河南省信阳高级中学2016届高三上学期第四次大考数学试题(理科)Word版含解析

2015-2016 学年河南省信阳高级中学高三(上)第四次大考数学试 卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.信阳高中 2016 届高三第四次大考理科数学 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

2.复数

(i 是虚数单位)的模等于( )

A. B.10 C. D.5

3.下列命题中的假命题是( ) A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=0 C.?x∈R,2x>0 D.?x∈R,x2>0

4.已知 =(a,﹣2), =(1,1﹣a),且 ∥ ,则 a=( ) A.﹣1 B.2 或﹣1 C.2 D.﹣2

5.已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点(

2π),则 tanα 等于( )

A.﹣

B. C.﹣

D.

),且 2α∈[0,

6.已知函数 A. B. C. D.

,则

=( )

7.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是边长为 1 的正方形,俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )

A.2 B.1 C. D. 8.程序框图表示求式子 23×53×113×233×473×953 的值,则判断框内可以填的条件为( )

A.i≤90? B.i≤100? C.i≤200? D.i≤300?

9.下列命题中正确的是( ) A.函数 y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数

B.函数

在区间

上是单调递增的

C.函数 D.函数 y=sinπx?cosπx 是最小正周期为 2 的奇函数

的最小值是﹣1

10.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y= (x>0)图象 下方的区域(阴影部分),从 D 内随机取一个点 M,则点 M 取自 E 内的概率为( )

A. B.

C.

D.

11.已知抛物线

与双曲线

有共同的焦点 F,O 为坐标原点,P 在

x 轴上方且在双曲线上,则

的最小值为( )

A.

B.

C. D.

12.已知函数

,则下列关于函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数的判断正

确的是( ) A.当 k>0 时,有 3 个零点;当 k<0 时,有 2 个零点 B.当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 1 个零点 C.无论 k 为何值,均有 2 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点

二、填空题(将答案填在答题卡的相应位置上,满分 12 分)

13.求

展开式的 x2 项的系数是



14.已知 x,y 满足条件

,则 z=x+3y 的最大值是



15.已知四面体 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO⊥平面 ABC,2AC= AB,若

四面体 P﹣ABC 的体积为 ,则该球的体积为



16.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且

﹣B)取最大值时,角 C 的值为



,当 tan(A

三、解答题(写出必要的解答和证明过程) 17.(12 分)(2015 秋?信阳校级月考)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,满足 Sn=n2an﹣n2(n﹣1),
a1= .

(1)令 bn= Sn,证明:bn﹣bn﹣1=n(n≥2);
(2)在问题(1)的条件下求{an}的通项公式.
18.(12 分)(2012?道里区校级三模)口袋里装有 7 个大小相同的小球,其中三个标有数字 1, 两个标有数字 2,一个标有数字 3,一个标有数字 4. (Ⅰ) 第一次从口袋里任意取一球,放回口袋里后第二次再任意取一球,记第一次与第二次 取到小球上的数字之和为 ξ.当 ξ 为何值时,其发生的概率最大?说明理由; (Ⅱ) 第一次从口袋里任意取一球,不再放回口袋里,第二次再任意取一球,记第一次与第 二次取到小球上的数字之和为 η.求 η 的分布列和数学期望.

19.(12 分)(2012?道里区校级三模)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC⊥平面 PDB;

(Ⅱ)当

,且直线 AE 与平面 PBD 成角为 45°时,确定点 E 的位置,即求出 的值.

20.(12 分)(2012?石景山区一模)已知椭圆 + =1(a>b>0)右顶点与右焦点的距离为

﹣1,短轴长为 2 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、B 两点,若三角形 OAB 的面积为
AB 的方程.

