高中数学选修2-3知识点、考点、附典型例题222

高中数学
第一章 计数原理 知识点:

选修 2-3 知识点

1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有 N 类办法,在第一类办法中有 M1 种不同的方法,在第二 类办法中有 M2 种不同的方法,……,在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法,那么完成这件事情共有 M1+M2+……+MN 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成 N 个步骤,做第一 步有 m1种不同的方法,做第二 步有 M2不同的方法,……,做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方 法。 3、排列:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取 ...... 出 m 个元素的一个排列 4、排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一
m 个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示。

A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ?

n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

6、组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合。
m m n n 7、公式: CC ? n? n? m m ?

Am n(? )1 ? (n(? ?1 )1) m m n!n! A m n(n n1 ? )? nm ?m ? CC n? n? m! m! (n Am m! m !(? nm ? )! m)! Am

n?m Cm n ?C n;

1 m C m?n ?C m n ?C n ?1

a ? b ) ? C a ? C a b ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b n n n n n 8、二项式定理: (
n n
r n ? r r 9、二项式通项公式 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 : T ? C a b ( r ? 0 , 1 ? ? n ) r ? 1 n

n 0 n 1 n ? 1 2 n ? 2 2

r n ? r r

第二章 随机变量及其分布 知识点:
1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是随着试验的结果的不同 而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ 、η 等表示。 2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量 X 可能取的值,我们可以按一定 次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率 P(ξ =xi)=Pi,则称表为离散型随机变量 X 的概率分布,简称分布 列

4、分布列性质① pi≥0, i =1,2, ? ;② p1 + p2 +?+pn= 1. 5、二项分布:如果随机变量 X 的分布列为:

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数 p 的二点分布 6、超几何分布:一般地, 设总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n(n≤N)件, 这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量,
k n? k CM CN ?M 则它取值为 k 时的概率为 P ( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2, n CN

, m) ,

其中 m ? min

?M , n? ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N *

7、条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率. 记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 的概率 8、公式: P ( AB) P ( B | A) ? , P ( A) ? 0. P ( A) 9、相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互 独立事件。 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 10、n 次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 11、二项分布: 设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数,A 发生次数ξ 是一个随机变量.如果 在一次试验中某事件发生的概率是 p,事件 A 不发生的概率为 q=1-p,那么在 n 次独立重复试验中
k k n ?k P(? ? k ) ? Cn p q (其中 k=0,1, ??,n,q=1-p )

于是可得随机变量ξ 的概率分布如下:

这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作 ξ~B(n,p) ,其中 n,p 为参数 12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ 的概率分布为

则称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+? 为ξ 的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.是离 散型随机变量。 13、两点分布数学期望:E(X)=np 14、超几何分布数学期望:E(X)= n ?

M . N

15、方差:D(ξ )=(x1-Eξ )2·P1+(x2-Eξ )2·P2 +......+(xn-Eξ )2·Pn 叫随机变量ξ 的均方差,简称方差。 17.正态分布: 18.基本性质:

①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x= ? 对称,且在 x= ⑥正态曲线下的总面积等于 1.

? 时位于最高点.

第三章 统计案例 知识点:
1、 2、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较 精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是,由表中的数据算出随机变量 K^2 的值(即 K 的平方) K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中 n=a+b+c+d 为样本容量,K2 的值越大,说明“X 与 Y 有关 系”成立的可能性越大。 K2≤3.841 时,X 与 Y 无关; K2>3.841 时,X 与 Y 有 95%可能性有关;K2>6.635 时 X 与 Y 有 99%可能 性有关 3、回归分析

? ? a ? bx 回归直线方程 y

? xy ? n ? x? y ? ( x ? x )( y ? y ) SP 其中 b ? , ? ? 1 SS ( x ? x ) ? ? x ? n (? x )
2 2 2 x

1

a ? y ? bx

考点:无 考点:1、排列组合的运用
2、二项式定理的应用

★★1.我省高中学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展。某校高一新生中的五名同 学打算参加“春晖文学社” 、 “舞者轮滑俱乐部” 、 “篮球之家” 、 “围棋苑”四个社团。若 每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团,且同 学甲不参加“围棋苑” ,则不同的参加方法的种数为 ( ) A.72 B.108 C.180 D.216 ★★2.在 ( x ?

1
3

x

) 24 的展开式中,x 的幂的指数是整数的项共有





A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 ★★3.现有 12 件商品摆放在货架上,摆成上层 4 件下层 8 件,现要从下层 8 件中取 2 件调整到上层, 若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 A.420 B.560 C.840 D.20160 ★★4.把编号为 1,2,3,4 的四封电子邮件分别发送到编号为 1,2,3,4 的四个网址,则至多有一封 邮件的编号与网址的编号相同的概率为
2 ★★5. ( x ? ) 的展开式中 x 的系数为
8

1 x

( C.-336 D.336



A.-56

B.56

★★★1.(本小题满分 12 分)某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可以 继续参加科目 B 的考试。 每个科目只允许有一次补考机会, 两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书, 现在某同学将要参加这项考试,已知他每次考科目 A 成绩合格的概率均为 概率均为

2 ,每次考科目 B 成绩合格的 3

1 。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会,且每次的考试成绩互不影响,记他参加考试 2 的次数为 X 。 (1)求 X 的分布列和均值;
(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。 ★★★2(本小题满分 12 分) 济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园 4 个旅游景点,一位客人浏览这四个景点的概率分别是 0.3,0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ? 表示客人离开该城市时游览的景点 数与没有游览的景点数之差的绝对值。 (1)求 ? =0 对应的事件的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望。

★★★3. 袋子中装有 8 个黑球,2 个红球,这些球只有颜色上的区别。 (1)随机从中取出 2 个球, ? 表示其中红球的个数,求 ? 的分布列及均值。 (2)现在规定一种有奖摸球游戏如下:每次取球一个,取后不放回,取到黑球有奖,第一个奖 100 元,第二个奖 200 元,?,第 k 个奖 k ? 100 元,取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球,按照这种 规则,取球多少次比较适宜?说明理由。


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