重庆市南开中学2015届高三上学期10月月考数学试卷(理科)

重庆市南开中学 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:计算题. 分析:化简复数 z,根据复数与复平面内点的对应关系可得答案. 解答: 解:z=i?(1+i)=﹣1+i, 故复数 z 对应的点为(﹣1,1) , 在复平面的第二象限, 故选 B. 点评:本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属基础题. 2.角 α 终边经过点(1,﹣1) ,则 cosα=( A.1 B.﹣1 ) C. D.﹣

考点:任意角的三角函数的定义. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 cosα 的值. 解答: 解:由于角 α 终边经过点(1,﹣1) ,则 x=1,y=﹣1,r= ∴cosα= = , = ,

故选:C. 点评:本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
0.3

3.设 a=logπ3,b=2 ,c=log2 ,则( A.a>b>c B.a>c>b

) C.c>a>b D.b>a>c

考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用指数函数与对数函数的单调性即可得到. 解答: 解:∵0<a=logπ3<1,b=2 >1,c=log2 <0,
0.3

∴c<a<b. 故选:D. 点评:本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.

4.“sinx=

”是“x=

”的(

) B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

A.充要条件 C.必要不充分条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:若 x= 若 x= ,则 sinx= ”是“x= 满足 sinx= ,但 x= 不成立,即充分性不成立,

成立,即必要性成立, ”的必要不充分条件,

故“sinx=

故选:C 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据三角函数之间的关系是解决本题的关键. 5.函数 f(x)=8x ﹣x+2 的一个零点所在区间为( ) A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) 考点:函数零点的判定定理. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:紧扣函数零点存在的判定定理:函数连续,一正一负即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=8x ﹣x+2 在(0,+∞)上连续, 且 f(1)=8﹣1+2=9, f(2)=2﹣2+2=2, f(3)= ﹣3+2=﹣ , 故选 B. 点评:本题考查了函数零点的判定,属于基础题. 6.已知命题“(?p)∨(?q)”是假命题,给出下列四个结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧q”是假命题; ③命题“p∨q”是真命题; ④命题“p∨q”是假命题. 其中正确的结论为( ) A.①③ B.②③ C.①④ 考点:复合命题的真假.
﹣2 ﹣2

D. (4,5)

D.②④

专题:计算题. 分析:利用互为逆否命题真假相反,可知①正确;利用命题“(?p)∨(?q)”是假命题,可 知 p,q 必有一个真命题,故可知③正确. 解答: 解:命题“(?p)∨(?q)”的逆否命题是“p∧q”,故可知①正确;命题“(?p)∨(?q)” 是假命题,则 p,q 必有一个真命题,故可知③正确,故选 A. 点评:充分理解“或”和“非”及充要条件的判断本题较容易 7.将函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π 的图象向左平移 个单位,再将图象上所有点的横

坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为 y=sinx,则 y=sin(ωx+φ)图象上 离 y 轴距离最近的对称中心为( ) A. ( ,0) B. ( π,0) C. (﹣ ,0) D. (﹣ ,0)

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:常规题型;三角函数的图像与性质. 分析:函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin 的图象; ω+φ)

再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y=sin ( ωx+

的图象;由解析式相同求出 ω、φ 的值,然后根据正弦函数的对称中心求出函数 y=sin(ωx+φ) 的对称中心,进而求出离 y 轴距离最近的对称中心. 解答: 解:将函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π 的图象向左平移 的图象; 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y=sin ( ωx+ 的图象; ∴函数 y=sin( ωx+ ∴ , φ=0 ω+φ)的图象与函数 y=sinx 的图象相同 ω+φ) 个单位,得到函数 y=sin

解得:ω=2,φ= ∴y=sin(ωx+φ)=sin(2x 由 2x =kπ 得 2x=k ) (k∈Z)

当 k=﹣1 时,x=﹣ ∴离 y 轴距离最近的对称中心为(﹣ 故选 C. ,0) .

