2011年宁德市普通高中毕业班质量检查文科数学试题

2011 年宁德市普通高中毕业班质量检查

数学(文科)试卷
参考公式: 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , L , xn 的标准差
s=
1? 2 2 2 x ? x ) + ( x2 ? x ) + L + ( xn ? x ) ? ?( 1 ? n

锥体体积公式
1 V = Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V = Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S = 4πR 2 , V =

4 3 πR 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: 1. 复数 z = i(1 + i) 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知集合 A = {2,3} , B = {0,1, 2} ,若 x ∈ A 且 x ? B ,则 x 的值为 A.0
0

B.1

C.2

D. 3 [来

3. “ α = 60 ”是“ tan α = 3 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
a4 ? a3 的值等于 a2 ? a1

4. 若各项均不为零的数列 {an } 满足 an +1 = 2an (n ∈ N * ) ,则 A.4
π
6

B.8
π

C.16
π

D.64
2π 3

5. 已知 a , b 均为单位向量,若 a ? b = 1 ,则 a , b 的夹角等于
2 3 2 6. 函数 f ( x ) = ln x ? 的零点一定位于区间 x A. (1, 2) B. (2,3) C. (3, 4) 2

A.

B.

C.

D.

D. (4,5)

π 7.已知函数 y = A sin(ω x + ? ) ( A > 0 ,ω > 0 , ? |< ) 的图象如图 |

所示,则其表达式为
π A. y = 3sin(4 x ? )
3

π B. y = 3sin(4 x + )
3 3

π C. y = 3sin(2 x ? )
3

π D. y = 3sin(2 x + )

8.已知向量 a = ( x,1) , b = ( x, tx + 2) . 若函数 f ( x) = a ? b 在区间

1

[?1,1] 上不是单调函数,则实数 t 的取值范围是 ..

A. (?∞, ?2] U [2, +∞) B. (?∞, ?2) U (2, +∞) C. (?2, 2)

D. [?2, 2]

9.已知 α , β 是两个不同平面, m, n 是两条不同直线. 若 m ? β , n ? β ,则下列命题为真命题 的是 A.若 m ⊥ α , m ⊥ n ,则 n // α C.若 m ? α , n // α , 则 m // n B.若 m // α , n // α , 则 α // β D.若 α ⊥ β , n ⊥ α ,则 m ⊥ α

10.若不等式 x 2 ? 2ax ? b 2 + 4 ≤ 0 恰有一个解,则 ab 的最大值为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

x2 y2 11. 已知点 F ,A 分别为双曲线 C : 2 ? 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左焦点、 右顶点, B(0, b) 满 点 a b

足 FB ⊥ AB ,则双曲线的离心率为
1+ 5 ?1 + 5 B. 3 + 1 C. 2 2 12.已知函数 f ( x) = 4 x x ? 1 . 给出如下结论:

A.

D.

3 ?1

① f ( x ) 是 R 上的单调递增函数; ②对于任意 x ∈ R , f ( x) + f (? x) = ?2 恒成立; ③函数 y = f ( x ) ? 2 x + 1 恰有三个零点 x1 , x2 , x3 ,且 x1 + x2 + x3 = 0 . 其中正确结论的个数为 A.0 B.1

C.2

D.3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.某几何体的三视图如右图所示,其中正视图,侧视图 均为矩形,俯视图为等腰直角三角形,则该几何体的 2 侧面积为 . 1 正视图 14.某校在科技节活动中开展科普知识竞赛,每个代表队 由 7 个人组成,竞赛采用百分制,成绩均为整数.已 知某代表队各选手成绩组成的数据中,众数为 85 ,中 位数为 86 ,最小数为 82 ,最大数为 89 ,则该代表队 的平均分为 . 1 俯视图 1 正视图 2

15.已知圆 C 的圆心与点 M (1, 2) 关于直线 y = x 对称,并且 圆 C 与直线 x ? y + 1 = 0 相切,则圆 C 的方程为______. 16.对于函数 f ( x) ,若存在区间 M = [a, b] ,使得 { y y = f ( x), x ∈ M } = M ,则称区间 M 为 函数 f ( x) 的一个“稳定区间”.给出下列 3 个函数:
2

① f ( x) = x 3 ;

② f ( x) = e x ;

① f ( x) = cos

π
2

x.

其中存在“稳定区间”的函数有 ____(填上所有正确的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn = 2n + c . (Ⅰ)求 c 的值并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn = Sn + 2n + 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = 2 sin(2 x ? ) + 2 cos 2 x ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及其取得最大值时 x 的集合; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a = 求 ?ABC 的面积. 19. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 所在的平面与平面 AEB 垂直,且 AE ⊥ AB , AE = AB = 4 , AD = 2 ,
F ,G,H 分别为 BE,AE,BC 的中点.
3 π 5π , A = ,b = f ( ) , 4 3 12

π 4

(Ⅰ) 求三棱锥 A ? FGH 的体积; (Ⅱ)求证:直线 DE 与平面 FGH 平行.

