曲线与方程及圆锥曲线学习课件PPT_图文

? ? ? ? ? ? ? ? 1.设k>1,则关于x,y的方程(1-k) x 2+ y 2 C =k2-1表示的曲线是( ) A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在x轴上的椭圆 C.实轴在y轴上的双曲线 2 2 y x D.实轴在x轴上的双曲线 因为k>1, ? ? 1, 2 k ?1 k ?1 方程可化为 所以k2-1>0,k+1>0, ? 2.在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与 ax+by2=0(a>b>0)表示的曲线大致是( D ) ? 将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转 2 2 x y a 2 化为 ? ? 1,y ? ? x, 1 1 b 2 2 a b ? 标准方程: 1 1 ? ? 0, b a ? 因为a>b>0,所以 则有椭圆的 焦点在y轴,抛物线的开口向左,选D. ? 易错点:由方程研究曲线的性质,须 化为标准方程. ? ? ? ? ? ? ? 3.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1), OC ? ?1 OA ? ?2 OB B(-1,3),若点C满足 (O为 原点),其中 A λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C 的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线 设C(x,y),由已知得 (x,y)=λ1(3,1)+ 所以 λ2(-1,3), A. x=3λ1-λ2 ? 4.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的 x2 顶点A(-6,00和C(6,0),顶点B在双曲线 ? 25 2 5 y sin A ? sin C 1 ? ? 的左支上,则 = . 6 11 sin B ? 因为A和C恰为双曲线的两个焦点,所 以由双曲线方程及定义得: BC ? AB ? 10, AC ? 12, ? 根据正弦定理知: ? sin A ? sin C BC ? AB 填 5 .5 ? ? , 6 sin B AC 6 ? 5.我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成 的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度 相同)称为斜坐标系.平面上任意一点P的斜坐 标定义为:若 (其中e1,e2分别 OP ? xe ? ye2 为斜坐标系的 x轴, y1轴正方向上的单位向量 ,x,y∈R),则点P的斜坐标为(x,y).在平 面斜坐标系xOy中,若∠xOy=60°,已知点A 的斜坐标为(1,2),点B的斜坐标为(3,1), 则线段AB的垂直平分线在斜坐标系中的方程 是 . x=2 ? ? 因为 设P(x,y)为线段AB垂直平分线上的任 一点,则有 PA ? PB , 2 =(1-x)e1+(2-y)e2,PB =(3-x)e1+(1-y)e PA 2 1 2 2 ? 所以 PA =(1-x) +(2-y) +2(1-x)· (2-y)· , 2 2 1 ? =(3-x)2+(1-y)2+2(3-x)· (1-y)· , PB 2 ? 由 得 PA ? PB , x=2.填x=2. ? 好题意. 易错点:处理新信息题应认真阅读并理解 ? 1.曲线与方程 ? (1)定义:在直角坐标系中,如果曲线C(看作 适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一 个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关 : 系 ? ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解; ? ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 点. ? 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线 叫做方程的曲线. ? (2)已知曲线求方程,已知方程画曲线是解析 几何的核心内容. ? ①已知曲线求方程实质就是求轨迹方程,其 方法主要有直接法,定义法,代入法等; ? ②已知方程画曲线就是用代数的方法,研究 方程性质(x,y的取值范围,对称性等),然 后根据性质及一些基本函数(方程)的图象作 出曲线. ? 2.圆锥曲线中的定值问题 ? 在解析几何问题中,有些与参数有关,这就 构成定值问题.解决这类问题常通过取出参数 和特殊值来确定“定值”是多少,再将该问题 涉及的几何式转化为代数式或三角形式,证 明该式是恒定的. ? 3.圆锥曲线实际应用及其他知识交汇问题 ? 以实际应用为背景,圆锥曲线的有关知识为 手段,解决实际问题的应用题,或以圆锥曲 线为载体,构建与其他数学分支相结合的问 题(如数列问题). ? ? 重点突破:已知曲线求方程 (Ⅰ)已知A(0,7),B(0,-7) ,C(12,2),则 例1 以C为一个焦点过A,B的椭圆,求该椭圆的 另一个焦点F的轨迹方程. ? (Ⅱ)设动直线l垂直于x轴,且与椭圆x2+2y2=4 交于A,B两点,P是l上满足 =1的点, 求点P的轨迹方程. PA· PB ? (Ⅰ)首先利用椭圆的定义可知 可求得轨迹方程. ? AF ? BF 为常数,再利用双曲线的定义即 ? (Ⅱ)设出动点P的坐标,用直接法求出 P点的轨迹方程即可,注意x的取值范围. ? ? ? (Ⅰ)由题意 AC ? 13, BC ? 15, AB ? 14, 又 AF ? AC ? BF ? BC , 所以 AF ? BF ? BC ? AC ? 2, 故F点的轨 迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的 下支,又c=7,a=1,所以b2=48,所以轨迹 x 方程为 y ? ?1 48 2 2 x y ? ?1 (y≤-1),故填 48 2 2 (y ≤ - 1). ? (Ⅱ)设P点的坐标为(x,y),则由方程x2+2y2=4, 得 4 ? x2 l与椭圆交于A,B两 y ,由于直线 ?? 2 2 2 点,故-2<x<2,即A,B两点的坐标分别为 4) ? xB(x,4? x , ), 则 ? 2 2 4 ? x2 4 ? x2 PA· PB   ? ( 0, ?y ) ( ? 0, ? ?y ) ? 1,  2 2 2 4? x 2 2+2y2=6,所以点P的 ? 所以 即 y ? ? 1x , 2 A(x, 轨迹方程为x2+2y2=6(-

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