2016届高三数学(文)一轮复习课时达标:11.2古典概型

一、选择题 1.羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割 草,则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )

3

6

A.10

B.7

C.35

D.45

【解析】 将喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊依次编号为 1、2、3、4、5,

从中任取两个的所有可能取法为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),

(3,4),(3,5),(4,5).其中喜羊羊与美羊羊恰好只有一只被选中的有:(1,3),(1,4),(1,
5),(2,3),(2,4),(2,5).∴所求概率 P=160=35. 【答案】 C

2.(2012·烟台模拟)一个盒子内部有如图所示的六个小格子,现有桔子、苹果和香蕉各两 个,将这六个水果随机地放入这六个格子里,每个格子放一个,放好之后每行、每列的水果 种类各不相同的概率是( )
22 A.15 B.9 C.15 D.13 【解析】 依题意,将这六个不同的水果分别放入这六个格子里,每个格子放入一个,
共有 A66=720 种不同的放法,其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有
96 种(此类放法进行分步计数:第一步,确定第一行的两个格子的水果放法,共有 C23·C21·C12·A22
=24 种放法;第二步,确定第二行的两个格子的水果放法,有 C12·C12=4 种放法,剩余的两个 水果放入第三行的两个格子),因此所求的概率等于79260=125.
【答案】 A 3.(2014·临沂模拟)已知 A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则 A∩B =B 的概率是( )
21 A.9 B.3

8 C.9

D.1

【解析】 ∵A∩B=B,

∴B 可能为?,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}.

当 B=?时,a2-4b<0,满足条件的 a,b 为 a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,

b=3.

当 B={1}时,满足条件的 a,b 为 a=2,b=1.

当 B={2},{3}时,没有满足条件的 a,b.

当 B={1,2}时,满足条件的 a,b 为 a=3,b=2.

当 B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的 a,b,

∴A∩B=B 的概率为3×8 3=89.故选 C.

【答案】 C

4.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为

a,b,则椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的离心率

e>

3 2

的概率是( )

15 A.18 B.36

11 C.6 D.3 【解析】 e=

1-ba22> 23?ba<12?a>2b,

符合 a>2b 的情况有:

当 b=1 时,有 a=3,4,5,6 四种情况;

当 b=2 时,有 a=5,6 两种情况,
总共有 6 种情况.则概率为6×6 6=16. 【答案】 C 5.有 4 条线段,长度分别为 1、3、5、7,从这四条线段中任取三条,则所取三条线段 能构成一个三角形的概率是( )
11 A.4 B.3

12 C.2 D.5

【解析】 从四条线段中任取三条,基本事件有(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,

5,7),共 4 个,能构成三角形的只有(3,5,7)这一个基本事件,故由概率公式,得 P(A)=14. 【答案】 A

6.袋中有 3 只白球和 a 只黑球,从中任取 2 只,全是白球的概率为17,则 a 的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】 A 二、填空题 7.假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生,并且这 50 名学生早上到校先后的 可能性相同,则“小燕比小明先到校,小明又比小军先到校”的概率为________.

【解析】 这三位同学到校的顺序总共有 6 种,满足题意的只有 1 种,故所求概率为16.

【答案】

1 6

8.在集合 M=???0,12,1,2,3???的所有非空子集中任取一个集合,恰满足条件“对?

x∈A,则1x∈A”的集合的概率是________.

【解析】 集合 M 的非空子集有 25-1=31 个,而满足条件 “对?x∈A,则1x∈A”的

集合 A 中的元素为 1 或12,2 且12,2 要同时出现,故这样的集合有 3 个:{1},???12,2???,???1,12,2???.

因此,所求的概率为331.

【答案】

3 31

9.已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-4bx+1.设集合 P={-1,1,2,3,4,5},Q={-

2,-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b,则函数 y=f(x)在[1,

+∞)上是增函数的概率为________.

【解析】 分别从集合 P、Q 中各任取一个数,所有的可能情况有(-1,-2),(-1,-

1),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),

(1,4),(2,-2),(2,-1),(2 ,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-2),(3,-1),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4),(4,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,-2),(5, -1),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共 36 种,能使 f(x)是增函数,需 a>0 且2ab≤1,所以 其中符合上述条件的有(1,-2),(1,-1),(2,-2),(2,-1),(2,1),(3,-2),(3,-

1),(3,1),(4 ,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),(5,-2),(5,-1),(5,1),(5,2)共

16 种,

∴P=3166=49.

【答案】

4 9

10.(2014·南京模拟)在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m,在集合 B={1,2,3}中随 机取一个元素 n,得到点 P(m,n),则点 P 在圆 x2+y2=9 内部的概率为________.
【解析】 点 P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6 种情况,

只有(2,1),(2,2)这 2 个点在圆 x2+y2=9 的内部,所求概率为26=13.

【答案】

1 3

三、解答题

11.一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的 产量如下表(单位:辆):

轿车 A 轿车 B 轿车 C

舒适型

100

150

z

标准型

300

450

600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆.

(1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6, 9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数

与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

【解析】 (1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆,

由题意得5n0=1001+0300,所以 n=2 000,

则 z=2 000-100-300-150-450-600=400.

(2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车,由题意得1400000=a5,则 a=2.

因此抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车.用 A1,A2 表示 2

辆舒适型轿车,用 B1,B2,B3 表示 3 辆标准型轿车,用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆,

其中至少有 1 辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,

B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共 10 个.
事件 E 包含的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),
(A2,B3),共 7 个. 故 P(E)=170,即所求概率为170.
(3)样本平均数-x =18(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 设 D 表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”,
则基本事件空间中有 8 个基本事件,事件 D 包含的基本事件有 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,
共 6 个, 所以 P(D)=68=34,即所求概率为34. 12.5 张奖券中有 2 张是中奖的,首先由甲抽一张,然后由乙抽一张,求: (1)甲中奖的概率 P(A); (2)甲、乙都中奖的概率 P(B); (3)只有乙中奖的概率 P(C); (4)乙中奖的概率 P(D). 【解析】 将 5 张奖券编号为 1,2,3,4,5,其中 4、5 为中奖奖券,
用(x,y)表示甲抽到号码 x,乙抽到号码 y,
则所有可能抽法构成集合 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),
(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),
(5,3),(5,4)}. (1)甲中奖包含 8 个基本事件,∴P(A)=280=25. (2)甲、乙都中奖包含 2 个基本事件,∴P(B)=220=110. (3)只有乙中奖包含 6 个基本事件,∴P(C)=260=130. (4)乙中奖包含 8 个基本事件,∴P(D)=280=25.

13.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号 分别为 1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (2)向袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜 色不同且标号之和小于 4 的概率. 【解析】 (1)标号为 1,2,3 的三张红色卡片分别记为 A,B,C,标号为 1,2 的两张
蓝色卡片分别记为 D,E,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,
D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 种.
由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.
从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结果为:(A,
D),(A,E),(B,D),共 3 种. 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为130. (2)记 F 为标号为 0 的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(A,B),
(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,
F),(D,E),(D,F),(E,F),共 15 种.
由于每一张卡片被取到的机会均等,
因此这些基本事件的出现是等可能的.
从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结果为:(A,
D),(A,E),(B,D),(A,F),(B,F),(C,F),(D,F),(E,F),共 8 种. 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为185.


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