D

C H

A G E 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E : F

B

x2 y2 1 + 2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F ,离心率为 ,直线 l : 2 x + y ? 2a = 0 与 2 2 a b

x, y 轴分别交于点 A, B, O 为坐标原点.

(Ⅰ)若椭圆 E 的短半轴长为 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 截椭圆 E 所得弦的中点为 M ,证明: ?AFM 与 ?AOB 的面积比为定值.

3

21. (本小题满分 12 分) 某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、 季军的代表队人数情况如右表.大会组委 会为使颁奖仪式有序进行,气氛活跃,在 颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样 的方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就坐,其中亚军队有 5 人. (Ⅰ)求季军队的男运动员人数; (Ⅱ)从前排就坐的亚军队 5 人(3 男 2 女)中随机抽取 2 人上台领奖,请列出所有的 基本事件,并求亚军队中有女生上台领奖的概率; (Ⅲ)抽奖活动中,运动员通过操作按键,使电脑自动产生 [0, 4] 内的两个随机数 x , y , 随后电脑自动运行如下所示的程序框图相应程序. 若电脑显示“中奖”,则该运动员获 相应奖品,若电脑显示“谢谢”,则不中奖.求该运动员获得奖品的概率.

开始 输入 x, y

4x ? y ? 8 ≤ 0
是 输出 “中奖”



输出 “谢谢”

结束

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + cx + d (b ≠ 0) 在

x = 0 处取到极值 2.
(Ⅰ)求 c, d 的值; (Ⅱ)试研究曲线 y = f ( x ) 的所有切线与直线 x ? by + 1 = 0 垂直的条数; (Ⅲ)若对任意 x ∈ [1, 2] ,均存在 t ∈ (0,1] ,使得 et ? ln t ? 1 ≤ f ( x ) ,试求 b 的取值范围.

4

2011 年宁德市高三质量检查

数学( 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细 则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半; 如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 选择题:本题考查基础知识和基本运算, 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. 1. B 2. D 3.A 4. C 5. B 6. B 7.D 8.C 9. C 10.B 11. A 12. D 填空题:本题考查基础知识和基本运算, 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分. 13. 4 + 2 2 14. 86 15. ( x ? 2)2 + ( y ? 1) 2 = 2 16. ①①

小题, 解答须写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 解答题: 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤. 17. 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识;考查运算求解能力,考查化 主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基 等基础 运算求解能力, 归与转化思想. 归与转化思想.满分 12 分. …………………1分 解法一: (Ⅰ)当 n = 1 时, a1 = S1 = 2 + c , 当 n ≥ 2 时, an = S n ? Sn ?1 = 2n ? 2n ?1 = 2n ?1 , ∴ an = ?
? 2 + c, n = 1 ?2
n ?1

…………………3 分

,n ≥ 2

…………………4 分

∵数列 {an } 为等比数列, ∴ a1 = 2 + c = 1 ∴ c = ?1 . ∴数列 {an } 的通项公式 an = 2n ?1 . (Ⅱ)∵ bn = Sn + 2n + 1 = 2n + 2n , ∴ Tn = (2 + 22 + L + 2n ) + 2(1 + 2 + L + n)
= 2(2n ? 1) + n(n + 1) = 2 n +1 ? 2 + n 2 + n .

…………………5 分 …………………6 分

…………………7 分

…………………9 分

……………12 分

解法二: (Ⅰ) a1 = S1 = 2 + c, a2 = S2 ? S1 = 2, a3 = S3 ? S2 = 4 ,……………3 分 ∵数列 {an } 为等比数列, ∴ a2 2 = a1a3 即 4 = 4(2 + c) , 解得 c = ?1 . 又 a1 = 1, a2 = 2 ,所以公比为 2,

…………………5 分

5

∴数列 {an } 的通项公式 an = 2n ?1 .

