上海市复旦大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明 含答案(精品)


复旦大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

1.由

7 5 9 8 13 9 b?m b ? , ? , ? , ?若 a>b>0,m>0,则 与 之间大小关系为( 10 8 11 10 25 21 a?m a
B.前者大 C.后者大 D.不确定
时, ⊙ =

)

A.相等 【答案】B

2.在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“⊙”如下:当 时, ( A. 【答案】C 3.用反证法证明: “方程 ax
2

;当



=

,则函数

=

1⊙

2⊙ ),

的最大值等于

) B. C. D.12

? bx ? c ? 0, 且 a, b, c 都是奇数,则方程没有整数根” 正确的假
) C.自然数或负整数 D.正整数或负整数

设是方程存在实数根 x0 为( A.整数 【答案】C

B.奇数或偶数

4.有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? 平面

? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因
为( 【答案】A 5.反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 【答案】B 6.用反证法证明“如果 a ? b ,那么 A. a ? b C.
3
3

) B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 )

A.大前提错误

B.假设三内角都大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度

a ? 3 b ”时,反证假设的内容应是(
B. a ? b
3 3 3 3

)

a?
2

3

b或

3

a?

3

b
3

D.

a?

b且

a?

b

【答案】C

7 . 观 察 (x ) ′ = 2x , ( x ) ′ = 4x , (cosx) ′ = - sinx , 由 归 纳 推 理 可 得 : 若 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x ) 满 足 f( - x) = f(x ) , 记 g(x) 为 f(x) 的 导 函 数 , 则 g( - x) = ( )
A.f ( x ) 【答案】D 8.正方形 ABCD 的边长为 1 ,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, AE ? BF ? B. - f(x) C. g(x) D. - g(x)

4

1 。动点 P 从 3

E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点 P 第 一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】B 9.用反证法证明命题: “设 a, b, c 大于 0,则 a ? 时,假设的内容是( A.都不小于 2 C.都小于 2 【答案】C 10.下面使用类比推理正确的是( ) A. “若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B. “若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ” ) B.至少有一个不大于 2 D.至少有一个小于 2

1 1 1 、 b ? 、 c ? 中至少有一个不小于 2.” b c a

a?b a b ? ? (c≠0) ” c c c n n (ab) ? a nbn ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn ” D. “
C. “若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“ 【答案】C 11.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= 2S ;类 a+b+c 比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 R, 四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=( ) V 2V A. B. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 3V 4V C. D. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4

【答案】C 12.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形,根据“三 段论”推理出一个结论,则这个结论是( A.正方形的对角线相等 C.正方形是平行四边形 【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 a, b ? R 满足下列关系式: ) B.平行四边形的对角线相等 D.其它

f (a ? b) ? af (b) ? bf (a), f (2) ? 2 , an ?

f (2n ) f (2n ) (n ? N ? ) , bn ? (n ? N ? ) , n n 2

考察下列结论:① f (0) ? f (1) ; ② f ( x ) 为偶函数; ③数列 ④数列

?an ? 为等比数列;

?bn ? 为等差数列,其中正确的结论是:____________。

【答案】①③④

14.已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 1 ?

1 1 1 1 1 ,1 ? ? ? 1,1? ? ? 2 2 3 2 3

?

1 3 ? , 7 2
.

1?

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? 2, 15

,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式

【答案】 1 ?

1 1 1 n ? ??? n ? 2 3 2 ?1 2

15.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8,S4,S12,S8,S16,S12 成等差数列.类比以上 结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,_____________,____________, 等比数列.
【答案】

T16 成 T12

T8 T12 , . T4 T8

AE AC ? EB BC ,把这个结论类比到 16.平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比
空间:在三棱锥 A-BCD 中(如图所示),平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交于 E,则 得到的类比的结论是____________.

AE S△ACD 【答案】 = EB S△BCD 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

BC ;若类比该命题, 17.如图(1) ,在三角形 ABC 中, AB ? AC ,若 AD ? BC ,则 AB 2 ?BD· A ? BCD ABC BCD 如图 (2 ) , 三棱锥 中,AD ? 面 , 若 A 点在三角形 所在平面内的射影为 M ,
则有什么结论?命题是否是真命题.

【答案】命题是:三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 面 ABC ,若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射
2 · S△BCD 是一个真命题. 影为 M ,则有 S△ ABC ? S△BCM

证明如下: 在图(2)中,连结 DM ,并延长交 BC 于 E ,连结 AE ,则有 DE ? BC . 因为 AD ? 面 ABC , ,所以 AD ? AE .
2 · ED . 又 AM ? DE ,所以 AE ? EM

?1 ? ?1 ? ?1 ? 2 BC · AE ? ? ? BC · EM ? · ? BC · ED ? ? S△BCM· S△BCD . 于是 S△ ABC ? ? 2 2 2 ? ? ? ?? ?
18.已知△ABC 的三边长为 a、b、c,若 , , 成等差数列.求证:B 不可能是钝角.

