高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用训练理新人教版

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第 6 节 正弦定理和余弦定理及其应用

【选题明细表】

知识点、方法

题号

用正、余弦定理解三角形

1,2,3,7

与面积相关的问题

4,8,9,10

实际应用问题

5,11

综合问题

6,12,13,14,15

基础巩固(时间:30 分钟)

1.在△ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 的对边,若 A=,cos B=,b=8,则 a 等于( D )

(A) (B)10 (C) (D)5 解析:因为 cos B=,0<B<π ,

所以 sin B=

=,

所以由正弦定理可得 a=

=

=5.

故选 D. 2.设△ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状 为( B ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定 解析:由正弦定理及已知,得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, 所以 sin(B+C)=sin2A, 即 sin(π -A)=sin2A,sin A=sin2A. 因为 A∈(0,π ),所以 sin A>0,所以 sin A=1,即 A=,故选 B. 3.(2017·南开区一模)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A=,c-a=2,b=3, 则 a 等于( A ) (A)2 (B) (C)3 (D) 解析:因为 c=a+2,b=3,cos A=,

所以由余弦定理可得 cos A=

,

即=

,

解得 a=2.故选 A.

4.(2017·山东平度二模)在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=60°,a= ,b+c=3,

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则△ABC 的面积为( B )
(A) (B) (C) (D)2 解析:由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A, 因为 a= ,b+c=3,A=60°,所以 3=9-3bc,解得 bc=2,
所以 S△ABC=bcsin A=×2× = , 故选 B. 5.(2017·甘肃一模)要测量电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶的仰角是 45°,在 D 点测得塔 顶的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD= 120°,CD=40 m,则电视塔的高度是( B )

(A)30 m (B)40 m (C)40 m

(D)40 m

解析:由题意,设 AB=x m,则 BD= x m,BC=x m,

在△DBC 中,∠BCD=120°,CD=40 m, 根据余弦定理, 得 BD2=CD2+BC2-2CD·BC·cos∠DCB,

即( x)2=402+x2-2×40·x·cos 120°,
整理得 x2-20x-800=0,解得 x=40 或 x=-20(舍), 即所求电视塔的高度为 40 m. 故选 B. 6.(2017·山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( A ) (A)a=2b (B)b=2a (C)A=2B (D)B=2A 解析:因为等式右边=sin Acos C+(sin Acos C+cos Acos C) =sin Acos C+sin(A+C) =sin Acos C+sin B, 等式左边=sin B+2sin Bcos C, 所以 sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B. 由 cos C>0,得 sin A=2sin B, 根据正弦定理,得 a=2b,故选 A.

7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60°,b= ,c=3,则

A=

.

解析:由正弦定理 = 得 =

,

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所以 sin B= ,
又 b<c,所以 B<C,所以 B=45°,A=180°-60°-45°=75°. 答案:75°

8.(2017·江西湘潭二模)在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,若 A= ,b= ,△ABC

的面积为 ,则 a 的值为

.

解析:因为由 S△ABC=bcsin A,可得× ×c×sin = ,解得 c=2 , 所以 a2=b2+c2-2bccos A=2+8-2× ×2 ×(-)=14,

解得 a= .

答案:

能力提升(时间:15 分钟)

9.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos C=
接圆的面积为( C ) (A)4π (B)8π (C)9π (D)36π 解析:因为 bcos A+acos B=2,

,bcos A+acos B=2,则△ABC 的外

所以由余弦定理可得 b×

+a×

=2,

解得 c=2,

又因为 cos C= ,可得 sin C=

=,

所以设三角形的外接圆的半径为 R,

则 2R= ==6,可得 R=3, 所以△ABC 的外接圆的面积 S=π R2=9π . 故选 C.
10.(2017·河北一模)△ABC 中,AB= ,AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积等于( D )

(A)

(B)

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(C) 或

(D) 或

解析:AB= ,AC=1,cos B=cos 30°= , 由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B, 即 1=3+BC2-3BC, 即(BC-1)(BC-2)=0,解得 BC=1 或 BC=2, 当 BC=1 时,△ABC 的面积
S=AB·BCsin B=× ×1×= , 当 BC=2 时,△ABC 的面积
S=AB·BCsin B=× ×2×= ,

所以△ABC 的面积等于 或 .
故选 D. 11.(2017·山西二模)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC 的 长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米,为了稳固广告牌,要求 AC 越短越好,则 AC 最短为( D )

(A)(1+ )米 (B)2 米
(C)(1+ )米 (D)(2+ )米
解析:设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度为(y在△ABC 中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB, 即(y-0.5)2=y2+x2-2yx×, 化简得 y(x-1)=x2-,

0.5)米,

因为 x>1,所以 x-1>0,因此 y=

=-

=

所以 y=(x-1)+

+2≥ +2,

当且仅当 x-1=

时,取“=”号,

-

=x+1+

,

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即 x=1+ 时,y 有最小值 2+ .

故选 D.

12.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连接 CD,则△

BDC 的面积是

,cos∠BDC=

.

解析:依题意作出图形,如图所示.

则 sin∠DBC=sin∠ABC. 由题意知 AB=AC=4,BC=BD=2, 则 cos∠ABC=,
sin∠ABC= . 所以 S△BDC=BC·BD·sin∠DBC
=×2×2×

=. 因为 cos∠DBC=-cos∠ABC=-
=

=

,

所以 CD= . 由余弦定理,得

cos∠BDC=

=.

答案: 13.(2017·天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 asin A=4bsin B,ac= (a2-b2-c2).

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(1)求 cos A 的值; (2)求 sin(2B-A)的值.
解:(1)由 asin A=4bsin B 及 = ,得 a=2b. 由 ac= (a2-b2-c2),及余弦定理,得

cos A=

=

=- .

(2)由(1)可得 sin A= ,代入 asin A=4bsin B,得

sin B=

=.

由(1)知,A 为钝角,所以 cos B=

=.

于是 sin 2B=2sin Bcos B=, cos 2B=1-2sin2B=, 故 sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A

=×(- )-× =- .
14.(2017·北京卷)在△ABC 中,∠A=60°,c=a. (1)求 sin C 的值; (2)若 a=7,求△ABC 的面积. 解:(1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=a,

所以由正弦定理得 sin C=

=× = .

(2)因为 a=7,所以 c=×7=3. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 得 72=b2+32-2b×3×, 解得 b=8 或 b=-5(舍).

所以△ABC 的面积 S=bcsin A=×8×3× =6 . 15.(2017· 全 国 Ⅲ 卷 ) △ ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2.

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(1)求 c; (2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD⊥AC,求△ABD 的面积. 解:(1)由已知可得 tan A=- ,
所以 A= ,
在△ABC 中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos , 即 c2+2c-24=0. 解得 c=-6(舍去)或 c=4. (2)由题设可得∠CAD=, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为
=1. 又△ABC 的面积为×4×2sin∠BAC=2 , 所以△ABD 的面积为 .


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