…………………6 分

(Ⅱ)同解法一. 18. 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、三角函数的图象和性质、正余弦定理等基础 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、三角函数的图象和性质、 知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想. 知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ) f ( x) = 2(
= sin 2x ,

2 2 sin 2 x ? cos 2 x) + cos 2 x , 2 2 = sin 2 x ? cos 2 x + cos 2 x

…………………4 分
π 4

∴ f ( x) max = 1 , x ∈ {x x = k π + , k ∈ Z} . (Ⅱ) b = f ( 由正弦定理 ∴c =
1 . 4 1 2 3 . 32 5π 5π 1 ) = sin = , 12 6 2

…………………6 分

…………………7 分

a b π = ,得 sin B = 1 , B = , 2 sin A sin B

…………………10 分

∴ S?ABC = ac =

…………………12 分

解法二: (Ⅰ)同解法一; (Ⅱ) b = f (
5π 5π 1 ) = sin = , 12 6 2

…………………7 分
3 1 1 = c2 + ? c , 16 4 2

由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ,得 ∴c =
1 . 4 1 2 3 . 32

…………………10 分

∴ S?ABC = bc sin A =

…………………12 分

19. 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间 主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识, 想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想. 想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解(Ⅰ)由已知 HB = 1 ,…………………1 分
S?AGF = 1 AG ? GF = 2 , 2

D M A G E

C H B F

…………………3 分

1 2 V= VA? FGH = VH ? FGA = BH ? S ?AGF = .………6 分 3 3

(Ⅱ) 证明: AD 的中点 M , 取 连结 MH ,MG . ∵ G, H 分别是 AE , BC 的中点, ∴ MH // AB, GF // AB , ∴ MH // GF ∴ MG ? 平面 FGH , 又 MG // DE , 且 DE ? 平面 FGH , MG ? 平面 FGH , ∴ DE // 平面 FGH .
6

………………………9 分

……………………12 分

20. 本题主要考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识;考查运算求解能力,数形结合 本题主要考查椭圆 直线与椭圆的位置关系等基础知识;考查运算求解能力, 椭圆、 思想、化归与转化思想.满分 思想、化归与转化思想 满分 12 分.
?c ? = 解: (I)根据题意得: ? a ?b = ? 1 , 2 3.

………………1 分

又 a 2 = b2 + c2 , 解得 a = 2 . ∴直线 l 的方程为 2 x + y ? 4 = 0 . (Ⅱ)由
c 1 = 得 a = 2c, b = 3c , a 2

………………3 分 ………………4 分

∴椭圆 E 的方程为:

x2 y2 + 2 =1, 4c 2 3c

直线 l 的方程为: 2 x + y ? 4c = 0 .
? x2 y2 ? 2 + 2 =1 联立 ? 4c 3c 得 19 x 2 ? 64cx + 52c 2 = 0 , ? 2 x + y ? 4c = 0 ?

………………5 分

………………7 分

解得 x1 = 2c, x2 = ∴ xM =

26 c, 19

………………9 分

32 12 c , yM = c . 19 19

………………10 分

1 12 c? c S ?AFM 3 ∴ = 2 19 = , 1 S ?AOB ? 2c ? 4c 38 2

∴ ?AFM 与 ?AOB 的面积比为定值

3 . 38

……………………12 分

21.本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力, 21.本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力,考查或然与 本题主要考查概率 据处理能力 必然思想、化归与转化思想. 必然思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设季军队的男运动员人数为 n . 由题意得
5 16 = , 50 30 + 30 + 30 + 20 + n + 30

………………2 分

解得 n = 20 . …………………3 分 (Ⅱ)记 3 个男运动员分别为 A1 , A2 , A3 ,2 个女运动员分别为 B1 , B2 , 所有基本事件如下: ( A1, A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , A3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) 共 10 种, ……………5 分 设“亚军队中有女生上台领奖”为事件 M , 其中事件 M 的基本事件有 7 种, ∴

7

P( M ) =

7 . 10

……………7 分

(Ⅲ)由已知 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 , 点 ( x, y ) 在如图所示的正方形 OABC 内,
? 4 x ? y ? 8 ≤ 0, ? 由条件 ?0 ≤ x ≤ 4, 得到的区域为图中的阴影部分. ?0 ≤ y ≤ 4 ?

由 4x ? y ? 8 = 0 , 令 y = 0 得 x = 2 ,令 y = 4 得 x = 3 . ∴在 x, y ∈ [0, 4] 时满足 4 x ? y ? 8 ≤ 0 的区域的面积 S1 = × (2 + 3) × 4 = 10 …10 分 设“该运动员获得奖品”为事件 N , ∴该运动员获得奖品的概率 P( N ) =
10 5 = . 16 8 1 2

………………12 分

22. 本题主要考查函数与导数的基本性质,考查运算求解能力,考查数形结合思想、分类与 本题主要考查函数与导数的基本性质,考查运算求解能力,考查数形结合思想 基本性质 数形结合思想、 整合思想和化归与转化思想. 整合思想和化归与转化思想.满分 14 分. 解法一: (Ⅰ) f ′( x ) = 3 x 2 + 2bx + c , 根据题意得 ?
? f (0) = 2, 解得 c = 0, d = 2 . ? f ′(0) = 0,

