概率统计复习题2

概率统计复习题
一 填充题 1. 设 A,B 为二个随机事件, B ? A, 则A B ? , P( A B) ? 。 。 。

2. 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个数字,则 3 个数中不含 1 的概率为

3. 把 3 个不同的球随机地放入 3 个不同的盒中,则出现两个空盒的概率为

4. 甲乙两射手独立地向一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,则目标被 命中的概率为 ,现已知目标被命中,则是甲命中的概率为 。 ,

5. 设 P ? A? ? 0.4, P ? A B ? ? 0.7, 若 A 与 B 互 不 相 容 , 则 P ? B? ?

P ? A ? B? ?

; 若 A 与 B 相互独立,则 P ? B? ?

, P ? A ? B? ?



1 6. 设 A, B, C 为 三 个 随 机 事 件 , 已 知 P( A) ? P ? B ? ? P ? C ? ? , P ? AB ? ? 4 1 P ? BC ? ? , P ? AC ? ? 0, 则 A,B,C 至少有一发生的概率 P ? A B C ? ? , A,B,C 16

都不发生的概率 P ? ABC ? ?

。 。 ; P ?B A B? ? 。

7. 设 P ? A? ? 0.5, P AB ? 0.3, 则 P ? B A ? ?

? ?

1 1 1 8. 设 P ? A ? ? , P ? B A ? ? , P ? A B ? ? , 则 P ? A B ? ? 4 3 2
1 3 5 7 , , , ,则常数 c ? 2c 4c 8c 16c

9. 设随机变量 X 只可能取-1,0,1,2 这 4 个值,且取这 4 个值的概率依次为 .
1 P ? X ? 2? , 则 2

10. 设 X 服 从 参 数 为 ? 的 泊 松 分 布 ( ? > 0), 且 P ? X ? 0 ? ?

?=

,E?X2? ?

。 .

11. 设随机变量 X

B ?3,0.2? , Y ? X 2 , 则 P ?Y ? 4? ?

12. 设随机变量 X 的分布律为

X
P

-1
1 8

0
3 8

1
1 16

2
7 16

且 Y ? X 2 , Y 的概率函数为 13.设随机变量 X 的分布律为

, Y 分布函数为 FY ( y) ,则 FY ?3? ?



1

X
P
且 E ? X ? ? 1, 则 x ?

-2
1 4

1

x
1 4

p


14.设随机变量 X , Y 相互独立,X

B ?16,0.5? , Y

P ?9? , 则 D ? X ? 2Y ?1? ?



?1 ? e ?2 x , x ? 0 15. 设随机变量 X 的分布函数 F ? x ? ? ? ,其密度函数为 f ? x ? , x ? 0 0, ?
则 f ? 2? = .

?1 ? , ?a ? x ? a 16.设随机变量 X 的密度函数为 f ? x ? = ? 2a , 其中 a ? 0 , ? 其余 ? 0,
1 要使 P ? X ? 1? = ,则 a ? 3

.
? x2 ? 2 x ?1

17.设随机变量 X 的密度函数为 f ? x ? ? Ae

?

?

,则 A=

, E ? X 2 ?= 。



P ? X ? 1? ?
18. 随 机 变

,令 Y ? 2 ? X ?1? ,则 Y 的密度函数 f y ? y ? ? 量

? X ,Y ?

1? ? N ?1,1, 4,9, ? 2? ?

,



f X ? x? ?




fY ? y ? ?

, cov ? X , Y ? ?

, D? X ?Y ? ?

, D? X ?Y ? ? .

2 ? 19. 已知 E ? X ? ? ?1, D ? X ? ? 3, 则 E ? ?3 ? X ? 2 ? ? ?

20. 已知 D ? X ? ? 25, D ?Y ? ? 1, ? ? X , Y ? ? 0.4 ,则 D ? X ? Y ? ? 21.设总体 X 则E X =

, D? X ?Y ? ?



R ? ?1,3? , ? X1,
,D X ?

, X 8 ? 是来自总体 X 的样本, X 为样本均值,


? ?

? ?

22.设独立同分布的随机变量序列 X1 , 记 Xn ?

, Xn ,

, E ? X i ? ? ?, D ? X i ? ? ? 2 ,


1 n ? ? ? X i , 则 lim P ? X n ? ? ? ?? ? n ?? n i ?1 n? ?

23.设总体 X

N ? 0,0.25? , ? X1,

, X 7 ? 是来自总体 X 的样本,

2

要使 ?

