高二上学期考前复习——直线与圆基本问题

高二上学期考前复习——直线与圆基本问题
一、对称性
对称性是解析几何的一个重要内容,逼近可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题,还可以解决诸如最值、 光线反射、角平分线、中线等问题,并且常得到意想不到的效果。 1、已知点 A(4,1) ,B(0,4) ,在直线 L:y = 3x-1 上找到一点 P,求使|PA|-|PB|最大时 P 的坐标。

2、已知⊿ABC 的顶点 A 的坐标为(1,4) ,∠B,∠C 的平分线的方程分别为 x - 2y = 0 和 x + y - 1 = 0,求 BC 所在的直线方程。

3、已知光线通过点 A(2,3) ,经 x 轴反射,其反射光线通过点 B(5,7) ,则入射光线所在直线方程是



变式:将“经 x 轴反射”改为“经 x + y + 1 = 0 反射,其发射光线通过点 B(1,1) ”

4、直线 l:y = 3x + 3 关于点 M(3,2)对称的直线方程是



直线 x - y = 0 关于直线 l 对称直线方程是



5、已知 A(4,0) 、B(0,4) ,从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是 。

6、函数 y ?

x ? 4 x ? 13 ?
2

x ? 10 x ? 26 的最小值是
2



7、已知点 P ( a , b ) 关于直线 l 的对称点为 P ? ( b ? 1, a ? 1) ,则圆 C : x ? y ? 6 x ? 2 y ? 0 关于直线 l 对称的圆 C ? 的方
2 2

程为

8、曲线C: y ?

b | x | ?a

( a ? 0 , b ? 0 ) 与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点” ,以“望点”为圆心,凡是与曲线

C 有公共点的圆,皆称之为“望圆” ,则当 a=1,b=1 时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为



二、直线和圆
一)直线问题;
? x ? 0, ? 1、如果不等式组 ? y ? 2 x , 表示的平面区域是一个直角三角形,则该三角形的面积为 ? kx ? y ? 1 ? 0 ?

2、已知直线 l1 : x ? ay ? 6 ? l 2 : ( a ? 2 ) x ? 3 y ? 2 a ? 0 , l1 // l 2 ,则 a =

二)判断直线与圆的位置关系; 1、已知 2 a ? 2 b ? c , 则直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 x ? y ? 4 的位置关系是
2 2 2
2 2



2、直线 ? x ? 1 ?a ? ( y ? 1) b ? 0 与圆 x ? y ? 2 的位置关系是
2 2



3、曲线 y ? 1 ?

4 ? x 与直线 y ? k ( x ? 2 ) ? 4 有两个交点时,则实数 k 的取值范围是
2



4、已知 M= ?( x , y ) | y ? x ? b ?, N ? ( x , y ) | y ?

?

9?x

2

?,若 M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是



6、经过点 P ( 2, ? 3) 作圆 x ? 2 x ? y ? 2 4 的弦 A B ,使得点 P 平分弦 A B ,则弦 A B 所在直线的方为
2 2

7、点 P ( 2 , ? 1) 为圆 ( x ? 3 ) ? y ? 25 的弦的中点,则该弦所在直线的方程是
2 2

8、若圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 2 ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 ( a , b ) 向圆所作的切线长的最小值是
2 2

9、已知圆 x ? y ? m 与圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相交,则实数 m 的取值范围为
2 2

2

2

10、过直线 l : y ? 2 x 上一点 P 作圆 C: ( x ? 8 ) ? ( y ? 1) ? 2 的切线 l1 , l 2 , 若 l1 , l 2 , 关于直线 l 对称,则点 P 到圆心 C
2 2

的距离为



三)圆的切线方程; 1、已知圆 x ? y ? 25 ,则过点 B(-5,2)的切线方程为
2 2



2、由直线 y ? x ? 1 上的点向圆 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 引切线,则切线上的最小值为
2 2

