北京市2013年高考模拟系列试卷(一)数学理试题

北京市 2013 年高考模拟系列试卷(一)数学理试题
题 号 得 分 第 Ⅰ 卷 一 二 17 18 第Ⅱ卷 19 20 21 22 总分

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分。答卷前,考生务必将 自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是 符合题目要求的 1.复数 z=i2(1+i)的虚部为( ) U A.1 B.i C.– 1 D.– i 2.设全集 U ? R, A ? {x | 2 中阴影部分表示的集合为(
x? x ? 2?

? 1}, B ? {x | y ? ln? 1? x ? },则右图


{ { A. x | x ? 1} B. x |1 ? x ? 2}

{ C. x | 0 ? x ? 1}

{ D. x | x ? 1}
)

3.已知各项均为正数的等比数列{ an }中, a1a2 a3 ? 5, a7 a8a9 ? 10, 则 a4 a5 a6 ? ( A. 5 2 B.7 C.6
?0.8

D.4 2 )

?1? 4. 已知 a ? 2 , b ? ? ? ? 2?
1.2

, c ? 2log5 2 ,则 a, b, c 的大小关系为(

c ? a ? b C. b ? c ? a A. c ? b ? a B. D . b?a?c 5.已知某几何体的三视图如图, 其中正(主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为( )
A. 24 ?

3? 2

B. 24 ?

?

3

C. 24 ? ?

D. 24 ?

?

2

6.设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列 选项中不正确的是( ... )

A.当 n ? ? 时, n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 “ B.当 m ? ? 时, m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 “

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C.当 m ? ? 时, n / / ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 “ D.当 m ? ? 时, n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 “

?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.已知 x、 y 满足 ? x ? 3 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ?x ? y ? 0 ?
A. 5 B. -5 C . 6 D. -6

)

8.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? A.向左平移

? ?

??

只要将 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点( ? 的图象, 3?

)

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 ? B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 ? D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 ??? ??? ??? ? ? ? ? 9. 已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点, 2OA ? OB ? OC ? 0 , 且 则(
A. AO ? 2OD

)

????

????

B. AO ? OD

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2AO ? OD

????

????

10.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行, 要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( ) A. 24 种 B. 48 种 C. 36 种 D. 28 种 11.函数 y ? ln

e x ? e? x 的图象大致为( e x ? e? x

)

A.

B.

C.

D.

12. 已知 F1、F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a >0, b ? 0 )的左、右焦点, B 是虚 a 2 b2

轴的端点,直线 F1 B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P 、 Q 两点,线段 PQ 的垂直平分 线与 x 轴交于点 M ,若 MF2 ? F F2 ,则 C 的离心率是( 1 )

A.

2 3 3

B.

6 2

C. 2

D.

3

第 2 页 共 11 页

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上 13.阅读右面的程序框图,则输出的 S =

14.已知向量 i=(1,0) ,j=(0,1) ,a=i–2j,b=i+λj,且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 λ 的取 值范围 。 15.已知 ?ABC 中 AC ? 4, AB ? 2 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。, 若 G 为 ?ABC 的重心,则 AG ? BC ? 错误!未找到引用源。

???? ??? ?



16. 已 知 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ' ? x ? , 且 满 足 f ? x ? ? 2xf ' ?1? ? ln x , 则 f ? x ? 在 点

M (1, f ? 1 ) ? 处的切线方程为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b sin A ? 3a cos B . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3,sin C ? 2sin A ,求 a , c 的值.

18.(本题满分 12 分)
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已知数列 {an } 是等差数列, bn } 是等比数列, a1 ? b1 ? 2 , 4 ? 54 , 1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 . 且 { b a (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式 (2)数列 {cn } 满足 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

19.(本题满分 12 分) 四

A B 底 面 是 平 行 四 边 形 , 面 PAB ? C D 1 ABCD , PA ? PB ? AB ? AD , ?BAD ? 600 , E , F 分别为 AD, PC 的中点. 2
棱 锥
P

P?



(1)求证: EF / /面PAB (2)求证: EF ? 面PBD (3)求二面角 D ? PA ? B 的余弦值。
B

F

C

A

E

D

20. (本小题满分 12 分) 某校举行环保知识大奖赛, 比赛分初赛和决赛两部分, 初赛采用选手选一题答一题的方式进 行, 每位选手最多有 5 次选题答题的机会, 选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比 赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰,已知选手甲答题连续两次答错的概率 为

1 , (已知甲回答每个问题的正确率相同,并且相互之间没有影响。(I)求甲选手回答一 ) 9

个问题的正确率; (Ⅱ)求选手甲可进入决赛的概率; (Ⅲ)设选手甲在初赛中答题的个数为

? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。

21.(本题满分 12 分)己知 A 、 B 、 C 是椭圆 m :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上的三点, a 2 b2

第 4 页 共 11 页

其中点 A 的坐标为 (2 3,0) , BC 过椭圆的中心,且 AC ? BC ? 0 , | BC |? 2 | AC | 。 (Ⅰ)求椭圆 m 的方程; (Ⅱ)过点 (0, t ) 的直线 l (斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P , Q ,设 D 为椭圆 m 与 y 轴 负半轴的交点,且 | DP |?| DQ | ,求实数 t 的取值范围.