,求直线

21.(12 分)(2011?东莞市校级二模)已知函数

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)利用 1)的结论求解不等式 2|lnx|≤

?|x﹣1|.并利用不等式结论比较 ln2(1+x)

与 的大小. (3)若不等式

对任意 n∈N*都成立,求 a 的最大值.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答【选修 4-1:几何证明选讲】 22.(10 分)(2012?道里区校级三模)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,△ ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,PA 是过点 A 的直线,且∠PAC=∠ABC. (Ⅰ) 求证:PA 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求 sin∠BCE.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.(2013?乌鲁木齐一模)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 将圆 x2+y2=4 上各点的纵坐标压缩至原来的 ,所得曲线记作 C;将直线 3x﹣2y﹣8=0 绕原点 逆时针旋转 90°所得直线记作 l. (I)求直线 l 与曲线 C 的方程; (II)求 C 上的点到直线 l 的最大距离.
【选修 4-5:不等式选讲】 24.(2013?沈河区校级模拟)设关于 x 的不等式|x﹣1|≤a﹣x. (1)若 a=2,解上述不等式; (2)若上述的不等式有解,求实数 a 的取值范围.
2015-2016 学年河南省信阳高级中学高三(上)第四次大 考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.信阳高中 2016 届高三第四次大考理科数学 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由题意求出 A 的补集,然后求出(?UA)∪B. 解答: 解:因为全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4}, 则?UA={0,4},(?UA)∪B={0,2,4}. 故选 C. 点评: 本题考查集合的基本运算,考查计算能力.

2.复数

(i 是虚数单位)的模等于( )

A. 考点: 专题: 分析:

B.10 C. D.5 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 首先将复数化简为 a+bi 的形式,然后求模.

解答: 解:

=1+

=3+i,故模为



故选:A. 点评: 本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法;属于基础题.

3.下列命题中的假命题是( ) A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=0 C.?x∈R,2x>0 D.?x∈R,x2>0 考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 简易逻辑.
分析: 举例说明是 A、B 真命题, 根据指数函数的定义与性质,判断 C 是真命题; 举例说明 D 是假命题. 解答: 解:对于 A,x=1 时,lg1=0,∴A 是真命题; 对于 B,x=0 时,tan0=0,∴B 是真命题; 对于 C,?x∈R,2x>0,∴C 是真命题; 对于 D,当 x=0 时,x2=0,∴D 是假命题. 故选:D. 点评: 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题,也考查了命题真假的判断问题,是综
合性题目.

4.已知 =(a,﹣2), =(1,1﹣a),且 ∥ ,则 a=( )
A.﹣1 B.2 或﹣1 C.2 D.﹣2 考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示.

专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两向量平行的坐标表示,列出方程,求出 a 的值即可.
解答: 解:∵ =(a,﹣2), =(1,1﹣a),且 ∥ ,
∴a(1﹣a)﹣(﹣2)×1=0, 化简得 a2﹣a﹣2=0, 解得 a=2 或 a=﹣1; ∴a 的值是 2 或﹣1. 故选:B. 点评: 本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题,是基础题目.

5.已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点(

2π),则 tanα 等于( )

A.﹣

B. C.﹣

D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值.
分析: 根据题意求出 2α= ,可得 α= ,由此求得 tanα 的值.

),且 2α∈[0,

解答: 解:由角 2α 的终边经过点(

),且 2α∈[0,2π),可得 2α= ,

故 α= ,可得 tanα=tan = , 故选 B. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,求出 2α= 题.本题从角的角度求解,比较简练

,是解题的关键,属于基础

6.已知函数

,则

=( )

A. B. C. D.
考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先求出 的函数值,然后判断此函数值所在范围,继续求其函数值.

解答: 解:因为 >0,所以 f( )=

=﹣2,又﹣2<0,所以 f(﹣2)=2﹣2= ;

故选:B. 点评: 本题考查了分段函数的函数值求法;关键是明确自变量所属的范围,代入对应的解 析式计算即可.

