(浙江专版)2018年高中数学回扣验收特训(三)空间向量与立体几何新人教A版选修2_1

回扣验收特训(三) 空间向量与立体几何 a,b =( ) 1.已知 a+b=(2, 2,2 3),a-b=(0, 2,0),则 1 A. 3 C. 6 3 1 B. 6 D. 6 6 解析:选 C 由已知,得 a=(1, 2, 3),b=(1,0, 3),∴ 1+0+3 6× 4 = 6 . 3 a,b = a·b = |a||b| 2. 已知直线 l 过定点 A(2,3,1), 且 n=(0,1,1)为直线 l 的一个方向向量, 则点 P(4,3,2) 到直线 l 的距离为( 3 2 A. 2 C. 10 2 ) B. 2 2 D. 2 解析:选 A PA =(-2,0,-1),| PA |= 5, PA · 2 n 2 =- ,则点 P 到直线 l |n| 2 的距离为 | PA | -? PA · ? ? n ?2 ?= |n|? 1 3 2 5- = . 2 2 ) 3.如图所示,已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,则 AB1 · C1 B =( A.-2 C.-1 解析:选 C B.2 D.1 AB1 · C1 B = AB1 · D1 A =( 2)2 AB1 , D1 A =2cos(180°- ? 1? 60°)=2cos 120°=2×?- ?=-1.故选 C. ? 2? 4.如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面 ABC 是 等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱 AA1=2,D,E 分别是 CC1 与 A1B 的 中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G.则 A1B 与平面 ABD 所 成角的正弦值为( A. C. 2 3 3 2 ) B. D. 7 3 3 7 1 解析:选 A 以 C 为坐标原点,CA 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直 线为 y 轴,CC1 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 设 CA=CB=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),A1(a,0,2),D(0,0,1),∴ ?a a ? ?a a 1? ?a a 2? E? , ,1?,G? , , ?, GE =? , , ?, BD =(0,-a,1). ?2 2 ? ?3 3 3? ?6 6 3? ∵点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G, ∴ GE ⊥平面 ABD,∴ GE · BD =0,解得 a=2. ?1 1 2? ∴ GE =? , , ?, BA1 =(2,-2,2), ?3 3 3? ∵ GE ⊥平面 ABD, ∴ GE 为平面 ABD 的一个法向量. 又 GE , BA1 = GE · BA1 | GE || BA1 | = 4 3 6 ×2 3 3 = 2 , 3 ∴A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值为 2 . 3 5.如图,已知矩形 ABCD 与矩形 ABEF 全等,二面角 D?AB?E 为直二面 角, M 为 AB 的中点, FM 与 BD 所成的角为 θ , 且 cos θ = A.1 C. 2 2 B. 2 1 D. 2 3 AB , 则 =( 9 BC ) 解析: 选 C 建立如图所示空间直角坐标系, 设 AB=1, BC=λ , 则 F(λ , ? 1 ? 0,0),M?0, ,0?,B(0,1,0),D(0,0,λ ). ? 2 ? 1 ? ? ∵ FM =?-λ , ,0?, BD =(0,-1,λ ). 2 ? ? | FM · BD | 3 = , 9 1 2 2 λ + · λ +1 4 ∴cos θ = = | FM |·| BD | ?-1? ? 2? ? ? 解得 λ = 2,所以 = AB BC 2 . 2 6.如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,底面 ABC 为正三角形,且侧棱 AA1⊥底 2 面 ABC,且底面边长与侧棱长都等于 2,O,O1 分别为 AC,A1C1 的中点,则平面 AB1O1 与平面 BC1O 间的距离为( 3 5 A. 5 C. 5 5 ) 2 5 B. 5 D. 5 10 解析:选 B 如图,连接 OO1,根据题意,OO1⊥底面 ABC,则以 O 为原点, 分别以 OB,OC,OO1 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. ∵AO1∥OC1, OB∥O1B1, AO1∩O1B1=O1, OC1∩OB=O, ∴平面 AB1O1∥平面 BC1O. ∴ 平面 AB1O1 与平面 BC1O 间的距离即为 O1 到平面 BC1O 的距离. ∵O(0, 0,0), B( 3, 0,0),C1(0,1,2),O1(0,0,2),∴ OB =( 3,0,0), OC1 =(0,1,2), OO1 =(0,0,2),设 n=(x,y,z)为平面 BC1O 的法向量,则 n· OB =0,∴x=0.又 n· OC1 =0,∴y+2z=0, |n· OO1 | 2 2 5 ∴可取 n=(0,2,-1).点 O1 到平面 BC1O 的距离记为 d,则 d= = = .∴ |n| 5 5 2 5 平面 AB1O1 与平面 BC1O 间的距离为 . 5 7.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC?A1B1C1,CA=CC1= 2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为________. 解析: 不妨设 CB=1, 则 B(0,0,1), A(2,0,0), C1(0,2,0), B1(0,2,1). ∴ BC1 =(0,2,-1), AB1 =(-2,2,1). BC1 , AB1 答案: 5 5 BC1 · AB1 0+4-1 5 = = = . 5 5×3 | BC1 |·| AB1 | 8.如图,已知矩形 ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上 只有一个点 Q 满足 PQ⊥QD,则

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