点评:本题的易错点是函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π 的图象向左平移

个单位,得到函

数 y=sin 的图象,而不是函数 y=sin 的图象;还有离 y 轴距离最近的对称中心易错求成 ( ) .

8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对?x∈R 恒有 f(x﹣2)=f(x)+f(2) ,且当 x∈(0, 1)时,f(x)=x ﹣x,则 f( )=( A. B.
2

) C.﹣ D.﹣

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: 对?x∈R 恒有 ( f x﹣2) =f (x) +f (2) , 分别取 x= , 2 可得 f(2)=f(0) ,利用 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可得 (0)=0.即可得出 = ,再利用已知即可得出. , ,f(2)=f

解答: 解:∵对?x∈R 恒有 f(x﹣2)=f(x)+f(2) , ∴ 化为 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴ ∴ = ,
2

+f(2) ,f(2﹣2)=2f(2) , ,f(2)=f(0) ,

,f(2)=f(0)=0.

∵当 x∈(0,1)时,f(x)=x ﹣x, ∴ ∴ = . .

故选:B. 点评: 本题考查了抽象函数的性质、 函数的奇偶性, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 9.4cos10°﹣tan80°=( ) A.﹣ B.﹣

C.﹣1

D.

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:利用两角和差的三角公式,把非特殊角转化成特殊角,化简原式,可得答案.

解答: 解:4cos10°﹣tan80°=4cos10°﹣ = =

=4cos10°﹣ =

=

=

=

=﹣ , 故选:A. 点评:本题主要考查了余弦函数两角的和差问题.做题的关键是把非特殊角,化为特殊角或非 特殊角,互相抵消、约分求出值,属于基础题. 10.已知函数 f(x)=2mx ﹣3nx +10(m>0)有且仅有两个不同的零点,则 lg m+lg n 的最 小值为( ) A. B. C. D.
3 2 2 2

考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析: 由题意可得函数的极大值或极小值等于 0, 求得 m、 n 的关系, 再取对数得 lgn= + lgm, 即可将问题转化为二次函数求最小值解得结论. 解答: 解:f′(x)=6mx ﹣6nx=6x(mx﹣n) , ∴由 f′(x)=0 得 x=0 或 x= , ∵f(x)=2mx ﹣3nx +10(m>0)有且仅有两个不同的零点,又 f(0)=10, ∴f( )=0,即 2m? ﹣3n? +10=0,整理得 n =10m ,
3 2 3 2 2

两边取对数得 3lgn=1+2lgm,∴lgn= + lgm, ∴lg m+lg n=lg m+( + lgm) = (13lg m+4lgm+1)= ∴当 lgm=﹣ 时,lg m+lg n 有最小值为
2 2 2 2 2 2 2

(lgm+

)+

2





故选 D. 点评: 本题考查函数的零点的判断及利用导数研究函数的极值知识, 考查学生的等价转化能力 及运算求解能力,属于中档题. 二、填空题(共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) 11.已知 f(x)=3x +x,则定积分
2

f(x)dx=10.

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:只要找出被积函数的原函数,然后代入上下限计算即可. 解答: 解:定积分 f(x)dx= (3x +x)dx=(x + x )|
2 3 2

=10;

故答案为:10. 点评:本题考查了定积分的计算,关键是熟练掌握积分公式以及法则,属于基础题. <1},B={x||x﹣a|<1},且 A∩B≠?,则 a 的取值范围为(﹣3,3) .

12.已知 A={x|

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:由已知得当 A∩B=?时,a+1≤﹣2 或 a﹣1≥2,由此能求出当 A∩B≠?时,﹣3<a<3. 解答: 解:∵A={x| <1}={x|﹣2<x<2},

B={x||x﹣a|<1}={x|a﹣1<x<a+1}, ∴当 A∩B=?时,a+1≤﹣2 或 a﹣1≥2, 解得 a≤﹣3 或 a≥3, ∴当 A∩B≠?时,﹣3<a<3. 故答案为: (﹣3,3) . 点评:本题考查实数 a 的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意不等式性质的 合理运用. 13.已知 θ∈(

,π) ,

+

=2

,则 sin(2θ﹣

)=﹣1.

