象经过点 A(2,1) 和 B(5,2) ,记 an ? 3 , n ? N . (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设

bn ?

an , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 2n ,若 Tn ? m(m ? Z ) ,求 m 的最小值;

(1 ?

(3)求使不等式

1 1 1 )(1 ? )?(1 ? ) ? p 2n ? 1 a1 a2 an 对一切 n ? N * 成立的最大实数 p .

(二)证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列. * 例题 12. 数列 {an } 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an , n ? N . ⑴求数列 {an } 的通项公式; ⑵设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n ;
1
* ⑶设 bn = n(12 ? an ) (n ? N ),Tn ? b1 ? b2 ?

? bn (n ? N* ) ,是否存在最大的整数 m ,使得对任

m * T ? n ? N n 32 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 意 ,均有

例题 13. 已知等比数列 {bn } 与数列 {an } 满足 bn ? 3a , n ?N*. (1)判断 {an } 是何种数列,并给出证明; (2)若 a8 ? a13 ? m, 求b1b2 b20 .
n

2. 由简单递推关系证明等差等比数列 例题 14. 已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 0 , bn ? an an?1 ( n ? N * ) , 且 {bn } 是以 q 为公比的等比数列.
2 (I)证明: an?2 ? an q ; (II)若 cn ? a2n?1 ? 2a2n ,证明:数列 {cn } 是等比数列;

1 1 1 1 ? ? ? ? (III)求和: a1 a2 a3 a4

?

1 a2 n ?1

?

1 a2 n .

例题 15. 设数列 {an }的前n项和为S n , 且S n ? (1 ? ? ) ? ?an , 其中? ? ?1,0 (1)证明:数列 {an } 是等比数列; (2)设数列 {an } 的公比 q ? f (? ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? ,bn=f (bn-1) (n∈N*,n≥2) ,求 数列 {bn } 的通项公式; (3)设 ? ? 1 , Cn ? an ( 【模拟试题】 一、填空题 1. 在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于= 2. 已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,则其前 n 项和 Sn ? . .
1 ? 1) ,求数列 {Cn } 的前 n 项和Tn. bn

3. 首项为-24 的等差数列,从第 10 项开始为正,则公差 d 的取值范围是 . 2 4. 在等比数列 {an } 中, a3 和 a5 是二次方程 x ? kx ? 5 ? 0 的两个根,则 a 2 a4 a6 的值为 . 5. 等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n= . 6. 等差数列{an}的前 m 项和为 30, 前 2m 项的和为 100, 求它的前 3m 项的和为_______ a7 An 7 n ? 45 ? n ? 3 , b7 = 7. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 Bn
an ,若 b n 为正整数,n 的取值个数为___________。

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

8.

a1 ? * 9 ,则 a36 ? 已知数列 ?an ? 对于任意 p,q ? N ,有 a p ? aq ? a p?q ,若 1

1

.
1 2
n?2

9. 记数列 {an } 所有项的和为 S (1) ,第二项及以后各项的和为 S ( 2 ) ,第三项及以后各项的
S(3) ? , 2 和为 S (3) ,? , 第 n 项及以后各项的和为 S ( n ) , 若 S(1) ? 2 ,S(2) ? 1 ,



S( n) ?

,



则 an 等于

. 10. 等差数列 {an } 共有 2 n ? 1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间项 为____. 2 11. 等差数列 {an } 中,an ? 0 , 若 m ? 1 且 am?1 ? am ? am?1 ? 0 ,S2m?1 ? 38 , 则 m 的值为 . 12. 设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和. 已知 S6 ? 36, Sn ? 324, Sn?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 等于 . 13. 已 知 函 数 f ( x) 定 义 在 正 整 数 集 上 , 且 对 于 任 意 的 正 整 数 x , 都 有
f ( x? 2 )? 2f ( x? ? 1 f ()x) ,且 f (1) ? 2, f (3) ? 6 ,则 f (2005) ? __

__. .

14. 三个数 a, b, c 成等比数列,且 a ? b ? c ? m(m ? 0) ,则 b 的取值范围是

15. 等差数列 {an } 中,前 n 项和为 S n ,首项 a1 ? 4, S9 ? 0 . (1)若 an ? Sn ? ?10 ,求 n (2) 设 bn ? 2 a ,求使不等式 b1 ? b2 ? ? bn ? 2007 的最小正整数 n 的值. 点拨:在等差数列中 an , S n , n, d 知道其中三个就可以求出另外一个,由已知可以求出首
n

项 a1 与公差 d ,把 an , S n 分别用首项 a1 与公差 d ,表示即可. 对于求和公式 Sn ?
Sn ? na1 ?