7.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是边长为 1 的正方形,俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )
A.2 B.1 C. D. 考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱;结合图 中数据求出它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得 该几何体是如图所示的直三棱柱; 且该三棱柱的底面是边长为 1 的等腰直角三角形 1,高为 1; 所以,该三棱柱的体积为 V=Sh= ×1×1×1= . 故选:C.
点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间想象能力的应用问题, 是基础题目. 8.程序框图表示求式子 23×53×113×233×473×953 的值,则判断框内可以填的条件为( )

A.i≤90? B.i≤100? C.i≤200? D.i≤300? 考点: 循环结构.
专题: 图表型.
分析: 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数,然后根据运行的后输出的结果,从
而得出所求.
解答: 解:根据题意可知该循环体运行情况如下: 第 1 次:s=1×23,i=1×2+1=5 第 2 次:s=23×53,i=5×2+1=11 第 3 次:s=23×53×113,i=11×2+1=23 第 4 次:s=23×53×113×233,i=23×2+1=47 第 5 次:s=23×53×113×233×473,i=47×2+1=95 第 6 次:s=23×53×113×233×473×953,i=95×2+1=191 因为输出结果是 23×53×113×233×473×953 的值,结束循环,判断框应该是 i≤100?. 故选 B. 点评: 本题主要考查了循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,
以及周期性的运用,属于基础题.新课改地区高考常考题型.也可以利用循环的规律求解.

9.下列命题中正确的是( ) A.函数 y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数

B.函数

在区间

上是单调递增的

C.函数

的最小值是﹣1

D.函数 y=sinπx?cosπx 是最小正周期为 2 的奇函数 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: A:利用奇函数的定义域必须关于原点对称,可得 A 不正确.

B:由 x∈

得出

的取值范围,再利用正弦函数的单调性进行判断.

C:利用诱导公式化简函数的解析式为 y=2sin( ﹣x),再根据正弦函数的值域求出它的最

小值. D:利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为 sin2πx,从而得到函数的周期性和奇偶性.

解答: 解:对于 A:由于函数 y=sinx,x∈[0,2π]的定义域不关于原点对称,故它不奇函数, 故 A 不正确.

B:由 x∈

得出

∈(﹣ , ),正弦函数 f(x)=sinx 在(﹣ , )上

是增函数, 函数

在区间

上是单调递减的,故 B 错误.

C:由于函数

=



=

,它的最小值是﹣1,正确.

D:由函数 y=sinπx?cosπx= sin2πx,它是最小正周期为 1 的奇函数,故 D 不正确.
故选 C. 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的周期性与求法,正弦函 数的奇偶性,属于中档题.

10.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y= (x>0)图象 下方的区域(阴影部分),从 D 内随机取一个点 M,则点 M 取自 E 内的概率为( )

A. B.

C.

D.

考点: 定积分;几何概型. 专题: 计算题. 分析: 先由积分的知识求解阴影部分的面积,然后可求试验的区域所对应的矩形的面积, 由几何概率的求解公式代入可求 解答: 解:本题是几何概型问题,

区域 E 的面积为:S=2×

=1+

=1﹣ln =1+ln2

∴“该点在 E 中的概率”事件对应的区域面积为 1+ln2, 矩形的面积为 2

由集合概率的求解可得 P=
故选 C 点评: 本题综合考查了反比例函数的图象,几何概型,及定积分在求面积中的应用,考查 计算能力与转化思想.属于基础题.

11.已知抛物线

与双曲线

有共同的焦点 F,O 为坐标原点,P 在

x 轴上方且在双曲线上,则

的最小值为( )

A.

B.

C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 抛物线

,可得 x2=8y,焦点 F 为(0,2),则双曲线



c=2,可得双曲线方程,利用向量的数量积公式,结合配方法,即可求出

的最小值.

解答: 解:抛物线

,可得 x2=8y,焦点 F 为(0,2),则双曲线

的 c=2,

则 a2=3,即双曲线方程为



设 P(m,n)(n≥ ),则 n2﹣3m2=3,∴m2= n2﹣1,



=(m,n)?(m,n﹣2)=m2+n2﹣2n= n2﹣1+n2﹣2n= (n﹣ )2﹣ ,

因为 n≥ ,故当 n= 时取得最小值,最小值为 3﹣2 , 故选:A. 点评: 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质,考查向量的数量积公式,考查学生的计算 能力,属于中档题.

12.已知函数

,则下列关于函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数的判断正

确的是( ) A.当 k>0 时,有 3 个零点;当 k<0 时,有 2 个零点 B.当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 1 个零点 C.无论 k 为何值,均有 2 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 因为函数 f(x)为分段函数,函数 y=f(f(x))+1 为复合函数,故需要分类讨论, 确定函数 y=f(f(x))+1 的解析式,从而可得函数 y=f(f(x))+1 的零点个数; 解答: 解:分四种情况讨论.