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

22.(本题满分 14 分) (1)证明不等式: ln(1 ? x) ?

x ( x ? 0) 1? x

ax 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围。 a?x x 1 ? x ? 1 在 [0, ??) 上恒成立,求实数 b 的最大值。 (3)若关于 x 的不等式 1 ? bx e
(2)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

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参考答案
一选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 A 5 A 6 C 7 D 8 A 9 B 10 B 11 C 12 B

二填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上) 3 1 13.30 14. 15. (–∞,– 2)∪ (– 2, ) 16. x ? y ? 1 ? 0 2 2 三解答题
17.【解析】 (1)? b sin A ? 3a cos B ,由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B --3 分 即得 tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.---------------------------------------------------6 分

(2)? sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a ,-------------------------8 分
2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a cos
2 2

?
3

,---------10 分

解得 a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .-----------------------------------------12 分 18【解析】(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q : 由 b4 ? b1q 3 ,得 q 3 ?
54 ? 27 ,从而 q ? 3 2

因此 bn ? b1 ? q n?1 ? 2 ? 3 n?1

???????????????3 分

又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,? a2 ? 8 从而 d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 a n ? a1 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 4 ???????????6 分 (Ⅱ) cn ? an bn ? 4 ? (3n ? 2) ? 3 n?1 令 Tn ? 1 ? 30 ? 4 ? 31 ? 7 ? 32 ? ? ? (3n ? 5) ? 3n?2 ? (3n ? 2) ? 3n?1

3Tn ? 1 ? 31 ? 4 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (3n ? 5) ? 3n?1 ? (3n ? 2) ? 3n ?????9 分
两式相减得

? 2Tn ? 1 ? 3 ? 31 ? 3 ? 3 2 ? 3 ? 3 3 ? ? ? 3 ? 3 n?1 ? ( 3n ? 2) ? 3 n ? 1 ? 3 ? 9(3n ?1 ? 1) ? 3n ? 2) ? 3n ( 2
,又 Sn ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7) ? 3n

3( 3 n?1 ? 1) 3?1

? (3n ? 2) ? 3 ? 1 ?
n

?Tn ?

7 3n (6n ? 7) ? 4 4

?????????12 分

19【解析】 (1) 取PB的中点,连FG,由题设FG / / BC , FG ?
第 6 页 共 11 页

1 BC -----1 分 2

? AE / / BC , AE ?

1 BC ? FG / / AE 2

AEFG是平行四边形 ,所以 EF / / AG ---2 分

AE ? 面PAB, EF ? 面PAB ? EF / /面PAB
------------------------4 分 (2) ? ?PAB是等边三角形,AG ? PB ----------------①

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 90
0

所以 BD ? AB -------6 分

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB
DB ? AG -----------------------②--------------------------------------------------7 分
由 ①②可知, AG ? PB, AG ? BD ? AG ? 面PBD
P F B

N

C

A

E

D

又EF / / AG,? EF ? 面PBD -----------------------------------------------9 分
(3)取 PA 的中点 N , 连BN , DN

?PAB是等边三角形? BN ? PA

? Rt?PBD~Rt?ABD ? PD ? AD
? AN ? PB ?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B
的平面角 ----------------------------11 分 由 (2)知 BD ? 面PAB, BD ? BN

在Rt?DBN中,BD ? 3AB ? 2BN
tan ? ? BD 5 5 ? 2, cos ? ? 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ---------------12 分 BN 5 5
第 7 页 共 11 页

解法二 (1)

z
P F B C

A

E

D

x

y

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 90
0

所以 BD ? AB

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB
建系 {BA, BD, z} 令 AB ? 2

??? ??? ? ?

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 , C ?2, 2 3, 0

?

? ?

? ?

?

??? 1 ??? ???? 1 ? ? 3 EF ? AP ? DC ? ?3, 0, 3 ? ? 3, 0,1 2 2 2 ?? ? 因为平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ?

?

? ?

?

?

?

??? ?? ? ? EF ? n2 ? 0? EF / /面PAB
(2) BD ? 0, 2 3, 0 , BP ? 1, 0, 3

??? ?

?

?

??? ?

?

?
??? ? ???? AP ? ?1 , 0 , 3 AD ? ?2, 2 3, 0 ,

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? EF ? BD ? 0, EF ? BP ? 0

EF ? BD, EF ? BP ? EF ? 面PBD

(3) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ?

??

?

?

?

?

?? ??? ? ?? ? n1 ? AP ? ? x ? 3z ? 0 ? 令 x ? 3 所以 n1 ? ? ?? ???? ?n1 ? AD ? ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ?? ? 平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ?

?

3,1,1

?