?X
i ?1

7

2 i

~ ? 2 ?7? , 则 ? =

。 时,

24.设总体 X
1 3

N ? ? , ? 2 ? , ? X 1 , X 2 , X 3 ? 是来自总体 X 的样本,则当 ? =

? ? X 1 ? ? X 2 ? X 3 是未知参数 ? 的无偏估计。
二、计算题 1. 罐中有 12 粒围棋子,其中 8 粒白的,4 粒黑的,从中任取 3 粒,求: (1)取 到的都是白子的概率; (2)取到 2 粒白子,1 粒黑子的概率; (3)至少取到 1 粒 黑子的概率; (4)取到 3 粒颜色相同棋子的概率。 2. 设某种动物活到 20 岁的概率为 0.8, 活到 25 岁的概率为 0.4,问年龄为 20 岁的 这种动物活到 25 岁的概率为多少? 3. 某小组共 10 人,得到一张足球票,他们决定用摸彩来决定谁去看球赛, (1)已知前 4 人都没有摸到,求第 5 人摸到的概率; (2)求第 5 人摸到的概率。 4. 有两箱同种类型的零件,第一箱装 50 只,其中 10 只一等品;第二箱装 30 只,其中 18 只一等品。今从两箱中任选一箱,然后从该箱中取零件两次,每次 任取一只,作不放回抽样,求(1)第一次取到的零件是一等品的概率; (2)在 第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率。 5. 已知男人中有 5%是色盲患者,女人中有 0.25%是色盲患者,今从男女人数相 同的人群中随机地挑选一人, 已知选出的人为色盲患者,问此人是男性的概率是 多少? 6.在一个袋中有 15 个相同的乒乓球,球上分别写有 1,2, 。 。 。15.甲,乙两人先后 从袋中不放回地取出一个球。 (1) 求甲取得的球上的数字是 3 的倍数的概率; (2) 若已知甲取得的球上的数字是 3 的倍数, 求乙取到的球上的数字大于甲取得的球 上的数字的概率。 7.15 个同类型的零件中有 2 个是次品,从中任取 3 次,每次一个,取后不放回, 以 X 表示取出的次品数,求 X 的概率函数和分布函数。 8.一口袋中装有 5 只乒乓球,编号分别为 1,2,3,4,5,从中随机地取 3 个, 以 X 表示 3 个球中的最大号码, 以 Y 表示 3 个球中的最小号码, (1) 分别求出 X , Y 的概率函数和分布函数, (2)求出 X,Y 的联合概率函数。

1 6

3

9.抛 3 次均匀硬币,以 X 表示正面向上的次数,以 Y 表示正面向上次数与反面向 上次数差的绝对值, (1)求 ? X , Y ? 的联合分布律和边缘分布律; (2) X , Y 是否相 互独立,为什么?(3)求 E ? X ? , D ? X ? ,cov ? X , Y ? .
1 10.设随机变量 X , Y 独立同分布, P ? X ? k ? ? , k ? 1, 2,3, 令 U ? max ? X , Y ? , 3

V ? min ? X , Y ? ,
U 的条件分布律。

(1)求 ?U ,V ? 的联合概率函数; (2)求在 ?V ? 1? 发生的条件下

11.设随机变量 X 的分布函数为 F ? x ? = A ? B arctan x, ?? ? x ? ??, (1) 常数 A, B 的值; (2) P ?1 ? X ? 3 ; ,



?

?

(3)

密度函数 f ? x ? 。

π ? ?a cos x, x ? X 12. 设随机变量 的密度函数为 f ? x ? = ? 2, ? ? 0, 其他

求: ( 1 )常数 a ;

π? ? (2) P ? 0 ? X ? ? ; 4? ?

(3) X 分布函数 F ? x ? 。

13.设 X 率。

求至少有两次观测值大于 3 的概 R ? 2,5? , 现对 X 进行 3 次独立的观测,

? 4 x, 0 ? y ? x 2 , 0 ? x ? 1 14.已知 ? X , Y ? 联合密度的函数 f ? x, y ? ? ? , 其余 ? 0,
1? ? (1)求 X , Y 的边缘密度函数; (2)讨论 X , Y 的独立性; (3)求 P ? X ? ? 。 2? ?
?2e?? x ? 2 y ? , x ? 0, y ? 0, ? 15.已知 ? X , Y ? 联合密度函数 f ? x, y ? ? ? (1) X , Y 是否相互独 其他. ? ? 0,