单一些. 例如:已知 a9 ? 0, a10 ? 0, a9 ? a10 ? 0, 判断 S17 , S18 , S20 的正负. 问题 2 在思考时要注意加 了绝对值时负项变正时,新的数列首项是多少,一共有多少项. 16. 等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ? 2 , S3 ? 9 ? 3 2 . (I)求数列{ an }的通项 an 与前 n 项和为 Sn ; (II)设
bn ? Sn * n ( n?N ) ,求证:数列{ bn }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

n(n ? 1) d 采用哪一个都可以,但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简 2

n(a1 ? an ) , 2

17. 在直角坐标平面上有一点列 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) , Pn ( xn , yn ) 函数
y ? 3x ?

,对一切正整数 n,点 Pn 位于

5 13 ? P 4 的图象上,且 n 的横坐标构成以 2 为首项, ?1为公差的等差数列 {xn } .

⑴求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶
, 2 ? 1) 点 为 Pn , 且 过 点 Dn ( 0 n , 设 与 抛 物 线 cn 相 切 于 Dn 的 直 线 的 斜 率 为 k n , 求 :
1 1 ? ? k1k 2 k k 2 3 1 kn ? kn 1 . ? ,等差数列{ an }的任一项 an ? S ? T , ⑶设 S ? ?x | x ? 2xn , n ? N, n ? 1? ,T ? ? y | y ? 4yn ,n ? 1 ?

其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ?265 ? a10 ? ?125 ,求{ an }的通项公式.
* 18. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N ) ,

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
b ?1 b ?1 (2)若数列 ?an ? 满足 4 4
1 2

4bn ?1 ? (a n ?1)bn (n ? N* )(n∈N*) ,证明:?bn ? 是等差数列.

【试题答案】 1. 42
n(5n ? 1) 2 2. 8 ( ,3] 3. 3 ?

4. ?5 5 5. 10 6. 210 7. 8.5;5 个 解法一:点拨 利用等差数列的求和公式 a p ? aq am ? ? 2 ” “若 2m ? p ? q, m, p, q ? N ,则
( a1 ? a13 ) ? 13 A13 17 2 a 7 (b ? b ) ? 13 ? B ? 2 1 13 13 2 解析: b7 =
2 解法 2: 点拨 利用“若{ an }为等差数列,那么 S n ? an ? bn ”这个结论,根据条件 找出 an 和 bn 的通项.

Sn ?

(a1 ? an )n 2 及等差数列的性质

解析:可设 An ? kn(7n ? 45) , Bn ? kn(n ? 3) ,则 an ? An ? An?1 ? k (14n ? 38) , a 7 k (14 ? 7 ? 38) 17 ? 2 bn ? k (2n ? 2) ,则 b7 = k (2 ? 7 ? 2)
an k (14n ? 38) 12 12 ?7? k (2 n ? 2) n ? 1 b n 由上面的解法 2 可知 = ,显然只需使 n ? 1 为正整数即可, n ? 1, 2,3,5,11 故 ,共 5 个. 点评:对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握,根据具体的情况能够灵活应用. 反思:解法 2 中,若是填空题,比例常数 k 可以直接设为 1.

8. 4 9. 解:
an ? S( n) ? S( n?1) ? 1 2
n?2

?

1 1 ? n?1 n ?1 2 2 .

?(n ? 1)an ?1 ? 319 ? 10. 解:依题意,中间项为 a n?1 ,于是有 ? nan?1 ? 290 解得 an?1 ? 29 .
2 11. 解 : 由 题 设 得 am ? am?1 ? am?1 ? 2am , 而 am ? 0 , ? am ? 2 , 又

S2m?1 ? 38 ,

?38 ?

