高中数学选修1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质人教版ppt课件_图文

1.3.2 杨辉三角与 二项式系数的性质 高二数学 选修 2-3 第一章 计数原理 复习回顾: 二项式定理及展开式: (a ? b) ? C a ? C a n 0 n n 1 n ?1 n b ? ??? ? C a k n n? k b ? ??? ? C b (n ? N ) k n n n ? 二项式系数 通 项 C k n ( k ? 0,1, ? ? ? , n) k n n? k Tk ?1 ? C a b k 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表: n 1 2 3 4 5 6 (a+b)n展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 通过计算填表,你发现了什么? 每一行的系数具有对称性, 除此以外还有什么规律呢? 上表写成如下形式: (a ? b) 2 (a ? b) 3 (a ? b) (a ? b)4 5 (a ? b) 6 (a ? b) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 21 35 35 21 7 … … … … …… C k-1 C k …… C n-2 1 n-1 n-1 n-1 … … … … 1 7 1 (a ? b) 7 … … 1 Cn-11 Cn-12 … … 上表写成如下形式: (a ? b) 2 (a ? b) 3 (a ? b) 4 (a ? b) (a ? b)5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 (a ? b) 6 能借助上面的表示形式发现一些新的 规律吗? 上表写成如下形式: (a ? b) 2 (a ? b) 3 (a ? b) (a ? b)4 5 (a ? b) 6 (a ? b) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 n n ①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相 m n? m 等. C ?C ②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个 r r ?1 r 数的和. C ?C ?C n ?1 n n 杨辉三角 这样的二项式系数表, 早在我国南宋数学家杨 辉1261 年所著的《详 解九章算法》一书里就 已经出现了,在这本书 里,记载着类似下面的 表: 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章 算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一”以外的 每一个数都等于它肩上两个数的和;指出这个方法出 于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11 世纪)已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世 纪;在欧 洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡 (1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡 三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左 右. 二项式系数的性质 (a ? b) 展开式的二项式系数依次 f(r) 0 1 2 n Cn ,Cn ,Cn , ,Cn 是: n 从函数角度看, 可看成是以 r为 Cr n f (r ) 自变量的函数 ,其定义域是: 20 15 ?0,1, 2, , n? 当n= 6时, 其图象是7个孤立点 6 1 O 3 6 二项式系数的性质 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等. 这一性质可直接由公式 m n? m 得到. Cn ? Cn 6 f(r) 20 15 图象的对称轴: n r ? 2 1 O 3 6 二项式系数的性质 n( n ? 1)( n ? 2) ( n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 C ? ? Cn ? k ? ( k ? 1)! k k k ?1 n ? k ? 1 C 所以 相对于 的增减情况由 决定 . Cn n k n? k ?1 n?1 由: ?1 ? k ? k 2 k n 2.增减性与最大值 二项式系数是逐渐增大的,由 对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取 得最大值。 可知,当 n?1 k ? 时, 2 当n是偶数时,中间的一项 当n是奇数时,中间的两项 f(r) 值 n为偶数 取得最大值 f(r) n . 和 n ?1 2 C n 2 , 且同时取得最大 Cn C相等 n n为奇数 n ?1 2 n 1 ? 2 2 n 1 ? 2 2 O n 2 n r O n 2 n 二项式系数的性质 3.各二项式系数的和 在二项式定理中,令 C 0 n ?C 这就是说, 同时由于 n (a ? b ) 的展开式的各二项式系数的和等于 1 n ?C n 2 n :? 1 a,则 ?b n n ? ? Cn ? 2 2 0 上1 式还可以写成: Cn ? 2 n C 1 n ?C ?C 3 n ? ?C n n ? 2 n ?1 这是组合总数公式. 一般地, ( a ? 展开式的二项式系数 b) n C , C , ?C ( 1) ( 2) (3)当 当 0 n 1 n n 有如下性质: n m n C ? C m ?1 n n?m n C m n (4 ) C ? C ??? C 0 n 1 n n ?1 r ? 时, 2 n ? 1 r ? 时, 2 ?C ?C m n ?1 r n C ?C r ?1 n r n C r ?1 n ?C n n ?2 n 例1.证明:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明: n 在展开式 0 n n 1 n n (a

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