?? ?? ? 1 5 cos ? n1 , n2 ?? ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 5 5

第 8 页 共 11 页

20. 【解析】 (1)设甲选手答对一个问题的正确率为 P ,则 (1 ? P ) ? 1 1
2

1 9

故甲选手答对一个问题的正确率 P ? 1

2 3

3分

2 3 8 4分 3 27 8 2 2 3 1 选手甲答了 4 道题目进入决赛的概率为 C3 ( ) ? ? 5分 3 3 27 16 2 2 3 1 2 选手甲答了 5 道题目进入决赛的概率为 C4 ( ) ( ) ? 6分 3 3 81 8 8 16 64 ? ? ? 选手甲可以进入决赛的概率 P ? 7分 27 27 81 81 2 3 1 3 1 (Ⅲ) ? 可取 3,4,5 则有 P(? ? 3) ? ( ) ? ( ) ? 8分 3 3 3 2 1 2 1 2 1 10 P(? ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? ? C32 ( ) 2 ? ? ? 9分 3 3 3 3 3 3 27 1 2 2 1 8 2 2 2 1 P(? ? 5) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? 10 分 3 3 3 3 3 3 27
(Ⅱ)选手甲答了 3 道题目进入决赛的概率为 ( ) =

?
P
故 E? ? 3 ? ? 4 ?

3

4

5

1 3
1 3

10 27

8 27

10 8 107 ? 5? ? 12 分 27 27 27 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 21【解析】 :解: (Ⅰ)∵ | BC |? 2 | AC 且 BC 过 (0, 0) ,则 | OC |?| AC | .
∵ AC ? BC ? 0 ,∴ ?OCA ? 90? ,即 C ( 3, 3) .??2 分 又∵ a ? 2 3 ,设椭圆 m 的方程为 将 C 点坐标代入得
2
2

??? ??? ? ?

x2 y2 ? ? 1, 12 12 ? c 2

3 3 ? ? 1, 12 12 ? c 2

解得 c ? 8 , b ? 4 .

x2 y 2 ? ? 1 . ??5 分 ∴椭圆 m 的方程为 12 4 (Ⅱ)由条件 D(0, ?2) ,
当 k ? 0 时,显然 ?2 ? t ? 2 ;???6 分 当 k ? 0 时,设 l : y ? kx ? t ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 ,消 y 得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ?12 ? 0 ?12 4 ? y ? kx ? t ?
第 9 页 共 11 页

2 2 由 ? ? 0 可得, t ? 4 ? 12k ??①???8 分

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , PQ 中 点 H ( x0 , y0 ) , 则 x0 ?

x1 ? x2 ?3kt ? , 2 1 ? 3k 2

y0 ? kx0 ? t ?

t 3kt t , ) .???10 分 , ∴ H (? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2

t ?2 ??? ???? ? 2 1 1 由 | DP |? DQ | ,∴ DH ? PQ ,即 k DH ? ? 。∴ 1 ? 3k ?? , 3kt k k ? ?0 1 ? 3k 2
化简得 t ? 1 ? 3k ??②
2

∴t ?1

将①代入②得, 1 ? t ? 4 。∴ t 的范围是 (1, 4) 。

综上 t ? (?2, 4) .???12 22【解析】(1)令 g ( x) ? ln(1 ? x) ? :

x , 1? x

1 1 1 x ?1 1 ? x ? x2 2 2 4 1? x ? x ? 1? 1? 1 1? x ? 1? x ? 1? x 则 g ?( x) ? ? ?0 x ?1 x ?1 1? x 1? x
∴g(x)在 (0, ??) 上单调递减,即 g(x)<g(0),从而 ln(1 ? x ) ? 分 ( 2 ) 由 f ?( x) ?

x 成立 1? x

?????4

1 a(a ? x) ? ax x[ x ? (a 2 ? 2a)] 2 , 当 x=0 或 x ? a ? 2a 时 , ? ? 2 2 1? x (a ? x) ( x ? 1)( x ? a)

f ?( x ) ? 0,由已知得 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,∴ a2 ? 2a ? 0 ,又 f(x)在 (0, ??) 有
意义,∴a≥0,综上: 0 ? a ? 2 ; ??????8 分 (3)由已知

x 1 1 ? 1 ? x 在 [0, ??) 上恒成立,∵ 1 ? x ? 0 ? b ? 0 , 1 ? bx e e

当 x>0 时,易得 b ?

1 1? 1 ex

?

1 ex 1 1 1 ? x ? ? 1? x ? 恒成立,????10 分 x e ?1 x e ?1 x

令 e ?1 ? t 得 b ? 1 ? ?
x

2x 1 1 (t ? 0) 恒成立, (2) 令 a=2 得:ln(1+x) 由 知: > , 2? x t ln(1 ? t )
????12 分

∴1 ? ?

1 1 1 2?t 1 ? 1? ? ? ; t ln(1 ? t ) t 2t 2
第 10 页 共 11 页





1







1 1 1 1? t t ?1 1? t 1? t 1? t 1 1? ? ? 1? ? ? ? ? ( 1 ? t ? 1) ? ? t ln(1 ? t ) t t t t t 1? 1? t 1? 1 1? t
当 t ? 0 时,
?

1 1 1? 1? t

?

1 1 1 1 1 ? ;∴当 t ? 0 时,1 ? ? 不大于 ;∴ 0 ? b ? ; 2 2 2 t ln(1 ? t )

当 x=0 时,b∈R,综上: bmax ?

1 2

???14 分

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