16.已知 ? X , Y ? 联合密度函数 f ? x, y ? ? (1)求 c 的值;

?1 ? x ??1 ? y ?
2 2

c

, ?? ? x ? ??, ?? ? y ? ?? ,

(2)求 X , Y 的边缘密度函数, X , Y 是否相互独立?为什么? (3)求 ? X , Y ? 落在(0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1)为顶点的正方形区域内的概率。 17. 设随机变量 X

R ? 0,0.2? , Y

E ?5? , 且 X , Y 相互独立.
4

(1)求 X , Y 各自的密度函数及联合密度函数; (2)求 P ? X ? Y ? 。 18. 设随机变量 X

N ? 0,1? , (1)求 Y ? 2 X ? 1 的密度函数;(2)求 Y ? X 2 的密

度函数;(3)求 Y ? e X 的密度函数. 19.设随机变量 ? X , Y ? 的联合密度函数为:

? 2 xy ? x ? , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 ,求: f ? x, y ? ? ? 3 ? else ? 0,

?1? X , Y 的边缘密度; ? 2? X , Y 是否独立?为什么? ?3? P ? X ? Y ? 1? .
20. 设随机变量 W ? ? aX ? 3Y ? , E ? X ? ? E ?Y ? ? 0, D ? X ? ? 4, D ?Y ? ? 16,
2

? ( X , Y ) ? ?0.5. 求常数 a 使得 E ?W ? 为最小,并求 E ?W ? 的最小值。
? 1? 21. 设随机变量 X , Y 相互独立,均服从 N ? 0, ? , 令 Z ? X ? Y , 求 ? 2?

(1) Z 的密度函数; (2) E ( Z ) ; (3) cov ? X , Z ? ,并问 X , Z 是否相关,是否相互独立?为什么? 22.某中学举行新春联欢会,邀请学生和家长参加。对一个学生家庭而言,来参 加新春联欢的人数是个随机变量 X , E ? X ? ? 2, D ? X ? ? 0.5. 若这个学校共有 800 名 学生, 假定各个学生来自不同的家庭,各家庭参加新春联欢会的人数相互独立且 服从相同分布。求参加新春联欢会的学生和家长的人数大于 1580 的概率。 (用中心极限定理) 23. 计算器在进行加法时,将每个加法舍入最靠近它的整数,设所有舍入误差相 互独立且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。将 1500 个数相加,问误差总和的绝 对值超过 15 的概率。 24. 设 X1 , , , X 5 独立同分布,均服从 N (0,1)
2 2

(1)试求出常数 a , b ,使 a ? X 1 ? X 2 ? ? b ? X 3 ? X 4 ? X 5 ? 服从 ? 2 分布,并指出它 的自由度;

5

(2)试求出常数 c, 使 c 25. 设 ? X1 ,

(X1 +X2 ) X ?X ?X
2 3 2 4 2 5

服从 t 分布并指出它的自由度。

, X n ? 是来自总体 X 的样本, X 的密度函数为:

? ? 1 ? x? 2 , x ?? ? e f ? x? ? ? 2 ,? 未知 ? 0, x ?? ?

(1) :求 ? 的极大似然估计 ?? ; (2)问: ?? 是 ? 的无偏估计吗?若是给出证明;若不是,修正成无偏估计。 26. 设 ? X1 ,

, X n ? 是来自总体 X 的样本, X 的密度函数为
2

?x ?x ? e 2? ,x ? 0 ,其中 ? 未知,? ? 0 , f ? x ? ? ?? ?0 , x? 0 ?
求 ? 的极大似然估计,并讨论无偏性。 27. 从 一 大 批 螺 丝 钉 中 随 机 地 取 9 枚 , 测 得 其 长 度 为 x1 ,
9 9

, x9 , 并 算 得

? xi ? 27, ? xi2 ? 83, 设钉子的长度服从N ? ?,? 2 ? , ?? ? ? ? ??,? 2 ? 0,
i ?1 i ?1

? , ? 均为未知参数,试分别求?与? 2的置信度为0.95 的置信区间。
2

28. 自动包装机包装食品,每袋净重 X ~ N ? ? , ? 2 ? ,现随机抽取 10 袋,测得每 袋净重 x1 , x2 ,

, x10 克, 计算得 ? xi ? 5020, ? xi2 ? 2520420 , 试分别求 ? 与 ? 2 的
i ?1 i ?1

10

10

置信度为 0.95 的置信区间。

6


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