平面向量的数量积及其应用_图文

平面向量的数量积及其应用

岚山区第一中学 高一数学备课组

? 理解平面向量数量几积的含义及其物理意 义 ? 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 ? 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向 量数量积的运算 ? 能运用数量积表示两个向量的夹角,会运 用数量积判断两个平面向量的垂直关系

自主梳理

1.向量数量积的定义
(1)向量数量积的定 |a||b|cos<a,b>叫做向量a和b的数量积 ,其中 义: |a|cos〈a,b〉叫做向a在b方向上的投影. (2)向量数量积的性质: ①如果e是单位向量,则a· e=e· a= __________________; ②非零向量a,b,a⊥b?________________ ; a.b=0

|a|2 ③a· a=___________ 或|a|=________________;
④cos〈a,b〉=________; ⑤|a· b|____| a||b|. ≤

2.向量数量积的运算律
(1)交换律: b· a a· b=________ ;

(2)分配律:
(a+b)· c=________________ ; a.c+b.c

(3)数乘向量结合律:
(λa)· b=________________. a.λb

3.向量数量积的坐标运算与度量公式

(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即若a=(a1,
a2),b=(b1,b2),则a· b=________________________ ; a1a2+b1b2 (2)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a1a2+b1b2=0 a⊥b?________________________ ; (3)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2), 则|a|=________________,cos〈a,b〉= ____________________________.

(4)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 (x2-x1,y2-y1) _______________________ ,所以|
_____________________.


|=

例1 如图,在矩形ABCD中,AB=√2,BC=2,点E为BC的 中点,点F在边CD上,若AB.AF=√2,则AE.BF的值是 √2

变式迁移 BD.CD=( D)

已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则

A. -3a2/2 B. -3a2/4

C.3a2/4 D. 3a2/2

若等边△ABC的边长为2√3,平面内 一点M满足CM=1/6CB+2/3CA,则 |MA|.|MB|= -2

探究点二 向量的模及夹角问题
例2 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|; 解(1)∵|a|=4,|b|=3,(2a-3b).(2a+b)=61, ∴a.b=-6. ∴cosθ=ab/|a||b|=-6/4×3=-1/2,又因为0≤ θ≤π ∴ θ=2π/3 (2) |a+b|=√(a+b)2 =√a2+2ab+b2=√13

变式迁移2

(1)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向
量c满足(a-c)· (b-c)=0,则|c|的最大值是( D )

A.1

B.2

C.√2

D. √2/2

(2)已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,

(-∞,-2). ∪(-2,1/2) 且a与b的夹角为锐角,实数λ的取值范________

探究点三 向量的数量积在三角函数中的应用
已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2)
(1)求a· b及|a+b|;

(2)若f(x)=a· b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.

1.向量的数量积运算

2.向量性质的应用
3.利用向量的数量积求向量的 模与夹角

本节课体现了哪些数学思想
函数与方程 转化与化归 数形结合

课后作业
导学案跟踪练习


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