高等数学 习题课1-1 极限与连续_图文

第一章 习题课一

范围:1.1~1.5
内容要点

举例
练习

思考题



内容要点
? 对应法则 f (1) y = f (x)两要素 ? 数列 {xn} ?定义域 x ? D (2)复合函数: 设y ? f ( x),u ? ? ( x)且? ( x)的函数值全部 或部分在f ( x)的定义域内, 我们得复合函数 y ? f[?( x)], u ?中间变量。

1 函数 数列的概念

例 (1) y ? sin x 由 y ? u , u ? sin x复合而成 (2) y ? ln 2 ln x 2
由y ? u2 , u ? ln v , v ? ln w , w ? x 2复合而成. (复合关系搞清,后面求导才不会错)

2 函数、数列极限的定义 (1) lim f ( x ) ? A的"? ? ? "定义 :
x ? x0

?? ? 0, ?? ? 0,当0 ? x ? x0 ? ? 时恒有 f ( x ) ? A ? ? .

注 1)? 是任意的, 才能使f ( x )无限趋近A,当x ? x0时。
2)与 lim f ( x ) ? A 息息相关的是在U 0 ( x0 , ? )内f ( x )
x ? x0

的取值, 与f ( x0 )无关, 甚至f ( x )在x ? x0点无定义。

3)几何意义 : 当x ? U 0 ( x0 , ? )时, A ? ? ? f ( x ) ? A ? ?
(2)lim xn ? a的" ? ? N " 定义
n??

(3)其它极限定义, 如 lim f ( x ) ? A, lim f ( x ) ? ?等等
x ?? x ???

3 求极限的方法 (1)根据定义 :"? ? ? "定义,"? ? N "定义, 等等。
要求 : 推理严密, 叙述完整。

(2)根据性质: ( 如: 四则运算法则)
(3)利用无穷小的性质:

1)有限个无穷小的乘积仍是无穷小
2)有界量与无穷小的乘积仍是无穷小

(4)初等方法: 运用根式有理化.因式分解.变量代换等方法, 通过约分,消去不定因式。



举例

例1 判断下列命题是否正确? 为什么? (1)若 n 越大, xn-a 越小, 则数列 xn 必以 a 为极限。 (2)若 n 越大, xn ? a 越小, 则数列 xn 必以 a 为极限。 (3)若 n 越大, xn ? a 越接近于零,则数列 xn 必以 a 为 极限。 (4)若?? ? 0, ?N ? 0,当n ? N时, 总有无穷多个xn满足

xn ? a ? ? , 则数列xn必以a为极限。

(5)若?? ? 0, 数列xn有限多项不满足 xn ? a ? ? , 则 数列xn必以a为极限。

解 (1) 否,反例:xn= - n, a=1, xn- a = - n - 1越小 (n 越大时), 而 xn 无极限。
(2) 否,反例:xn= - n -1, a=1,
? xn ? a ? n?1 ? 1 越小(n越大时),而xn ?? 1 ? (3) 否,反例:xn= 2+ n-1, a=1, xn ? a ? n?1 ? 1 n越大, xn ? a 越“接近”于零, 但 lim xn ? 1。
n ??

(4) 否,反例:xn= (- 1)n , a=1。

(5) ?? ? 0,{ xn }中除去xn1 , xn2 ,? , xnL 外皆满足 xn ? a ? ? ,
( n1 ? n2 ? ? ? nL ), 取N ? nL , 则当n ? N时 x n ? a ? ? ? lim xn ? a 。
n ??

即(5)正确。

例2 用定义证明lim x 2 ? 9
x ?3

证 ? x ? 3 ? 可设 x ? 3 ? 1, 即2 ? x ? 4
从而 x 2 ? 9 ? x ? 3 ? x ? 3 ? 7 x ? 3
??? ? 0, ?? ? min{1, } 当0 ? x ? 3 ? ? 时 7

?

x2 ? 9 ? 7 x ? 3 ? ?
? lim x 2 ? 9
x ?3

1? x 例3 用定义证明 lim ??。 x ?0 x 1? x 分析 : ?M ? 0, 要?? ? 0,当0 ? x ? ? 时, ?M x 1? x 1? x 1? x 1? x 证 ?M ? 0, ? , 要使 ? M , 只要 ? M,
x x x x

1 即只要 x ? M ?1 1 1? x ??M ? 0, 取? ? , 则当0 ? x ? ? 时恒有 ? M. M ?1 x 1? x ? lim ? ?. x ?0 x 注 (1) 证明极限为有限值, 0, ??时, 常采用适当放大的方法。

(2) 证明极限为?、 ?时, 可采用适当缩小的办法。 ?

例4 求(1) lim
x ??

2x ? 3 x? x
3

;

(2) lim

x2 10 ? x x

x ???