3、若圆 ? x ? 3 ? ? ? y ? 5 ? ? r 上有且只有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 的距离等于 1,则 r 的取值范围是
2 2 2

4、若过点(1,2)总可以作两条直线和圆 x ? y ? kx ? 2 y ? k ? 15 ? 0 相切,则实数 k 的取值范围是
2 2 2

5、与圆 x ? ( y ? 2 ) ? 2 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线有
2 2



2 2 6、已知 P 是直线 3 x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, P A、 P B 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线, A、 B 是切点, C 是圆

心,那么四边形 P A C B 面积的最小值是

7、已知点 P ( x , y ) 是直线 kx ? y ? 4 ? 0 ( k ? 0 ) 上一动点, PA , PB 是圆 C : x ? y ? 2 y ? 0 的两条切线, A , B 为切
2 2

点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为

8、已知圆 C: ? x ? 2 ? ? y ? 4 , 相互垂直的两条直线 l1 , l 2 都过点 A ? a , 0 ? 。
2 2

(1)若 l1 , l 2 都和圆 C 相切,分别求出它们的方程; (2)当 a ? 2 时,若以 M(1,m)为圆心的圆和圆 C 外切且与直线 l1 , l 2 都相切,求圆 M 的方程; (3)当 a ? ? 1 时,求 l1 , l 2 被圆 C 所截得的弦长之和的最大值。

四)与弦长有关的计算; 1、已知圆的半径为
10

,圆心在直线 y

? 2 x 上, 圆被直线 x ? y ? 0

截得的弦长为 4

2

,则圆的标准方程为



2、若直线 x ? y ? 2 被圆 ? x ? a ? ? y ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为
2 2



3、过点 M(1,2)的直线 l 将圆 ( x ? 2 ) ? y ? 9 分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线 l 的方程是
2 2



4、已知圆满足:?截 y 轴所得弦长为 2;?被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 : 1 ;?圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距
5 5

离为

,求这个圆的方程。

5、已知圆 C: ( x ? 1) ? ? y ? 2 ? ? 25 及直线 l : ? 2 m ? 1 ? x ? ? m ? 1 ? y ? 7 m ? 4 .( m ? R )
2 2

(1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程。

五)与圆有关的取值范围问题; 1、已知 AC,BD 为圆: x ? y ? 4 的两条互相垂直的弦,AC,BD 交于点 M 1, 2 ,则四边形 ABCD 面积最大值
2 2

?

?





2、设圆 O: x ? y ?
2 2

16 9

,直线 l : x ? 3 y ? 8 ? 0 ,若点 A 在直线 l 上,使得原 O 上存在点 B 满足∠OAB=300, (O 。

为坐标原点) ,则点 A 的横坐标的取值范围是

3、直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 4 相交于 M、N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是
2 2



4、已知点 A(-2,-1)和点 B(2,3) ,圆 C: x ? y ? m ,当圆 C 与线段 AB 没有公共点是,m 的取值范围是
2 2 2

5、已知圆 C: x ? y ? bx ? ay ? 3 ? 0 (a、b 为正实数)上任一点关于直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的对称点都在圆 C 上,
2 2



1 a

?

3 b

的最小值为



6、在平面直角坐标徐 xoy 中,若与点 A(2,2)的距离为 1 且与点 B(m,0)的距离为 3 的直线恰有两条,则实数 m 的取值范围为 。

2 2 7、直线 3 x + y - 2 3 = 0 与圆 O : x + y = 4 交于 A 、 B 两点,则 OA ? OB =

2 2 变式:已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x ? y ? 1 相交于 A,B 两点,且 A B ?