(1)x>1 时,lnx>0,∴y=f(f(x))+1=ln(lnx)+1,此时的零点为 x= >1;
(2)0<x<1 时,lnx<0,∴y=f(f(x))+1=klnx+1,则 k>0 时,有一个零点,k<0 时,klnx+1 >0 没有零点; (3)若 x<0,kx+1≤0 时,y=f(f(x))+1=k2x+k+1,则 k>0 时,kx≤﹣1,k2x≤﹣k,可得 k2x+k≤0,y 有一个零点, 若 k<0 时,则 k2x+k≥0,y 没有零点,
(4)若 x<0,kx+1>0 时,y=f(f(x))+1=ln(kx+1)+1,则 k>0 时,即 y=0 可得 kx+1= ,
y 有一个零点,k<0 时 kx>0,y 没有零点, 综上可知,当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 1 个零点; 故选 B. 点评: 本题考查分段函数,考查复合函数的零点,解题的关键是分类讨论确定函数 y=f(f (x))+1 的解析式,考查学生的分析能力,是一道中档题;

二、填空题(将答案填在答题卡的相应位置上,满分 12 分)

13.求

展开式的 x2 项的系数是 1 .

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题.

分析: 先求出

展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 2,求得 r 的值,可

得展开式的 x2 项的系数的值.

解答: 解:由于

展开式的通项公式为

Tr+1=

? = ?34﹣r?



令 =2,可得 r=4,故展开式的 x2 项的系数是

=1,

故答案为 1. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系 数,属于中档题.

14.已知 x,y 满足条件

,则 z=x+3y 的最大值是 10 .

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用.

分析: 由 x,y 满足条件

,作出可行域,利用角点法能求出 z=x+3y 的最大值.

解答: 解:由 x,y 满足条件



作出可行域: ∵z=x+3y,A( ,0),∴zA= ;

解方程组

,得 B(1,3),∴zB=1+3×3=10;

∵C(0,2),∴zC=0+3×2=6; ∴O(0,0),∴zO=0. 故 z=x+3y 的最大值是 10. 故答案为:10.

点评: 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行 域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解.
15.已知四面体 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO⊥平面 ABC,2AC= AB,若 四面体 P﹣ABC 的体积为 ,则该球的体积为 4 π .
考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设该球的半径为 R,则 AB=2R,2AC= AB= ×2R,故 AC= R,由于 AB 是球 的直径,所以△ ABC 在大圆所在平面内且有 AC⊥BC,由此能求出球的体积. 解答: 解:设该球的半径为 R,

则 AB=2R,2AC= AB= ×2R, ∴AC= R, 由于 AB 是球的直径, 所以△ ABC 在大圆所在平面内且有 AC⊥BC, 在 Rt△ ABC 中,由勾股定理,得: BC2=AB2﹣AC2=R2, 所以 Rt△ ABC 面积 S= ×BC×AC= R2,
又 PO⊥平面 ABC,且 PO=R,四面体 P﹣ABC 的体积为 ,
∴VP﹣ABC= ×R× ×R2= ,
即 R3=9,R3=3 , 所以:球的体积 V 球= ×πR3= ×π×3 =4 π.
故答案为: 点评: 本题考查四面体的外接球的体积的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理 地化空间问题为平面问题.

16.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且

﹣B)取最大值时,角 C 的值为



,当 tan(A

考点: 两角和与差的正切函数;正弦定理的应用. 专题: 压轴题;三角函数的求值. 分析: 利用正弦定理及诱导公式化简已知的等式,整理后利用同角三角函数间的基本关系 弦化切后得到 tanA=3tanB,利用两角和与差的正切函数公式化简 tan(A﹣B),将 tanA=3tanB 代入,利用基本不等式变形,求出 tan(A﹣B)取得最大值时 tanA 与 tanB 的值,进而确定出 A 与 B 的度数,即可此时得到 C 的度数.
解答: 解:利用正弦定理化简已知的等式得:sinAcosB﹣sinBcosA= sinC= sin(A+B)=

(sinAcosB+cosAsinB), 整理得:sinAcosB=3cosAsinB, 两边除以 cosAcosB 得:tanA=3tanB,

则 tan(A﹣B)=

=

=



∵A、B 是三角形内角,且 tanA 与 tanB 同号, ∴A、B 都是锐角,即 tanA>0,tanB>0,
∴3tanB+ ≥2 ,当且仅当 3tanB= ,即 tanB=

时取等号,

∴tanA=3tanB= ,

∴A= ,B= ,

则 C= .

