全国新课标卷文理科数学2012-2015试题分类汇编12数列

12 数列
1. (2012 新课标文科 12) 数列{ an }满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 , 则{ an }的前 60 项和为 (D) (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题. 【解析】 【法 1】有题设知 a2 ? a1 =1,① a3 ? a2 =3 ② a4 ? a3 =5 ③ a5 ? a4 =7, a6 ? a5 =9,

a7 ? a6 =11, a8 ? a7 =13, a9 ? a8 =15, a10 ? a9 =17, a11 ? a10 =19, a12 ? a11 ? 21 ,
…… ∴②-①得 a1 ? a3 =2,③+②得 a4 ? a2 =8,同理可得 a5 ? a7 =2, a6 ? a8 =24, a9 ? a11 =2,

a10 ? a12 =40,…, ∴ a1 ? a3 ,a5 ? a7 ,a9 ? a11 , …, 是各项均为 2 的常数列,a2 ? a4 ,a6 ? a8 ,a10 ? a12 , …
是首项为 8,公差为 16 的等差数列, ∴{ an }的前 60 项和为 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? 【法 2】可证明:

1 ?16 ?15 ?14 =1830. 2

bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16
b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0 1 5? 1 4 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 2 1 ?6 ? 1830

2.( 2012 新课标理科 5)已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( D )

?

( A) 7
【解析】选 D

(B) 5

(C ) ??

( D) ??

a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
3. (2012 新课标文科 14) 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn, 若 S3+3S2=0 , 则公比 q =___-2____ 【命题意图】本题主要考查等比数列 n 项和公式,是简单题. 【解析】当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an }是 等比数列矛盾,故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得,

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q

4.(2012 新课标理科 16)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {a n } 的前 60 项和为

1830 【解析】 {a n } 的前 60 项和为

1830

可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

1 5? 1 4 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 1 ?6 ? 1830 2 2 5. (2013 新课标Ⅰ卷文科 6)设首项为 1 ,公比为 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 3 b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0
( D ) (A) S n ? 2an ? 1 (B) S n ? 3an ? 2 (C) S n ? 4 ? 3an (D) S n ? 3 ? 2an

6. (2013 新课标Ⅰ卷理科 7) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 , 则 m? ( C ) A.3 B.4 C.5 D.6

7.(2013 新课标Ⅰ卷理科 12) 设 ?An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An BnCn 的面积为 Sn ,

n ? 1, 2,3,

, 若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ?

cn ? an b ? an , cn ?1 ? n ,则( 2 2

B) A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n - 1}为递减数列, {S2n} 为递增数列

8. (2013 新课标Ⅰ卷理科 14)若数 列{ an }的前 n 项和为 Sn= 项公式是 an =______. an = (?2)
n ?1

2 1 an ? ,则数列{ an }的通 3 3

.

9. (2013新课标Ⅰ卷文科17) (本小题满分12分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S3 ? 0 , S5 ? ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和。 a2 n ?1a2 n ?1
n(n ? 1) d。 2

9.解(1)设{a n }的公差为d,则S n = na1 ?

?3a1 ? 3d ? 0, 解得a1 ? 1, d ? ?1. ? 由已知可得 ?5a1 ? 10d ? ?5,

故?an ?的通项公式为an =2-n.
(2)由(I)知

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a2 n?1a2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1
+ 1 1 n ? )? . 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n

从而数列 ?

?

? 1 1 1 1 1 1 ?的前n项和为 ( - + - + 2 -1 1 1 3 ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

10. (2013 新课标卷Ⅱ文科 17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等比数列。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 ? a7 ?

? a3 n?2 。

11. (2013 新课标卷Ⅱ理科 3) 等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , 已知 S 3 ? a2 ? 10a1 ,a5 ? 9 , 则 a1 ? (C) (A)

1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9

12. (2013 新课标卷Ⅱ理科 16)等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0, S15 ? 25 ,则

nS n 的最小值为________.-49

13.(2014 新课标卷Ⅰ文科 17) (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。
2

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?
2

【解析】 : (I)方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为2,3,由题意得 a2 ? 2 , a4 ? 3 ,设数列 ?an ? 的 公差为 d,,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d=

3 1 a1 ? ,从而 2, 2
…………6 分

所以 ?an ? 的通项公式为: an ? (Ⅱ)设求数列 ? 则: S n ?