3 ,则 OA ? OB

8、平面上有 A(1,0) 、B(-1,0)两点,已知圆 C 的方程为 ( x ? 3 ) ? ( y ? 4 ) ? 4 。
2 2

(1)在圆 C 上求一点 P1 使⊿ABP1 的面积最大,并求最大面积; (2)求使|AP|2+|BP|2 取得最小值时圆 C 上的点 P 坐标。

8、已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率是 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原
2 2

点,若存在,求出直线 L 的方程;若不存在,请说明理由。

六)定点于定值问题:定值与定点问题,往往与恒成立有关。 1、已知动圆 x ? y ? 2 mx ? 4 my ? 6 m ? 2 ? 0 恒过定点,则定点的坐标是
2 2



2、已知圆 0: x ? y ? 1 和点 M ( 4 , 2 ) 。
2 2

(1)求以点 M 为圆心,且被 x 轴截得的弦长为 2 5 的圆 M 的方程; (2)过点 M 向圆 O 引切线 l,求直线 l 的方程; (3)设点 P 为圆 M 上任一点,过点 P 向圆 O 引切线,切点为 Q。试探究:平面内是否存在一定点 R,使得 为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由。
PQ PR

3、设⊿ABC 的顶点坐标为 A(0,a) ,B( ?

3 a ,0),C( 3 a ,0) ,期中 a>0,圆 M 为⊿ABC 的外接圆。

(1)求圆 M 的方程; (2)当 a 变化时,圆 M 是否过某一定点?请说明理由。

4、已知过点 A(0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 相交于 M,N 两点。
2 2

(1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: AB ? AN 为定值; (3)若 O 为坐标原点, OM ? ON ? 12 ,求 k 的值。

0 5、已知圆 O 的方程为 x ? y ? 1, 直线 l1过点 A ( 3,),且与圆 O 相切。求直线 l1 的方程;设圆 O 与 x 轴交与 P,Q 两
2 2

点,M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l 2 ,直线 PM 交直线 l 2 于点 P ,直线 QM 交直
'

线 l 2 于点 Q 。求证:以 P Q 为直径的圆 C 总过定点,并求出定点坐标。
'

'

'

七)最值问题 最值问题一般要利用几何性质转化; 1、已知圆 x ? y ? 4 ,圆内定点 P(1,0) ,过点 P 做两条互相垂直的弦 AC 和 BD,则四边形 ABCD 面积 S 的最大
2 2

值为 变式: M 设 (1, 是一个定点, M 作两条相互垂直的直线 l1 , l 2 设原点到直线 l1 , l 2 的距离分别为 d 1 , d 2 , d 1 ? d 2 2) 过 则 的最大值是

2、已知对于圆 x ? ? y ? 1 ? ? 1 上任意一点 P(x,y) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围为
2 2

3、已知直线 l : x ? y ? 6 ,圆 C: x ? y ? 1, 点 P 在圆 C 上,当 P 到 l 的距离最大时,点 P 的坐标是
2 2

4、过点(1, 2 )的直线 l 将圆 ? x ? 2 ? ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k=
2 2

5、若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的
2 2

取值范围是

6、从圆 C: x ? y ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 外一点 P(a,b)向圆引切线 PT,期中 T 为切点,且|PT|=|PO|(O 为坐标
2 2

原点) ,则|PT|的最小值为

7、圆心在曲线 y ?

3 x

?x

? 0 ? 上,且与直线 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 相切的面积最小的圆的方程为

8、直线 a x ? b y ? 1 过点 A ? b , a ? ,则以坐标原点 O 为圆心, O A 长为半径的圆的面积的最小值是

9、若圆 C: ( x ? h ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 在不等式 x ?

y ? 1≥ 0

所表示的平面区域内,则 h 的最小值为

10、已知圆 C 1 的圆心在坐标原点 O ,且恰好与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切. (Ⅰ) 求圆的标准方程; (Ⅱ)设点 A ( x 0 , y 0 ) 为圆上任意一点, A N ? x 轴于 N ,若动点 Q 满, OQ ? m OA ? n ON ,(其中 m ? n ? 1, m , n ? 0, m 为常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C 2 ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当 m ?
3 2

时,得到曲线 C ,问是否存在与 l1 垂直的一条直线 l 与曲线 C 交于 B 、 D 两点,

且 ? B O D 为钝角,请说明理由.


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