故答案为:
点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,正弦定理,同角三角函数间的基本关系, 诱导公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

三、解答题(写出必要的解答和证明过程) 17.(12 分)(2015 秋?信阳校级月考)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,满足 Sn=n2an﹣n2(n﹣1),
a1= .

(1)令 bn= Sn,证明:bn﹣bn﹣1=n(n≥2); (2)在问题(1)的条件下求{an}的通项公式.

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.
分析: (1)由 Sn=n2an﹣n2(n﹣1),且 a1= ,用迭代法能求出(n2﹣1)

Sn=

,再由 bn= Sn,能确定 bn 与 bn﹣1(n≥2)的关系;

(2)由(1)知 bn﹣b1=n+(n﹣1)+…+2=

﹣1,故

从而能求出{an}的通项公式. 解答: (1)证明:∵Sn=n2an﹣n2(n﹣1),且 a1= ,

∴当 n≥2 时,有 an=Sn﹣Sn﹣1,



﹣n2(n﹣1),

,由此求出 Sn,

即(n2﹣1)Sn=



∵bn= Sn,∴





化简得:bn﹣bn﹣1=n; (2)由(1)知

bn﹣b1=n+(n﹣1)+…+2=

b1=2S1=1,





﹣1,



=





=,

an=Sn﹣Sn﹣1=

=



当 n=1 时上式成立,





点评: 本题考查数列的递推公式的应用,注意迭代法和等价转化思想的灵活运用,是中档 题.

18.(12 分)(2012?道里区校级三模)口袋里装有 7 个大小相同的小球,其中三个标有数字 1, 两个标有数字 2,一个标有数字 3,一个标有数字 4. (Ⅰ) 第一次从口袋里任意取一球,放回口袋里后第二次再任意取一球,记第一次与第二次 取到小球上的数字之和为 ξ.当 ξ 为何值时,其发生的概率最大?说明理由; (Ⅱ) 第一次从口袋里任意取一球,不再放回口袋里,第二次再任意取一球,记第一次与第 二次取到小球上的数字之和为 η.求 η 的分布列和数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题设知 ξ 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,8,由题设条件分别求出 P(ξ=2), P(ξ=3),P(ξ=4),P(ξ=5),P(ξ=6),P(ξ=7),P(ξ=8),由此求出当 ξ 为 4 或 5 时,其发 生的概率最大. (Ⅱ)由题设知 η 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,分别求出 P(η=2),P(η=3),P(η=4), P(η=5),P(η=6),P(η=7),由此能求出 η 的分布列和 E(η). 解答: 解:(Ⅰ)由题设知 ξ 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,8,














所以当 ξ 为 4 或 5 时,其发生的概率最大.…(6 分) (Ⅱ)由题设知 η 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,…(7 分) P(η=2)= = ,

P(η=3)=

=,

P(η=4)=

=,

P(η=5)=

=,

P(η=6)= = ,
P(η=7)= , ∴η 的分布列为:

…(11 分) E(η)=2× +3× +4× +5× +6× +7× =4.…(12 分)
点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,解题时要认真审题,仔细解答,注 意排列组合和概率知识的合理运用.

19.(12 分)(2012?道里区校级三模)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC⊥平面 PDB;

(Ⅱ)当

,且直线 AE 与平面 PBD 成角为 45°时,确定点 E 的位置,即求出 的值.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)设 AC 交 BD 于 O,连接 OE,由 PD⊥平面 ABCD,知 PD⊥AC,由 BD⊥AC, 知 AC⊥平面 PBD,由此能够证明平面 ACE⊥平面 PBD. (Ⅱ)法一:由平面 ACE⊥平面 PBD,知 AO⊥PBD,由直线 AE 与平面 PBD 成角为 45°,知
∠AEO=45°,由此能够求出 .

