湖北省黄石市有色第一中学2015-2016学年高二11月月考(期中)数学(理)试题

2015-2016 学年度上学期 11 月月考数学试卷 (高二理科)
注意事项: 1. 本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束,只交答题卷。 2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写在试题卷和答题卷上的密封 线内指定的条形框内。 3. 选择题每小题选出答案后,将答案标号填涂在答题卷上对应题目的位置上。答在试题 卷上无效。 4. 非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔答在答题卷上每题对应的答题区域内, 答在试题卷 上无效。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m 2.若直线 A.2 A. ? ??, 4? B.若 l //? , m//? ,则 l //m D.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ?

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 (1,1) ,则 a ? b 的最小值等于 a b
B.3 B. ? ??,8? C.4 C. ? 4, ?? ? D.5 D. ?8, ?? ?

3.已知等差数列 {an } 中 a2 ? 2 ,则其前 3 项的积 T3 的取值范围是

4.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2n ? 3(a1 ? a3 ? ... ? a2n?1 ) , a1a2 a3 ? 8 ,则 a10 等于 A.-512 5.已知椭圆 C1 : B.1024 C.-1024 D.512

x2 y2 x2 y2 ? ? 1, C2 : ? ? 1, 则 12 4 16 8
B. C1 与 C 2 长轴长相同. D. C1 与 C 2 焦距相等.

A. C1 与 C 2 顶点相同. C. C1 与 C 2 短轴长相同.

6.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的 尺寸,可得这个几何体的体积是 A.
2

?
2 (侧视图)

3 ? 3

B. ?

1 3

C.

2 ? 3

D. 3?

(正视图)

2 2 7.圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的

2

距离的最大值是
(俯视图)

A. 2 ?

2 2

B. 1 ? 2

C .2

D. 1 ? 2 2

8.若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值 A.大于 5 B.等于 5 C.至多等于 4 D.至多等于 3

9.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2;则此棱锥的体积为 A.

3 6

B.

2 6

C.

2 3

D.

2 2

10 .已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 , F1 是左焦点, O 是坐标原点,若双曲线上存在点 P ,使 a 2 b2
B. (1, ??) C. ? 2, ??? D. ?1, 2?

| PO |? | PF 1 |,则此双曲线的离心率的取值范围是
A.(2,+∞) 11.在数列 {an } 中,若存在非零整数 T ,使得 am?T ? am 对于任意的正整数 m 均成立,那么 称 数 列 {an } 为 周 期 数 列 , 其 中 T 叫 做 数 列 {an } 的 周 期 . 若 数 列 {xn } 满 足

,如 时,该数列的前 2010 项的和是 A.669 B.670

,当数列

的周期最小

C.1339

D.1340

12 . 已 知 圆

,圆

,直线

分别过圆心

,且

与圆

相交于



与圆

相交于



是椭圆

上的任意一动点,则

的最小值为

A.

B.2

C .3

D.6

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。每小题只要求写出最后结果。
D1 A1 B1 N D A C B C1

13.双曲线

的离心率是



M

14 . 如 图 , 在 正 方 体

中,



分别是



的中点,则异面直线



所成的角的大小是____________.

15.已知点

是抛物线

上任意一点,且点

在直线

的上方,则实数

的取值范围为



16. 如图, 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1, 线段 B1D1 上有两个动点 E, F, 且 现有如下四个结论: ①AC⊥BE; ②EF//平面 ABCD;



③三棱锥 A—BEF 的体积为定值; ④异面直线 AE、BF 所成的角为定值。 其中正确结论的序号是 17. (本小题满分 10 分) 。 三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。要求写出文字说明、证明过程或演算步骤。

已知在锐角

中,角







对边分别为 (I)求∠B;





,且



(II)求函数

的最小值及单调递减区间.

18. (本小题满分 12 分)

已知等差数列

前三项的和为

,前三项的积为



(Ⅰ)求等差数列

的通项公式;

(Ⅱ)若





成等比数列,求数列

的前

项和.
P

A

D E C

19. (本小题满分 12 分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥

B















(Ⅰ)求证:

平面



(Ⅱ)求二面角

的大小.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

的中心在坐标原点, 左顶点



离心率



为右焦点,过焦点

的直线交椭圆





两点(不同于点

) .