考点:二倍角的正弦. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:对 + =2 进行通分、两边同乘 sinθcosθ,然后两边平方,利用同角三角函

数基本关系式及倍角公式可求出 sin2θ、cos2θ,注意根据角的范围确定三角函数值的符号,代 入两角差的正弦公式求 sin(2θ﹣ 解答: 解:∵ + = )值. =2 ,

∴sinθ+cosθ=2 sinθcosθ= 2 两边平方得:1+sin2θ=2sin 2θ 解得:sin2θ=﹣ 或 sin2θ=1 ∵θ∈( ,π) ,∴2θ∈(π,2π)

∴sin2θ=﹣ ,∴sinθ+cosθ=

∴cos2θ= ∴sin(2θ﹣ )=sin2θcos ﹣cos2θsin = =﹣1

故答案为﹣1. 点评:本题考查了三角函数式的化简及求值问题,在求解过程中注意公式的选择,在利用平方 关系式时要特别注意要确定三角函数值的符号. 注意:14.15,16 为选做题,请从中任选两题作答,若三题都做,则按前两题给分 14.如图,PQ 为半圆 O 的直径,A 为以 OQ 为直径的半圆 A 的圆心,圆 O 的弦 PN 切圆 A 于点 M,PN=8,则圆 A 的半径为 .

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;立体几何. 分析: 利用圆的直径的性质、 圆的切线的性质可得: ∠PNQ=90°=∠PMA. 进而得到 AM∥QN, 可得 = ,再根据切割线定理可得:PM =PO?PQ.可得 PO.
2

解答: 解:如图所示,连接 AM,QN. 由于 PQ 是⊙O 的直径,∴∠PNQ=90°. ∵圆 O 的弦 PN 切圆 A 于点 M,∴AM⊥PN. ∴AM∥QN, ∴ = .
2

又 PN=8,∴PM=6. 根据切割线定理可得:PM =PO?PQ. 2 设⊙O 的半径为 R.则 6 =R?2R, ∴R=3 , ∴⊙A 的半径 r= R= 故答案为: . .

点评: 本题考查了圆的直径的性质、 圆的切线的性质、 平行线分线段成比例定理、 切割线定理, 属于基础题. 15.已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ=2sinθ,ρcosθ+ρsinθ+1=0,则曲线 C1 上的点与曲 线 C2 上的点的最近距离为 ﹣1. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:选作题;坐标系和参数方程. 分析:把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离为 d,再把 d 减去半径,即为 所求. 解答: 解:由于曲线 C1、C2 的极坐标方程分别为 ρ=2sinθ,ρcosθ+ρsinθ+1=0, 2 2 则它们的直角坐标方程分别为 x +(y﹣1) =1,x+y+1=0. 曲线 C1 上表示一个半径为 1 的圆,圆心为(0,1) , 曲线 C2 表示一条直线,圆心到直线的距离为 d= = ,

故曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点的最近距离为 ﹣1, 故答案为: ﹣1. 点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用,属 于基础题. 16.若不等式|x+3|+|x﹣7|≥a ﹣3a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是. 考点:绝对值三角不等式. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析:利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|x﹣7|≥10,依题意,解不等式 a ﹣3a≤10 即可. 解答: 解:∵|x+3|+|x﹣7|≥|(x+3)+(7﹣x)|=10, 2 2 ∴|x+3|+|x﹣7|≥a ﹣3a 的解集为 R?a ﹣3a≤10, 解得﹣2≤a≤5. ∴实数 a 的取值范围是. 故答案为: . 点评:本题考查绝对值不等式的解法,着重考查对值三角不等式的应用,求得|x+3|+|x﹣7|≥10 是关键,考查等价转化思想与运算求解能力,属于中档题. 四、解答题(共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.已知函数 f(x)=sin( +x)cos( ﹣x)+cosxcos(π﹣x)
2 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据诱导公式、两角和的余弦公式化简函数解析式,再由周期公式求出函数 f(x) 的最小正周期;