1 n ?1 2

a n?2 ? an ? ? n ?1 , 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ?

3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

两式相减得

1 3 ?1 1 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? 2 4 ?2 2
所以 S n ? 2 ?

?

1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 ? n?2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 n ?1 ? 2 ? 2 4 4? 2 ? 2
………12 分

n?4 2n ?1

14. (2014 新课标卷Ⅰ理科 17)(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1,

an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数.
(Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. (17)解: (I)由题设, an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ? 1. 两式相减得

an?1 ( an?2 ? a )? ? a n ?1.

由于 an?1 ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?. (II)由题设, a1 ? 1 , a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ? ? 1. 由(I)知, a3 ? ? ? 1. 令 2a2 ? a1 ? a3 ,解得 ? ? 4. 故 an? 2 ? an ? 4 ,由此可得

……6 分

?a2n?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列, a2n?1 ? 4n ? 3 ; ?a2n ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列, a2n ? 4n ?1 .
所以 an ? 2n ? 1, an?1 ? an ? 2 . 因此存在 ? ? 4 ,使得数列 ?an ? 为等差数列. ……12 分

15. (2014 新课标卷Ⅱ文科 5) 等差数列 {an } 的公差是 2, 若 a2 , a 则 {an } 的 4 ,a 8 成等比数列, 前 n 项和 Sn ? ( A ) A. n(n ? 1) B. n(n ? 1) C.

n( n ? 1) 2

D.

n( n ? 1) 2

16.(2014 新课标卷Ⅱ文科 16) 数列 {an } 满足 an ?1 ? 17. (2014 新课标卷Ⅱ理科 17) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 .

1 1 , a8 ? 2 ,则 a1 ? ________. 2 1 ? an

(Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

(17)解: (1)由 am?1 ? 3am ? 1得 am ?1 ? 又 a1 ?
1 1 ? 3(am ? ). 2 2

1 3 1 3 ? ,所以,{ am ? } 是首项为 ,公比为 3 的等比数列。 2 2 2 2
m

1 3 3m ? 1 am ? = ,因此{ an }的通项公式为 am = 2 2 2

(2)由(1)知

2 1 = m am 3 ? 1

因为当 n ? 1 时, 3m ? 1 ? 2 ? 3m?1 , 所以, 于是,
1 1 ? ? a1 a2 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 1 ? 1? ? am 3 1 3 ? am 2 ? 1 3
m ?1

1 1 ? 3 ? 1 2 ? 3m ?1
m

3 1 3 = (1 ? m ) ? 2 3 2

所以,

?

18、 (2015 新课标 1 卷文科 7)已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和, 若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( B ) (A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

19、 (2015 新课标 1 卷文科 13)数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, 若 Sn ? 126 ,则 n ? 6 .

20.(2015 新课标 1 卷理科 17) (本小题满分 12 分) Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.已知 an>0, an 2 +2an=4Sn+3. (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 20 解:
2 2 (I)由 an ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an ?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3. 2 2 可得 an ?1 ? an ? 2(an?1 ? a) ? 4an?1 即 2 2 2(an?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? (an?1 ? a)(an?1 ? a)

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和。 an an ?1

由于 an ? 0 可得 an?1 ? an ? 2. 又 a12 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1(舍去),a1 ? 3 所以 ?an ? 是首相为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1. (II)由 an ? 2n ? 1

bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). an a?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则

Tn ? b1 ? b2 ?
?

? bn
?( 1 1 ? )?( ) 2n ? 1 2n ? 3 ? ?

1? 1 1 1 1 ( ? )?( ? )? ? 2? 3 5 5 7 n ? . 3(2n ? 3)

21. (2015 新课标 II 卷文科 5)设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 , 则 S5 ? ( A ) A.5 B. 7 C. 9 D. 11
1 , 则 a2 ? a3a5 ? 4(a4 ?1) , 4

22. (2015 新课标 II 卷文科 9) 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? ( C ) A.2 B. 1 C.
1 2

D.

1 8

23.(2015 新课标Ⅱ卷理科 4)等比数列 {an } 满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 =( B ) (A) 21 (B) 42 (C) 63 (D) 84

24. ( 2015 新课标Ⅱ卷理科 16 ) 设 S n 是数列 {an } } 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 ,
1 an?1 ? S n ? S n?1 ,则 S n ? ______ ? _________. n


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