3 解 2? x =2 (1) 原式 ? lim x ?? 1 1 ? 23 x

10 ? x 2 (2) ? lim ? 0, 2 x ??? x
3

? 原式 ? ?

x2 ? 2 3 x ? 1 例5 求(1) lim ( ( x ? a )( x ? b) ? x ); (2)lim x ??? x ?1 ( x ? 1)2 (a ? b) x ? ab 解 (1) 原式 ? lim x ??? ( x ? a )( x ? b ) ? x ab (a ? b) ? a?b x ? ? lim x ??? 2 a b (1 ? )(1 ? ) ? 1 x x
3

(2)令y ? 3 x , 则 3 x 2 ? y 2 , 且 x ? 1 时 y ? 1
1 y2 ? 2 y ? 1 ( y ? 1)2 ? 原式 ? lim ? lim 3 2 2 2 2 y ?1 ( y ? 1) y ?1 ( y ? 1) ( y ? y ? 1) 9

1 1 例6 求(1)lim x sin ; (2) lim x sin x ?0 x ?? x x 1 解 (1) ? lim x ? 0, sin 是有界量 x ?0 x 1 由无穷小性质 : lim x sin ? 0 x ?0 x 1 (2) lim x sin ? ? ? x ?? x (无穷大乘有界量,不一定是无穷大) 1 sin y 1 正确解法 令y ? , lim x sin ? lim ?1 x ?? y?0 x y x 1? 2 ??? n 例7 求 lim n?? n2 n( n ? 1) n?1 1 2 解 原式= lim ? lim ? 2 n?? 2n n ?? 2 n

?

1p ? 2 p ? ? ? n p 推广 求 lim ( p? N) p ?1 n?? n Stolz定理 设bn ? bn?1 ( n ? 1, 2,?) 且 lim bn ? ?? ,
n ??

an ? 1 ? an an an ? 1 ? an 若 lim 存在, 则 lim ? lim 。 n ?? b n ?? b n ?? b n ? 1 ? bn n n ? 1 ? bn
解 设an ? 1 p ? 2 p ? ? ? n p , bn ? n p ?1 , 则 bn ? bn?1 , lim bn ? ??
n??

由Stolz定理, an ? 1 ? an ( n ? 1) p 1 原式 ? lim ? lim ? n?? b ? bn n?? ( n ? 1) p?1 ? n p?1 p?1 n?1

例8 设数列{ xn }, 若x2 k ? a( k ? ? ), x2 k ?1 ? a( k ? ? ) 证明 : xn ? a ( n ? ? )。 证 ?? ? 0,? lim x2 k ? a, ??K1 ? 0,当k ? K1时 x2 k ? a ? ?
k ??

? lim x2 k ?1 ? a, ??K 2 ? 0,当k ? K 2时 x2 k ?1 ? a ? ?
k ??

取N ? 2( K1 ? K 2 ) ? 1, 则当n ? N时 1)若n ? 2k , 则n ? 2k ? 2 K 1 , k ? K 1 , 有
xn ? a ? x2 k ? a ? ? 2)若n ? 2k ? 1, 则n ? 2k ? 1 ? 2 K 2 ? 1, k ? K 2 ,
有 xn ? a ? x 2 k ? 1 ? a ? ?

??? ? 0, ?N ? 0,当n ? N时恒有 xn ? a ? ?。 即原命题成立。



练习

1 用极限定义证明: n2 ? 5 1 x2 ? 1 2 (1)lim 2 ? ; (2)lim 2 ? n?? 3n ? 6n x ?1 2 x ? x ? 1 3 3 2 计算下列极限:

(1) lim( n ? 2 ? n ? 1) n
n ??

(5) lim

x x? x? x
x 1 ? 2x ? 1

x ??

x ? (a ? 1) x ? a (2) lim ( a ? 0) 3 3 x ?a x ?a 1 3 (3) lim( ? 3 ) x ??1 x ? 1 x ?1
2

(6)lim

x ?0 4

(4) lim(2 x ? x ? 1)
3 x ??

(7)lim 3
x ?0

1? x ?1 1? x ?1

n k 1 ; (2) lim ? 1 求 (1) lim ? n ?? k ?1 ( k ? 1)! n?? k ?1 1 ? 2 ? ? ? k an ? an ?1 2 设a1 ? 1, a2 ? 4, an?1 ? ( n ? 2, 3,?), 2
n

四 思考题

求 (1)bn ? an ? an?1的表达式; (2) ? bk的表达式; (3) lim an k ?2 n ?? 2an an?1 3 设a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? ( n ? 1, 2,?), an ? an ? 1
1 1 求 (1)bn ? ? 的表达式; an an ?1 (2) ? bk的表达式;
k ?2 n

n

(3) lim an 。
n ??

4 求常数a , b x 2 ? ax ? b (1)已知 lim 2 ? 2; x?2 x ? x ? 2 x3 ? 1 (2)已知 lim( 2 ? ax ? b) ? 0。 x ?? x ? 1


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