……………1 分

……………2 分

经检验 f ( x ) = x 3 + bx 2 + 2 (b ≠ 0) 在 x = 0 处取到极值 2. ∴ c = 0, d = 2 . ……………3 分

(Ⅱ) f ′( x ) = 3 x 2 + 2bx = ?b 即 3 x 2 + 2bx + b = 0 , ? = 4b 2 ? 12b ,… 5 分 当 ? > 0 ,即 b > 3 或 b < 0 时,满足条件的切线有 2 条, 当 ? = 0 ,即 b = 3 时,满足条件的切线有 1 条, 当 ? < 0 ,即 0 < b < 3 时,满足条件的切线不存在. (Ⅲ)根据题意可知 g (t ) min ≤ f ( x) min , 令 g ′(t ) = e ? =
1 e 1 t et ? 1 1 = 0 ,得 t = , t e 1 e

……………8 分 ……………9 分

当 0 < t < 时, g ′(t ) < 0 ;当 t > 时, g ′(t ) > 0 , 所以函数 g (t ) = et ? ln t ? 1 的递减区间为 (0, ) ,递增区间为 ( , +∞) , 故函数 g (t ) = et ? ln t ? 1 在 t = 处取得最小值 g ( ) = 1 + 1 ? 1 = 1 .………11 分 由(Ⅰ)得 f ( x ) = x 3 + bx 2 + 2 , f ′( x) = 3 x 2 + 2bx = 0 , 解得 x = 0 或 x = ? b .
2 3
1 e 1 e 1 e 1 e

8

当 ? b ≤1 且 b ≠ 0 , 即 b ≥ ?

2 3

3 时 , 函 数 f ( x) = x 3 + bx 2 + 2 在 [1, 2] 单 调 递 增 , 所 以 2

3 f ( x) min = f (1) = 3 + b ≥ 1 ,得 b ≥ ?2 ;所以 b ≥ ? 且 b ≠ 0 , 2

当 1 < ? b < 2 即 ?3 < b < ? 时,函数 f ( x) = x 3 + bx 2 + 2 在 (1, ? b) 单调递减,在 (? b, 2) 单调 递增,所以 f ( x)min = f (? b) =
2 3
2 3

2 3

3 2

2 3

2 3

3 3 3 4 3 b + 2 ≥ 1 ,得 b ≥ ? ,所以 ? 3 ≤ b < ? 3 27 2 4 4

当 ? b ≥ 2 即 b ≤ ?3 时 , 函 数 f ( x) = x 3 + bx 2 + 2 在 [1, 2] 单 调 递 减 , 所 以
9 f ( x) min = f (2) = 10 + 4b ≥ 1 ,得 b ≥ ? ,故此时不满足题意. 4

综上, b ≥ ?

33 2 且b ≠ 0 . 2

……………14 分

解法二: (Ⅰ) (Ⅱ)同解法一; (Ⅲ)根据题意可知 g (t ) min ≤ f ( x) min , 令 g ′(t ) = e ? =
1 e 1 t et ? 1 1 = 0 ,得 t = , t e 1 e

……………9 分

当 0 < t < 时, g ′(t ) < 0 ;当 t > 时, g ′(t ) > 0 , 所以函数 g (t ) = et ? ln t ? 1 的递减区间为 (0, ) ,递增区间为 ( , +∞) , 故函数 g (t ) = et ? ln t ? 1 在 t = 处取得最小值 g ( ) = 1 + 1 ? 1 = 1 .………11 分
1 e 1 e 1 e 1 e

f ( x ) = x 3 + bx 2 + 2 ≥ 1 在 [1, 2] 恒成立,
即 b ≥ ?x ?

1 在 [1, 2] 恒成立. x2 1 设 ? ( x ) = ? x ? 2 , x ∈ [1, 2] , x
由 ? ′( x ) =

2 ? x3 2 ? x3 > 0 得 1 ≤ x < 3 2 ,由 ? ′( x ) = <0得3 2 < x≤2. x3 x3

∴函数 ? ( x) 在 [1, 3 2) 单调递增,在 ( 3 2, 2] 单调递减, ∴函数 ? ( x) max = ? ( 3 2) = ? ∴b ≥ ?
33 2 且b ≠ 0 . 2 33 2 , 2

……………14 分

9


相关文档

2011年宁德市普通高中毕业班质量检查文科数学
2011年宁德市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试卷
2011年宁德市普通高中毕业班质量检查文科数学答案
2011年宁德市普通高中毕业班质量检查文科综合能力测试
2013年宁德市普通高中毕业班质量检查文科数学
2010年宁德市普通高中毕业班质量检查(文科)
2013年福建省宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学(文科)试题
2015年5月宁德市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题参考答案及评分标准
2011年福建省宁德市普通高中毕业班质量检查文科综合能力测试(2011,05)
2014年1月宁德市普通高中毕业班单科质量检查文科数学试卷
电脑版