(2)由 x∈得 2x∈,根据余弦函数的性质求出 cos2x 的范围,再求出函数的值域,即可求函数 的最值. 解答: 解: (1)由题意得,f(x)=sin( =sinxcosx﹣cosxcosx= sin2x﹣ (1+cos2x) = sin(2x﹣ )﹣ , =π; +x)cos( ﹣x)+cosxcos(π﹣x)

函数 f(x)的最小正周期 T= (2)由 x∈得,2x∈, ∴2x﹣ ∈, )≤

∴﹣1≤sin(2x﹣

,即﹣

≤f(x)≤0, .

则函数的最大值是 0,最小值是﹣

点评:本题考查了诱导公式、两角和的余弦公式,以及余弦函数的性质,属于中档题. ) ,x∈R

18.已知函数 f(x)=2sin(x+ (1)已知 tanθ=﹣2,θ∈(

,π) ,求 f(θ)的值;

(2)若 α,β∈,f(α)=2,f(β)= ,求 f(2β+2α)的值.

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析: (1)由已知易得 sinθ= 值计算即可; (2)由已知可得 sin(β+ )= ,可得 α= ,cos(β+ )= )= ,进而可得 sinβ 和 cosβ,可 sin2β+cos2β,代值计算可得. ,cosθ=﹣ ,而 f(θ)=2sin(θ+ )= sinθ+cosθ,代

得 sin2β 和 cos2β 的值,而 f(2β+2α)=2sin(2β+ 解答: 解: (1)∵tanθ=﹣2,θ∈( ∴sinθ= ,cosθ=﹣ ) , ,π) ,

∴f(θ)=2sin(θ+ = = sinθ+cosθ ;

(2)∵α,β∈,f(α)=2sin(α+ f(β)=2sin(β+ ∴sin(α+ ∴α= )= ,

)=2,

)=1,sin(β+ )= , = = × ) ﹣(
2

)= ,

,cos(β+

∴sinβ=sin= cosβ=cos= ∴sin2β=2× cos2β=(

, = )= )=2sin(2β+ + ) =﹣
2

∴f(2β+2α)=2sin(2β+2α+ = sin2β+cos2β=﹣

点评:本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及二倍角公式,属中档题. 19.设函数 f(x)= x +x +(m ﹣1)x(x∈R) (1)当 m=1 时,求函数 f(x)的单调区间与极值 (2)若函数 y=f(sinx)在 x∈上单调递增,求实数 m 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)由已知我们易求出函数的导函数,令导函数值为 0,即可得到函数的单调区间和极 值. (2)根据复合函数的单调性质,需要分类讨论,可以得到关于 m 的不等式,解得即可. 解答: 解: (1)∵f(x)= x +x , (x∈R) , ∴f′(x)=x +2x. 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=﹣2 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣2) ﹣2 (﹣2,0) 0 (0+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以 f(x)在(﹣∞,﹣2) , (0,+∞)内是增函数,在(﹣2,0)内是减函数, 当 x=﹣2,函数有极大值,极大值为 f(﹣2)= , 当 x=0,函数有极小值,极小值为 f(0)=0,
2 3 2 3 2 2

(2)f(x)= x +x +(m ﹣1)x, (x∈R) , ∴f′(x)=x +2x+m ﹣1. 令 f′(x)=0,解得 x=1﹣m,或 x=1+m. 当 m>0,所以 1+m>1﹣m. 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,1﹣m) 1﹣m (1﹣m,1+m) (1+m,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ∴f(x)在(﹣∞,1﹣m) , (1+m,+∞)内是增函数, ∵y=sinx 在 x∈上单调递增,又 y=f(sinx)在 x∈上单调递增,
2 2

3

2

2

1+m



,解得 m>0,

当 m=0 时,f(x)在(﹣∞,﹣2) , (0,+∞)内是增函数 ∴y=f(sinx)在 x∈上单调递增 当 m<0 时,f(x)在(﹣∞,1+m) , (1﹣m,+∞)内是增函数,





