高中数学第一章常用逻辑用语131推出与充分条件必要条件教学案新人教B版选修1 1(数学教案)


1.3.1 推出与充分条件、必要条件 [学习目标] 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的 条件关系. [知识链接] 判断下列两个命题的真假,并思考命题中条件和结论之间的关系: (1)如果 x>a +b ,则 x>2ab; (2)如果|x|=1,则 x=1. 答 (1)为真命题,(2)为假命题. 命题(1)中,有 x>a +b ,必有 x>2ab,即 x>a +b ? x>2ab;但由 x>2ab 推不出 x>a +b .命 题(2)中,由|x|=1,可得 x=1 或-1.即由|x|=1 推不出 x=1;但由 x=1 能推出|x|=1. 结论:一般地,“如果 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这时,我们就说, 由 p 可推出 q,记作 p? q,并且说 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. [预习导引] 1.命题的结构 在数学中,我们经常遇到“如果 p,则(那么)q”的形式的命题,其中 p 称为命题的条件,q 称为命题的结论. 2.充分条件与必要条件的定义 当命题“如果 p, 则 q”经过推理证明断定是真命题时, 我们就说由 p 成立可以推出 q 成立, 记作 p? q,读作“p 推出 q”. 如果 p 可推出 q,则称 p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件. 3.p? q 的等价命题在逻辑推理中,能表达成以下 5 种说法: ①“如果 p,则 q”为真命题;②p 是 q 的充分条件;③q 是 p 的必要条件;④q 的充分条件 是 p;⑤p 的必要条件是 q. 4.充要条件的定义 一般地,如果 p? q,且 q? p,则称 p 是 q 的充分且必要条件,简称 p 是 q 的充要条件,记 作 p?q. 2 2 2 2 2 2 2 2 1 p 是 q 的充要条件,又常说成 q 当且仅当 p,或 p 与 q 等价. 要点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 例 1 指出下列各题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”,“必要不充分条件”, “充要条件”,“既不充分又不必要条件”中选出一种作答): (1)在△ABC 中,p:∠A>∠B,q:BC>AC; (2)在△ABC 中,p:sinA>sinB,q:tanA>tanB; (3)已知 x,y∈R,p:(x-1) +(y-2) =0, 2 2 q:(x-1)(y-2)=0. 解 (1)在△ABC 中,显然有∠A>∠B?BC>AC,所以 p 是 q 的充要条件. (2)取 A=120°,B=30°,p? / q,又取 A=30°,B=120°,q? /p,所以 p 是 q 的既不 充分也不必要条件. (3)因为 p:A={(1,2)}, q:B={(x,y)|x=1 或 y=2}, A B,所以 p 是 q 的充分不必要条件. 规律方法(1)判断 p 是 q 的什么条件,主要判断 p? q 及 q? p 两命题的正确性,若 p? q 真, 则 p 是 q 的充分条件,若 q? p 真,则 p 是 q 的必要条件. (2)关于充要条件的判断问题,当不易判断 p? q 真假时,也可从集合角度入手判断真假,结 合集合关系理解,对解决与逻辑有关的问题是大有益处的. 跟踪演练 1 指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件, 必要不充分条 件,充要条件,既不充分也不必要条件”中选一种作答)? (1)p:△ABC 中,b >a +c ,q:△ABC 为钝角三角形; (2)p:△ABC 有两个角

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