法二:以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DP 为 z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法能够求出 的

值.

解答: 解:(Ⅰ)设 AC 交 BD 于 O,连接 OE,

∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AC,

∵BD⊥AC,∴AC⊥平面 PBD,

又∵AC?平面 AEC,∴平面 ACE⊥平面 PBD.…(6 分)

(Ⅱ)(方法一)∵平面 ACE⊥平面 PBD,平面 ACE∩平面 PBD=BD

AO⊥BD

∴AO⊥面 PBD,

∵直线 AE 与平面 PBD 成角为 45°,∴∠AEO=45°,



,则 OE=1,



.…(12 分)

(方法二)以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DP 为 z 轴建立空间直角坐标系,如图

平面 BDE 法向量为























或 λ=1(舍),



.…(12 分)

点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查点的位置的确定.解题时要认真审题,仔细 解答,注意空间思维能力的培养.

20.(12 分)(2012?石景山区一模)已知椭圆 + =1(a>b>0)右顶点与右焦点的距离为

﹣1,短轴长为 2 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、B 两点,若三角形 OAB 的面积为
AB 的方程.

,求直线

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.

专题: 综合题.

分析: (Ⅰ)根据椭圆右顶点与右焦点的距离为

,短轴长为

,可得

,由此,即可求得椭圆方程;

(Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时,

,此时

不符合题意;当直线 AB 与 x

轴不垂直时,设直线 AB 的方程为:y=k(x+1),代入消去 y 得,进而可求三角形的面积,利



,即可求出直线 AB 的方程.

解答: 解:(Ⅰ)由题意,

,解得



即椭圆方程为

(Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时,

,此时 S= 不符合题意,故舍掉;

当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为:y=k(x+1),代入消去 y 得: (2+3k2)x2+6k2x+ (3k2﹣6)=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

,所以



原点到直线的 AB 距离



所以三角形的面积





可得 k2=2,∴



所以直线





点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,联立直线与椭圆方程,利 用韦达定理确定三角形的面积是关键.

21.(12 分)(2011?东莞市校级二模)已知函数

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)利用 1)的结论求解不等式 2|lnx|≤

?|x﹣1|.并利用不等式结论比较 ln2(1+x)

与 的大小. (3)若不等式

对任意 n∈N*都成立,求 a 的最大值.

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 综合题;压轴题;分类讨论;转化思想. 分析: 先求函数的定义域 (1)对函数求导,利用导数在区间(0,+∞)的符号判断函数的单调性. (2)根据题目中式子的结构,结合(1)中单调性的结论可考虑讨论①x≥1,f(x)≤f(1) =0②0<x<1,f(x)>f(1)=0 两种情况对原不等式进行求解.

(3)若不等式
函数 g(x)= 可求解 a 的值 解答: 解:(1)

对任意 n∈N*都成立?a≤

恒成立构造

,利用导数判断该函数的单调性,从而求解函数的最小值,即

,定义域 x|x>0

∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. (2)对
当 x≥1 时,原不等式变为

由(1)结论,x≥1 时,f(x)≤f(1)=0,

当 0<x≤1 时,原不等式变为

由(1)结论 0<x≤1 时,f(x)≥f(1)=0, 综上得,所求不等式的解集是{x|x>0}

∵x>0 时,

,即





(其中 x>﹣1)代入上式中的 x,可得

(3)结论:a 的最大值为

∵n∈N*,∴



取 ,则 x∈(0,1],∴

即 ,即

成立



,∴





∵g(x)递减, ∴x=1 时

∴a 的最大值为



点评: 本题主要考查了利用导数判断对数函数的单调性,利用单调性解对数不等式,函数 的恒成立问题的求解,综合考查了函数的知识的运用,要求考生具备综合解决问题的能力.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答【选修 4-1:几何证明选讲】 22.(10 分)(2012?道里区校级三模)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,△ ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,PA 是过点 A 的直线,且∠PAC=∠ABC. (Ⅰ) 求证:PA 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求 sin∠BCE.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;直线与圆.

