4.4 三角函数的求值化简、和证明_图文

2007年5月

黄冈中学网校达州分校

【知识再现】
1.三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值、 给值求值、给值求角 (1)给角求值的关键是正确地选用公式,以便把 非特殊角的三角函数化为特殊角的三角函数。 (2)给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间 的角、运算及函数的差异。

(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函 数式的值,其次判断该角的范围,从而达到解题 目的。
2007年5月 黄冈中学网校达州分校

2.化简的意义及要求
化简三角函数式是为更清楚地显示式中所 含量之间的关系,以便于应用。 化简三角函数式的要求: (1)能求出值的应 求出值 ; 少 (2)使三角函数种类尽量 ; 少 (3)使项数尽量 ; (4)尽量使分母不含 三角函数 ; (5)尽量使被开方数不含 三角函数 ; (6)使次数尽量 低 。 2007年5月 黄冈中学网校达州分校

3.证明
恒等式的证明,包括有条件的恒等式和无 条件的恒等式两种。 (1)无条件的恒等式证明,常用综合法(由因导 果)和分析法(执果索因),证明的形式有化繁 为简、左右归一、变更论证等。 (2)有条件的恒等式证明,常常先观察条件式及 欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系, 灵活使用条件,变形得证。
2007年5月 黄冈中学网校达州分校

4.三角函数的求值、化简和证明

三角函数的求值、化简、证明的核心是进 行三角函数恒等变形。而三角函数恒等变形的实 质就是:(1)变换角;(2)变换函数名称; (3)变换解析式结构,要注意凑配变异求同, 即凑角、凑名、凑常数,以达到理想结构变异目 标。

2007年5月

黄冈中学网校达州分校

【方法点拨】

1.在运用公式地行三角函数式的化简、求值、证 明时,要注意公式成立的条件,熟练地掌握公式 的正用、逆用、变形用,还要注意各种做题技巧。 2.转化的思想是实施三角变换的主导思路,变换 包括函数名称变换、角的变换、1的变换、幂的 升降变换等等。变换则必须熟悉公式、分清和掌 握哪些公式会实现哪种变换,也要掌握各个公式 的相关联系。
2007年5月 黄冈中学网校达州分校

3.恒等变形前需分析已知式中角的差异,函数名 称的差异,运算的差异,寻求联系,实现转化。 4.掌握基本技巧:切割化弦,异名化同名,异角 化同角,尽量减少函数名称种数,化为同次幂, 化为比例式、化为常数等,还应注意会拆角,拼 角,实现已知角与未知角的转换。

2007年5月

黄冈中学网校达州分校

5.要注意理解反三角函数符号的意义,能运用反 三角函数符号表示指定区间内的角,特别注意。

arcsin x ? [?

, ], x ? [?1,1] 2 2 arc cos x ? [0, ? ], x ? [?1,1] arc tan x ? (?

? ?

? ?

, ), x ? R. 2 2

2007年5月

黄冈中学网校达州分校

2007年5月

黄冈中学网校达州分校

类型1

三角函数的求值

3 【例1】已知 0 ? ? ? ?? ? ?, 4 4 ? 3 3? 5 cos( ? ? ) ? ,sin( ? ? ) ? , 4 5 4 13

?

求 sin(? ? ? )的值
2007年5月 黄冈中学网校达州分校

【思路分析】

3? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ) ? ? (? ? ? ), 难发现 ( 4 4 2 ? ? 或者是先将 cos( ? ? )变化为sin( ? ? ), 再 4 4 ? 3 考虑 ( ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ), 再利
用诱导公式即可出现? ? ? ,故只需求出相应 角的正余弦值,利用两角和与差的三 角公式即可。
2007年5月 黄冈中学网校达州分校

比较给出的角与待求式中的角的关系,不

4

4

3 【解】 cos( ? ? ) ? sin(? ? ) ? . 4 4 5

?

?

4 ? ? ? ? ? ? ,???? cos(? ? ) ? ? . 2 4 4 5 3? 3 3? 3? ? sin( ? ? ) ? , ??? ??, 4 15 4 4 3? 12 ? cos( ? ? ) ? ? . 4 13 ? 3? ? sin(? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ? ? ) 4 4

?

?

?

3? 3? ? ?[sin(? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) 4 4 4 ? 56 ? cos(? ? )] ? . 4 65
规律总结: 角的变换也是三角变换技巧之一,充 分比较条件与结论中角的特点,寻找角之 间的联系,再正确选择公式就可使问题解 决,但注意在应用同角关系求值时,必须 考虑角的范围。

?

变式训练1—1:已知

tan( ? ? ) ? 3, 求 4 2 sin 2? ? 2cos ?的值. 4
答案: ?

?

5

变式训练1—2:(2004· 东北三校)已知

3 17 4 cos( ? x) ? , ? ? x ? ? , 求 4 5 12 7 2 sin 2 x ? 2sin x 的值 答案: ? 28 1 ? tan x

?

75

【例2】求 tan 20?

? 4sin 20

?的值。

【思路分析】 题目中有正弦与正切,所以要切割化弦, 统一函数名,然后通分,再适当地选取公式。
【解】

sin 20 ? 4sin 20 cos 20 原式 ? ? cos 20
? ? ?

