2014年高考陕西卷理科压轴题的探究历程_论文

《试 题 研 究  … … S   H   l   I   {   鬻   J   j   摘要 :函数与不等式等综合问题是历年高考压轴题  的热点与难点,其立意新颖、灵活、综合性强,学生普  遍 解答 困难 ,得 分率 比较 低 . 2 0 1 4年 高考陕 西卷理 科压  轴题 的压轴点是 第( 3 ) 问 ,证 明具有 高等调和级 数背景 的  不等 式 ,挑 战性 大. 对该压轴点进行探 究 ,揭示其 背景 与  数 学本质 ,探 究不 同的证 法 ,归纳基本 证 法、通 法 、妙  < l n ( n +1 ) ”证明 ,有着高等数学里调和级数的  深 刻 背 景 ,是 真 正 的 压 轴 点 .本 文 针 对 这 一 压 轴 点  ( 证 明 :   1 + 丁 1 + … +   < l n ( n + 1 ) , n ∈ N + ) 进 行   探 究.   一 法与高等证法,探究类似压轴题的备考,并设计 了几道  类似 的函数与不等式模拟题供教 师复 习备考 选用.   、 背景探 究  俗话 说 :“ 饮 水 思源 . ”那 么 ,解决 数 学 问题 自然也  应该 考 虑 其 背景 ,探 究 其 渊源 .查 阅 近年 各省 高 考 卷 ,   关 键 词 :高考 压 轴题 ;探 究历程 ; 函数 与 不等 式  高 考 压 轴 题是 命 题 专 家 经 过 千 锤 百 炼 后 的智 慧结  晶 ,具 有 “ 千 呼万 唤 始 出来 ,犹 抱 琵琶 半遮 面 ”之 美 ,   是 帮 助探 究者 思绪 得 以延 伸 的精华 .   不难发现命题者 以调和级数为背景命制过 2 0 1 0 年湖北  卷理科 第 2 1 题第 ( 3 ) 问. 证 明 :丁 1+   1+   1+   1 +… +   问题 ( 2 0 1 4 年陕西卷 ? 理)设 函数f ( x ) = I n ( 1 +   ) ,   > ? n (   + - ) +   I n ( n+1 ) +   , 即 争 + } + } + … + } >   一1 ?   g ( x ) =   (   ) ,   ≥0 ,其 中f   (   ) 是厂 (   ) 的导 函数.   ( 1 ) g  x ) =g ( x ) ,   + - (  ) =g (  (  ) ) ,   ∈N+ ,习 之   (  ) 的表达 式 ;   范围 ;   这 是 该 不 等 式 的 下 界 , 寻 求 其 上 界 便 可 命 制 出  0 1 4年 陕 西 卷理 科 压 轴 题 的 第 ( 3 ) 问:  1 +丁 1 +… +   ( 2 ) 若 厂(  )≥ a g ( x ) 恒 成 立 ,求 实 数 0的 取 值  2 1 ( 3 ) 设 凡∈N + ,比较 g ( 1 ) +g ( 2 ) +… +g ( n ) 与 n一   厂 ( n ) 的大小 ,并 加 以证 明.   分析 :此题 属 于 导数 综合 性 压轴题 ,综 合 了函数 、   T <I n ( 几+1 ) .   此类 调 和级数属 于 自然 数幂倒数 级数 ,统一 表述 为  恒成立、不等式等重要考点 ,考查学生分析问题、解决   著 名 的 黎 曼 z e t a 函 数   ( s ) : l +  + } +  + } + … .   在直线  = }上,即临界带的中 心线上) .   下面列 出一些前人 给出的有趣的同类调和级数的  结论 ,以这 些 级数 问题 为 背景 也 可命 制很 多 有 深 意 的  不等 式.   8 5 9年 黎曼 提 出 了至今 待 解决 的伟 大 猜  问题 的能 力与灵 活运 用分类讨 论 、数形 结合 等数 学思 想  以此 为 基础 ,1 黎曼 z e t a函数 ( s ) 的所 有零 点都 处  方 法 的技 能 .具体 来讲 ,第 ( 1 ) 问 ,将数 列 的 归纳推 理  想— — 黎曼 猜 想 ( 求 通 项公 式 的 方 法 紧密 与 函数 表 达 式 的 迭代 求 法相 结  合 ,实现 了数学知识的衔接.第( 2 ) 问,恒成立 问题有  一 定的思维推进 障碍 ,但 为高考的热点 ,相 对比较 常   见 .第( 3 ) 问 ,本 质是 数 列 和 的不等 式 “   +   +… +   收 稿 日期 :2 O 1 4 _ _ o 6 _1 8   作者简介 :刘再平 ( 1 9 8 7 一 ) ,男,中学二级教师 ,主要从事解题 思维与教 学研 究   2 。 , 5年 第 一 2期  翌 兰 鸯 壹 皇 鳖   试 题 研 究》   基   豳   j   I   j  A   N  l   J I … …   ㈩, +  + }+ … +  十 …  詈c   L ? E u   e r式 问   提 出) .   当 , ‘   ¨ +  + 击+ … + 古+ 一 一  一   主   结 论 成   一 ’   翳  为 B e m 。 u l l i( L . E u l e r 提   ( 3 )   1 +   1 +   1 + . . 一 手( L . E u 1 e r 提 出 ) ;   , n:1 时,  1 <l n   2 结 论成 立 ;   即 争+ 丁 1 + . . ’ +   < l n (   + 1 ) .   下 面证 明当 n=k+1 时 的情况 :   +  。+  + 击  (  ) +   1<   ( 4 )   1 一   1 +   1 一一 暑( L . E u l e r 提 出 ) ;   m , n 遍 历 自 然 数 1 , 2 ,  l n (   + 1 ) + l n   导= l n (   + 2 )   ( 5 )

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