分析: (Ⅰ)由 AB 为直径,知



,由此能证明 PA 为圆的切

线.

(Ⅱ)设 CE=6k,ED=5k,AE=2m,EB=3m,由 AE?EB=CE?ED,得 m= k,由△ AEC∽△DEB,

△ CEB∽△AED,能求出 AB=10,

,由此能求出 sin∠BCE.

解答: (Ⅰ)证明:∵AB 为直径,











∴PA⊥AB, ∵AB 为直径,∴PA 为圆的切线.…(4 分) (Ⅱ)解:CE=6k,ED=5k,AE=2m,EB=3m, ∵AE?EB=CE?ED,∴m= k,
∵△AEC∽△DEB

△ CEB∽△AED



∴AB=10,



在直角三角形 ADB 中,



∵∠BCE=∠BAD,∴

.…(10 分)

点评: 本题考查与圆有关的比例线线段的应用,解题时要认真审题,注意相交弦定理和相 似三角形性质的合理运用.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.(2013?乌鲁木齐一模)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 将圆 x2+y2=4 上各点的纵坐标压缩至原来的 ,所得曲线记作 C;将直线 3x﹣2y﹣8=0 绕原点
逆时针旋转 90°所得直线记作 l. (I)求直线 l 与曲线 C 的方程; (II)求 C 上的点到直线 l 的最大距离.

考点: 点、线、面间的距离计算.
专题: 转化思想;圆锥曲线中的最值与范围问题;空间位置关系与距离. 分析: (I)设曲线 C 上任一点为(x,y),则(x,2y)在圆 x2+y2=4 上,代入即可求得曲 线 C 的方程,写出直线 3x﹣2y﹣8=0 的极坐标方程,记作 l0,设直线 l 上任一点为(ρ,θ), 则点(ρ,θ﹣90°)在 l0 上,代入化简,再转化为普通方程即可;

(II)设曲线 C 上任一点为 M(2cosψ,sinψ),到直线 l 的距离为 d=



利用三角知识化为

即可求得其最大值;

解答: (Ⅰ)设曲线 C 上任一点为(x,y),则(x,2y)在圆 x2+y2=4 上,

于是 x2+(2y)2=4,即



直线 3x﹣2y﹣8=0 的极坐标方程为 3ρcosθ﹣2ρsinθ﹣8=0,将其记作 l0, 设直线 l 上任一点为(ρ,θ),则点(ρ,θ﹣90°)在 l0 上, 于是 3ρcos(θ﹣90°)﹣2ρsin(θ﹣90°)﹣8=0,即:3ρsinθ+2ρcosθ﹣8=0, 故直线 l 的方程为 2x+3y﹣8=0; (Ⅱ)设曲线 C 上任一点为 M(2cosψ,sinψ),

它到直线 l 的距离为 d=

=



其中 ψ0 满足:cosψ0= ,sinψ0= .
∴当 ψ﹣ψ0=π 时,dmax= . 点评: 本题考查直线、椭圆的极坐标方程,考查直线与圆锥曲线上点的距离问题,考查学 生对问题的转化能力.
【选修 4-5:不等式选讲】

24.(2013?沈河区校级模拟)设关于 x 的不等式|x﹣1|≤a﹣x. (1)若 a=2,解上述不等式; (2)若上述的不等式有解,求实数 a 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: (1)若 a=2,关于 x 的不等式即|x﹣1|≤2﹣x,可得

,由此求

得不等式的解集. (2)关于 x 的不等式即|x﹣1|+x≤a,令 f(x)=|x﹣1|+x,求得函数 f(x)的最小值,可得实 数 a 的范围. 解答: 解:(1)若 a=2,关于 x 的不等式即|x﹣1|≤2﹣x,



,解得 x≤ ,故不等式的解集为{x|x≤ }.

(2)关于 x 的不等式|x﹣1|≤a﹣x,即|x﹣1|+x≤a.

令 f(x)=|x﹣1|+x=

,故函数 f(x)的最小值为 1,

∴a≥1,即实数 a 的范围为[1,+∞). 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于基础题.


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