无解, 综上所述 m 的取值范围为的部分图象如图所示,其中 P 为函数图象的最高点,A,B 是函数图 象与 x 轴的相邻两个交点,若 y 轴不是函数 f(x)图象的对称轴,且 tan∠APB= (1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知角 α、β、θ 满足 f( α﹣ )?f( 的值、 β﹣ )= 且 α+β= ,tanθ=2,求

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数中的恒等变换应用. 专题:三角函数的图像与性质.

分析: (1)由 tan∠APB= 列式求出周期,再由周期公式求出 ω,则函数解析式可求; (2)把 α﹣ , β﹣ 分别代入 f(x) ,由 f( α﹣ )?f( β﹣ )= 结合 α+β=

得到矛盾的式子,说明 解答: 解: (1)如图, 过 P 作 PM⊥x 轴,垂足是 M, 则 tan∠MPB= ,tan∠MPA= .

的值不存在.

∴tan∠APB=tan(∠MPB﹣∠MPA)=

=

= ,

解得:T=4 或 T= . ∵f(x)=sin=sin(ωπx+ ωπ) , ∴ =4 或 = ,得 ω= 或 ω= . ) (舍) ;

∴f(x)=sin( πx+ π)或 f(x)=sin( πx+ π)=cos( (2)当 f(x)=sin( πx+ π)时, 由 f( sin 即 sinα?sinβ= 由 α+β= ∴ ,则 >1,矛盾; 的值不存在. α﹣ )?f( β ﹣ )= ,得 = .



,得:cos(α﹣β)=

点评:本题考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式,考查了三角函数的求值,考查了三 角函数的有界性,是中档题. 21.已知函数 f(x)=(ax +x+a)e (1)若函数 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线与直线 3x﹣y+1=0 平行,求 a 的值; (2)当 x∈时,f(x)≥e
﹣4

2

﹣x

恒成立,求实数 a 的取值范围.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出导数,求得切线斜率,由两直线平行的条件即可得到 a; (2)当 x∈时,f(x)≥e 恒成立,即有当 x∈时,f(x)min≥e .求出导数,讨论①当 a≥0 时,②当 a<0 时,当 a≤﹣1,当﹣1<a<0 时,当﹣1<a<0 时,运用单调性,求出 f(x)最 小值即可得到. 解答: 解: (1)函数 f(x)=(ax +x+a)e ﹣x ﹣x 2 导数 f′(x)=(2ax+1)e ﹣(ax +x+a)e ﹣x 2 =e (1﹣a﹣x+2ax﹣ax ) , 则在点(0,f(0) )处的切线斜率为 f′(0)=1﹣a, f(0)=a,由于切线与直线 3x﹣y+1=0 平行, 则有 1﹣a=3,a=﹣2; (2)当 x∈时,f(x)≥e 恒成立,即有 ﹣4 当 x∈时,f(x)min≥e . ﹣x ﹣x 2 由于 f′(x)=(2ax+1)e +(ax +x+a)e ﹣x ﹣x 2 =e (1+a+x+2ax+ax )=(x+1) (ax+1+a)e , ①当 a≥0 时,x∈,f′(x)>0 恒成立,f(x)在递增, f(x)min=f(0)=a≥e ; ②当 a<0 时,f′(x)=a(x+1) (x+1+ )?e , 当 a≤﹣1,﹣1≤ <0,0≤1+ <1,﹣1<﹣(1+ )≤0, x∈,f′(x)≤0 恒成立,f(x)递减, f(x)min=f(4)=(17a+4)?e ≥e ,17a+4≥1,a≥﹣ 当﹣1<a<0 时, <﹣1,1+ <0,﹣(1+ )>0, f(x)在递增,或存在极大值,
﹣4 ﹣4 ﹣x ﹣4 ﹣4 ﹣4 ﹣4