?

?

?

sin 20 ? 2sin 40 sin 20 ? 2sin(60 ? 20 ) ? ? ? ? cos 20 cos 20
2007年5月 黄冈中学网校达州分校

?

?

sin 20 ? 2sin 60 cos 20 ? 2 cos 60 sin 20 ? ? cos 20

?

?

?

?

?

? 3.

规律总结: 给角求值(无条件求值)的关键是考虑角与 角之间的关系,构造特殊角,或者利用正负相抵消, 分子分母约去公因式等手段达到求值的目的. 变式训练2—1:
?

1 ? cos 20 ? ? ? 求 ? sin10 (cot 5 ? tan 5 ) 的值. ? 2sin 20
2007年5月

3 答案: 2

黄冈中学网校达州分校

4 4 ? 2? ? ? sin(2? ? ? ), 4 tan ? 1 ? tan , 求? ? ?的值? 2 2
【思路分析】


【例3】 已知0 ? ? ?

?

,0 ? ? ?

?

, 且3sin ? ? sin

?

? 和2? ? ? 的构造待求式? ? ? ,从而可求出 ? ? ? 的一个三角函数值,再根据 ?、? 的范 围求? ? ? 的范围,从而确定角? ? ? ?

2

的关系式可求出? 的正切值,再根据

【解】

2 ? 1? 由4 tan ? 1 ? tan 得 tan ? ? 2 2 2 2 ? 1 ? tan 2 由3sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin[(? ? ? ) ? ? ]?
2

?

?

2 tan

?

得 tan(? ? ? ) ? 2 tan ? ,? tan(? ? ? ) ? 1? 又? 0 ? ? ?

?
4 ?

,0 ? ? ?

?
4

,? 0 ? ? ? ? ?

?
2

?

?? ? ? ?

?
4

规律总结: 本例中,首先由 4 tan

?
2

? 1 ? tan

2

?
2

的形式

联想倍角公式,求得 tan ? ,再利用角的交换求

tan(? ? ? )? 据?、? 范围确定角 ? ? ? ,一般
地,求角的问题可“恰当”地据范围选择一个三 角函数值,再据范围确定角,是必不可少的一步.

2007年5月

黄冈中学网校达州分校

1 1 变式训练3—1:已知tan(? ? ? ) ? , tan ? ? ? , 2 7 且?、? ? (0, ? ), 求2? ? ? 的值。 3 答案: ? ? 4 2 3 ,且x ? (? ? , ?? )? 变式训练3—2:已知sin x ?
则x的值为( B )

4

2

2 A.? ? arcsin ? 4 3 2 C. ? ? arcsin ? 2 4

2 B. ? ? arcsin ? 4

2 D. 2? ? arcsin ? 4

类型2

三角函数式的化简

【例4】化简

2 tan( ? ? )sin ( ? ? ) 4 4
2

?

2 cos ? ? 1
2

?

?

【思路分析】 式中含有切函数和弦函数,故首先应考虑

切化弦,又观察到 (

?

因此化弦后可通过诱导公式把角进行统一。

??) ? ( ??) ? ? 4 2 2

?

?

【解】 原式 ?

2sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 4 4 2 2 cos ? ? 1 cos 2? ? ? ? 1? cos 2? cos 2?

?

2sin( ? ? ) ? 4 ? cos( ? ? ) ? 4 cos( ? ? ) 4 2 2 cos ? ? 1

?

2 cos ? ? 1
2

?

?

规律总结:

在化简本题时,抓住各角之间的内在联系,函 数名称的变化规律以及化数式的结构特征,据此 选择相应的公式合理变形,达到化简之目的. 三角函数式的化简方法:一般以减少角的种类, 减少三角函数的种类,改变函数式的运算结构入 手,采用化弦法,化切法,异角化同角,高次化低次等 方式转化运算形式,使其相消或相约. 三角函数式化简的原则:尽量使函数种类最少, 次数相对较低(正整数指数幂),项数最少,尽量 使分母不含三角函数,尽量去掉根号或减少根号 的层次,能求出具体值的应求出其值.

变式训练4—1:化简: (1)cos 72 cos 36 ;
? ?

? cos 40 ? cos 60 ? cos80 ; 1 答案: 16 ? ? ? ? (3)cos ? ? cos ? cos ? cos 3 ... ? cos n ?1 ; 2 2 2 2 2 sin 2? 答案: ? ? n 2 sin n ?1 2
(2)cos 20

1 答案: 4 ?

?

?

?

(4) sin 20

?

? sin 40 ? sin 60 ? sin 80 ;

?

?

?

3 答案: 16
(5) cos ?

? cos 2? ? cos3? ? ... ? cos n?.
sin(n? ?

?
2

) ? sin

?
2?