2

1 a

1 1 b c

【答案】 (用反证法证明 1)∵ ac-b ≥0.
2

2 1 1 1 1 1 1 2 , , 成等差数列, ∴ ? ? ?2 , ∴b ≤ac 即 a b c b a c ac

a 2 ? c2 ? b2 假设 B 是钝角,则 cosB<0,由余弦定理可得, cos B ? 2ac ? 2ac ? b2 ac ? b2 ? ?0. 2ac 2ac

这与 cosB<0 矛盾,故假设不成立.∴B 不可能是钝角.

1 1 1 2 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? , a b c b a c ? 假设 B 是钝角,则 B ? ,则 B 是△ABC 的最大内角,所以 b>a,b>c, 2 1 1 1 1 2 2 1 1 (在三角形中,大角对大边),从而 ? ? ? ? ,这与 ? ? 矛盾, a c b b b b a c
(用反证法证明 2)∵ 故假设不成立,因此 B 不可能是钝角. (用综合法证明) ∵

2 1 1 1 1 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? ? 2 , a b c b a c ac

证明:∵

1 1 1 2 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? ,即 2ac=b(a+c), a b c b a c

a 2 ? c2 ? b2 2ac ? b 2 ? 由余弦定理和基本不等式可得, cos B ? 2ac 2ac ? 1?
∴1 ?

b2 b2 b ,∵a,b,c 为△ABC 三边,∴a+c>b, ? 1? ? 1? 2ac b(a + c) a +c
b ? 0 ,∴cosB>0,∴∠B<900,因此 B 不可能是钝角. a +c

19.祖暅原理也就是“等积原理” ,它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提 出来的. 祖暅原理的内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面 的平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句 “两个胖子一般高,平行地面刀刀切,刀刀切出等面积,两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式,关键是要构造一个参照体. 试用祖暅原理推导球的体积公式.

【答案】 我们先推导半球的体积. 为了计算半径为 R 的半球的体积, 我们先观察 V圆锥 、 V半球 、 V圆柱 这三个量(等底等高)之间的不等关系,

1 可以发现 V圆锥 < V半球 < V圆柱 ,即 ? R3 ? V半球 ? ? R3 ,根据这一不等关系,我们可以猜测 3 2 3 V半球 ? ? R ,并且由猜测可发现 V半球 ? V圆柱 ? V圆锥 . 3 下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体, 这样的参照体我们可以用圆柱内挖 去一个圆锥构造出,如右图所示. 下面利用祖暅原理证明猜想.

证明: 用平行于平面α 的任意一个平面去截这两个几何体, 截面分别为圆面和圆环面. 如果截平 面与平面α 的距离为 l ,那么圆面半径 r ? R 2 ? l 2 ,圆环面的大圆半径为 R,小圆半径为 r. 因此 S圆 ? ? r 2 ? ? ( R2 ? l 2 ) , S环 ? ? R2 ? ? l 2 ? ? ( R2 ? l 2 ) , ∴ S圆 ? S环 .

1 2 根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即 V半球 ? ? R2 R ? ? R2 R ? ? R3 , 3 3 4 3 所以 V球 ? ? R . 3 20.已知 a 是整数, a 2 是偶数,求证: a 也是偶数. 【答案】 (反证法)假设 a 不是偶数,即 a 是奇数.
设 a ? 2n ? 1(n ? Z) ,则 a 2 ? 4n2 ? 4n ? 1 .

∵ 4(n2 ? n) 是偶数,
∴ 4n 2 ? 4n ? 1 是奇数,这与已知 a 2 是偶数矛盾. 由上述矛盾可知, a 一定是偶数.
21.已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,求证: 【答案】因为 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 , 所以 a ? 0 , c ? 0 ,要证明原不等式成立,只需证明 b2 ? ac ? 3a r, 即证 b2 ? ac ? 3a 2 ,从而只需证明 (a ? c)2 ? ac ? 3a 2 , 即 (a ? c)(2a ? c) ? 0 , 因为 a ? c ? 0 , 2a ? c ? a ? c ? a ? a ? b ? 0 ,

b 2 ? ac ? 3. a

所以 (a ? c)(2a ? c) ? 0 成立,故原不等式成立. 22.求证:16< 1 k 4 1 <17. Σ i=1 k 2 k+ k < =2( k- k-1), k-1+ k 2

【答案】 同时 1

=

2 > =2( k+1- k). k k+1+ k 80 ( k+1- k)< 80 1 80 <1+2 ( k- k-1) Σ Σ k=1 k k=1

于是得 2

Σ k=1

即 16<

80 1 <1+2( 80-1)<1+2(9-1)=17. Σ k=1 k


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