2

﹣x

,与 a≤﹣1 矛盾,

f(x)min 在 f(0)和 f(4)中产生,则需 f(0)=a≥e , ﹣4 ﹣4 且 f(4)=(17a+4)?e ≥e , 且﹣1<a<0, 推出 a∈?, 综上,a≥e . 点评: 本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程, 考查了利用导数求函数在闭区间上 的最值,考查分类讨论的思想方法,是该题的难点所在,此题属中档题. 22.已知函数 f(x)=lnx (1)若方程 f(x+a)=x 有且只有一个实数解,求 a 的值; (2)若函数 g(x)=f(x)+ x ﹣mx(m≥ )的极值点 x1,x2(x1<x2)恰好是函数 h(x) =f(x)﹣2x ﹣bx 的零点,记 h′(x)为函数 h(x)的导函数,求 y=(x1﹣x2)h′( 的最小值. 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)利用数形结合的思想,根据导数的几何意义,设切点为(x0,x0) ,继而求出 a 的 值. (2)先根据函数 g(x)=f(x)+ x ﹣mx(m≥ )的极值点 x1,x2 求得 x1+x2=m,x1?x2=1, 再根据极值点 x1,x2(x1<x2)恰好是函数 h(x)=f(x)﹣2x ﹣bx 的零点,得到 b=﹣2m+ , 再化简 y=(x1﹣x2)h′( y= )得到
2 2 2 2
﹣4

﹣4



?(2m+ ) ,判断出在 m∈

∴f(x+a)=x 有且只有一个实数解, 分别画出函数 y=f(x+a)的图象和 y=x 的图象,如图所示, 当 y=f(x+a)的图象和 y=x 的图象相切时只有一个实数解, 设切点为(x0,x0) , ∴k=f′(x0+a)= =1,①

x0=f(x0+a)=ln(x0+a) ,② 解得 a=1, (2)∵g(x)=f(x)+ x ﹣mx=lnx+ x ﹣mx,
2 2

∴g′(x)= +x﹣m=



令 g′(x)=

=0,

得 x ﹣mx+1=0, ∵函数 g(x)=f(x)+ x ﹣mx(m≥ )的极值点 x1,x2(x1<x2) ∴x1+x2=m,x1?x2=1, ∴x1﹣x2=﹣ ∵x1,x2(x1<x2)恰好是函数 h(x)=f(x)﹣2x ﹣bx 的零点, 2 2 即 h(x)=f(x)﹣2x ﹣bx=lnx﹣2x ﹣bx=0 由两个解分别为 x1,x2, 2 ∴h(x1)=lnx1﹣2x1 ﹣bx1=0,③ 2 h(x2)=lnx2﹣2x2 ﹣bx2=0,④ 2 2 由③+④得 lnx1﹣2x1 ﹣bx1+lnx2﹣2x2 ﹣bx2=0, 2 整理得 2m +bm﹣4=0, 即 b=﹣2m+ ∵h′(x)为函数 h(x)的导函数, ∴h′(x)= ﹣4x﹣b,
2 2

2

∴h′(

)=

﹣4(x1+x2)﹣b,

∴y=(x1﹣x2)h′( = ?(2m+ )

)=﹣

?( ﹣4m﹣b)=﹣

?( ﹣4m+2m﹣ )

设 F(m)=

,G(m)=2m+ ,

∴G′(m)= ∵m≥ ,



∴G′(m)>0,故 G(m)=2m+ 在 m∈[ ,+∞)上为增函数, 又 F(m)= ∴y= 在 m∈[ ,+∞)上为增函数, ?(2m+ )在 m∈[ ,+∞)上为增函数, ?(2× +2× )=

∴当 m= 时,y 有最小值,最小值为 ymin=

点评: 本题主要考查了导数的几何意义, 函数的极值点, 函数零点的问题, 复合函数的单调性, 函数最值的问题,关键是求出 b 与 m 的关系,培养学生的分析问题,解决问题的能力,本题 的计算量较大,属于难题.


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