答案:

2sin

?
2

三角恒等式的证明 2(3 ? cos 4 x) 2 2 【例5】求证: tan x ? cot x ? . 1 ? cos 4 x
【思路分析】 观察左、右两边式子间的差异,若选择 “从左证到右”,则“切化弦”的方法势在必 行,若选择“从右证到左”,则倍角公式应是 必用公式。
2007年5月 黄冈中学网校达州分校

类型3

sin x cos x sin x ? cos x ? ? 【证法1】左边 ? 2 2 2 2 cos x sin x sin x cos x
2 2 4 4

(sin x ? cos x) ? 2sin x cos x ? 1 2 sin 2 x 4 1 2 1 2 1 ? sin 2 x 1 ? sin 2 x 2 2 ? ? 1 2 1 sin 2 x (1 ? cos 4 x) 4 8 2 2 8 ? 4sin 2 x 4 ? 4 cos 2 x ? ? 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x
2 2 2 2 2

4 ? 2(1 ? cos 4 x) 2(3 ? cos 4 x) ? ? ? 右边? 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x 2(2 ? 1 ? cos 4 x) 【证法2】右边 ? 2 2sin 2 x 2 2 2(2 ? 2 cos 2 x) 2(1 ? cos 2 x) ? ? 2 2 2sin 2 x 4sin 2 x 2 2 2 2 2 2 (sin x ? cos x) ? (cos x ? sin x) ? 2 2 2sin x cos x 4 4 2(sin x ? cos x) 2 2 ? ? tan x ? cot x ? 左边? 2 2 2sin x cos x

规律总结:三角式的证明一般有三种方式:从左 到右、从左到左、左=右=某一多项式。一般来 说都是从复杂的一端向简单的一端证明。本例 中的两种证法就是前两种,证明时注意比较等 号两边的差异(角和函数名)。

x1 ? x2 ? ? 证明 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 2 x1 ? x2 )? 2 )] ? f ( 2 答案:略
若已知 0 ?

? 变式训练5—1:已知函数 f ( x) ? tan x(0 ? x ? )? 2 1 ?

2007年5月

黄冈中学网校达州分校

双基训练
1.函数 y ? 2cos 2 x ? 1( x ? R) 的 最小正周期为( B )

5? 3? 1 2.已知? ? ( , ), cos 2? ? , 则sin ?的值是 4 2 5 (D )

? A. 2

B. ?

C. ? 2

D. ? 4

10 A. ? 5

5 C. ? 5
2007年5月

黄冈中学网校达州分校

10 B. 5 15 D. ? 5

3.(2005· 全国Ⅱ)锐角三角形的内角A、B满

1 足 tan A ? ? tan B?则有( A) sin 2 A A. 2 A ? cos B ? 0 B. 2 A ? cos B ? 0 sin sin C. 2 A ? sin B ? 0 D. 2 A ? sin B ? 0 sin sin ? ? 4.函数 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x(? ? x ? ) 6 6
的值域为( B)

[ A.?2, 2]
C. 2] [0,

[ B.?2,0]
[ D.? 3, 0]

5.(2006· 成都模拟)已知 f ( x) ? sin

05) ? f (2006) =( A )
A. 2

( x ? 1) ? 3 c 3 ? cos ( x ? 1), 则f (1) ? f (2) ? ... ? f (2005) ? f 3
3
B.

?

3

C.1

D.0
?

1 3 2 tan13 ? ? 6.设a ? cos 6 ? sin 6 , b ? , 2 ? 2 2 1 ? tan 13 ? 1 ? cos 50 c? ? 则有( B ) 2
A.a>b>c C.a<c<b B.a<b<c D.b<c<a

技能训练
1 1 7.设 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? , 2 3 求(1) cos(? ? ? );
59 答案: ? 72 (2) cos(? ? ? )

5 答案: ? 13
黄冈中学网校达州分校

2007年5月

8.(2005· 重庆文)若函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x

2sin( ? x) ? 2 2 n x ? a sin( x ? )的最大值为 2 ? 3 ,试确定常 数? 的值。 4 答案 : ? 3 2 9.(2006· 浙江)已知函数 f ( x) ? ? 3 sin x ? sin x c

?

? sin x ?

n x cos x? 25 (1)求 f ( ? ) 的值; 答案:0 6 ? 1 3 (2)设? ? (0, ? ), f ( ) ? ? ?求 sin ? 的值. 2 4 2 1? 3 5 答案: 8

综合预测
10.(2006· 湖北联考)如图,铁路线上C处有一货运 站,铁路线一侧A处有一工厂,它到铁路线的最短 距离AB=10千米,并且BC=100千米.现在A厂要修 一条公路AD,并在D处修一货仓,A厂的产品先用 汽车运至D处,再由铁路运至C处,已知公路运输 与铁路运输的运费比为5:3,问应如何选择D点, 使A至C的运费最省?
答案:D点应选在距B 点7.5千米处


相关文档

§4.4三角函数式的求值、化简与证明
第四章 第四节 三角函数式的求值、化简与证明
4.2三角函数的求值、化简、证明
2011年高考数学一轮复习第4章三角函数2:三角函数式的求值、化简与证明
模块4——三角函数的化简、求值与证明
第31课时:第四章 三角函数——三角函数式的化简与证明
三角函数的化简、求值与证明
§4.5 三角函数的化简与证明
三角函数的求值化简与证明(教案)
【免费下载】三角函数的化简求值与证明
电脑版