(a1 ? a2m?1 )(2m ? 1) 2am (2m ? 1) ? ? 2(2m ? 1) 2 2 , m ? 10 . 12. 解: S6 ? (Sn ? Sn?6 ) ? 6(a1 ? an ) ? 36 ? (324 ? 144) ? 216 , a1 ? an ? 36 , n(a1 ? an ) Sn ? ? 324 2 . ∴ n ? 18 。
* 13. 解:由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 f ( x ? 1) 知函数 f ( x)( x ? N ) 当 x 从小到大依次取值时对应的一

系列函数值组成一个等差数列, f (1), f (3), , f (2005) 形成一个首项为 2,公差为 4 的等差数 列, f (2005) ? 2 ? (1003 ? 1) ? 4 ? 4010 .
b b 1 m a ? , c ? bq ? b ? bq ? m, b ? 0,? ? q ? 1 ? q q q b. 14. 解:设 ,则有

m 1 m ? ? q ?1? 3 ?0 ? b ? b q q ? 0 3; 当 时, ,而 b ? 0 ,
m 1 m ? ? q ? 1 ? ?1 ? ?1 b q q ? 0 当 时, ,即 b ,而 m ? 0 ,? b ? 0 ,则 ? m ? b ? 0 ,

m b ?[?m,0) ? (0, ] 3 . 故

15. 解: (1)由 S9 ? 9a1 ? 36d ? 0 ,得: d ? ?1, an ? 5 ? n , 又由 an ? Sn ? ?10,4 ? (n ? 1)(?1) ? 4n ? 即 n2 ? 7n ? 30 ? 0 ,得到 n ? 10 . (2)由 bn ? 2 5?n 若 n ≤5,则 b1 ? b2 ? 故 n >5, b1 ? b2 ?
? bn ≤ b1 ? b2 ?
n ?5

n(n ? 1) ? (?1) ? ?10 . 2

? b5 ? 31 ,不合题意

bn ? 31 ?

2(2 ? 1) ? 2007 2 ?1

即 2n?5 ? 989 ,所以 n ≥15,使不等式成立的最小正整数 n 的值为 15
? ?a1 ? 2 ? 1, ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2 ,? d ? 2 , 16. 解答: (I)由已知得 ?

故 an ? 2n ? 1 ? 2,Sn ? n(n ? 2) . (Ⅱ)由(Ⅰ)得
bn ? Sn ?n? 2 n .

2 假设数列 {bn } 中存在三项 bp , bq , br ( p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq ? bpbr .
2 即 (q ? 2) ? ( p ? 2)(r ? 2) .

?(q2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0

p,q,r ? N? ,
?q2 ? pr ? 0, p?r 2 ?? ? ( ) ? pr, ( p ? r )2 ? 0, ?p ?r ?2q ? p ? r ? 0, 2 .

与 p ? r 矛盾.
5 3 xn ? ? ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2 17. 解: (1) 13 5 3 5 ? yn ? 3 ? xn ? ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4

y ? a( x ? )2 ? ? cn 的对称轴垂直于 x 轴, 2 (2) 且顶点为 Pn . ? 设 cn 的方程为: 2 2 2 把 Dn (0, n ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? cn 的方程为: y ? x ? (2n ? 3) x ? n ? 1 .

2n ? 3

12n ? 5 , 4

k n ? y | x?0 ? 2n ? 3 , kn ?1kn
'

?

1

?

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 kn ?1kn ? 2 [( 5 ? 7 ) ? ( 7 ? 9 ) ? 1 1 1 1 1 ( ? )? ? = 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6 . (3) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N, n ? 1} ,
? ?

1 1 ? ? k1k2 k2 k3

1

?(

1 1 ? )] 2n ? 1 2n ? 3

T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N, n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N, n ? 1} ? S T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 .

设 {an } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265, ?125) ,由此得
? 248 ? d ? ?12, 又 an ?T ?d ? ?12m(m ? N* ) 9

?d ? ?24,?an ? 7 ? 24n(n ? N* )
* 18. (1)解: an?1 ? 2an ? 1(n ? N ), ?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.
? an ? 1 ? 2n.
1

n 即 an ? 2 ? 1(n ? N*) .
2 n n

k ?1 k k ?1 k ?1 (2)证: 4 4 ...4 ? (an ? 1) . ?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

? 4( k1 ?k2 ?...? kn )?n ? 2nkn .

① ②

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.

②-①,得 2(bn?1 ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0, ③
nbn ? 2 ? (n ? 1)bn ?1 ? 2 ? 0. ④

③-④,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,
?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N* ),

??bn ? 是等差数列.


相关文档

经典数列综合题
2013数列经典综合题
必做的数列综合题-经典
数列经典综合题66例
数列综合题分类
数列综合题分类集粹
数列经典综合题
数列经典综合题66例 无答案
五年高考数列经典综合题
电脑版