(Ⅰ)求椭圆

的方程;

(Ⅱ)当

时,求直线 PQ 的方程;

21 . (本小题满分 12 分) . 如图,在直棱柱

C1 中,底面是等腰直角三角形, A1 D E C B1

,侧棱


A

分别是 G
B



的中点,点

在平面

上的射影是

的重心



⑴求

与平面

所成角的正弦值;

⑵求点

到平面

的距离.

⑶若

为侧棱

上的一个动点 (含端点) , 平面

与平面

所成锐角为

,求

的最小值.

22. (本小题满分 12 分)如图,已知直线 L:x=my+1 过椭圆 C:

(a>b>0)

的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直线 G:x=a2 上的射影依次为点 D,K,E.

⑴已知抛物线 ①求椭圆 C 的方程;

的焦点为椭圆 C 的上顶点.

②若直线 L 交 y 轴于点 M,且 当 m 变化时,求 λ1+λ2 的值;





⑵连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交于定点 N,请求出 N 点的坐标并给予证明;否则说明理由.

2015-2016 学年度上学期 11 月月考数学试卷 (高二理科)参考答案
一、选择题 DCBD DAAC BCDD 二、填空题

13. ③ 三.解答题

14.

15.

16.①②

17.解:(1)由题意得

, ………2 分;从而

,………4 分



,所以

………………………………………5分

(2)由(1)得

………………………7分

因为 取得最小值为 1

,所以

,所以当

时,



















………………………10分

18 . 解 : (Ⅰ) 设 等 差 数 列

的 公 差 为

, 则

,

,

由题意得

解得



所以由等差数列通项公式可得

,或

.



,或

.

(Ⅱ) 当

时,

,

,

分别为

,

,

,不成等比数列;



时 ,

,

,

分 别 为

,

,

,成等比数列,满足条件.



记数列

的前

项和为

.



时,

;当

时,

;



时,

. 当

时,满足此式.

P

综上,
B

A E

D

C

19.解:

(Ⅰ)

平面



平面





……………………………………………………………………2 分









,即











………………………………………6 分

(Ⅱ)连接



平面







为二面角 8分

的平面角.

……………………………………



中,

.

…………………………………10 分



.

















…………………………………………12 分

20 解:

5分



,则有













解得



∴直线 PQ 方程为 分

, 即





----------12

21.解: (1)以



轴,



轴,



轴建立坐标系,坐标原点为 O,设













).



,解得

.平面

的一个法向量为

与 平 面 4分

所 成 角 的 正 弦 值 为

(2)平面

的一个法向量为



点 8分













(3)设

,则

平面

的一个法向量

,平面

的一个法向量

,则



时,

,当

时,

时 12分













22. 解: (1)易知

,∴b =3,又 F(1,0) ,∴c=1,a =b +c =4

2

2

2

2

∴椭圆 C 的方程为

(3 分)

∵l 与 y 轴交于 M

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由

∴(3m +4)y +6my﹣9=0,△ =144(m +1)>0∴

2

2

2

又由

,∴



同理



(6 分)

(3)∵F(1,0) ,k=(a ,0) , 先探索,当 m=0 时,直线 L⊥ox 轴,则 ABED 由对称性知,AE 与 BD 相交 FK 中点 N,

2



猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点
2 2

(9 分)

证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,E(a ,y2) ,D(a ,y1) 当 m 变化时首先 AE 过定点 N


2 2 2

,即(a +b m )y +2mb y+b (1﹣a )=0
2 2

2

2

2

2

2

2

2

又△ =4a b (a +m b ﹣1)>0(a>1)

又 KAN=



而 KAN﹣KEN=

= ∴KAN=KEN,∴A、N、E 三点共线, 同理可得 B、N、D 三点共线

∴AE 与 BD 相交于定点

(12 分)


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