2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(湖南卷)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(理工农医类)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页,时量 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1.复数 z ? i? 1 ? i ? ?i为虚数单位? 在复平面上对应的点位于 ? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否 存在显著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法 是 A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 3.在锐角中 ?ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a , b .若 2a sin B ? 3b, 则角A等于 A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

? y ? 2x ? 4.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , 则x ? 2 y的最大值是 ? y ? ?1 ?

A. -

5 2

B. 0

C.

5 3

D.

5 2

5.函数 f ? x ? ? 2ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 的图像的交点个数为 A.3 B.2 C.1 D.0

b 6. 已知 a , b 是单位向量, a? ? 0 .若向量 c 满足 c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是

, A. ? 2-1, 2+1? ? ?

, B. ? 2-1, 2+2? ? ?

C. ?1, 2+1? ? , ?

D. ?1, 2+2 ? ? , ?

7.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视 图的面积不可能等于 ... A. 1 B. 2 C.
2-1 2

D.

2+1 2

8.在等腰三角形 ABC 中, AB =AC ? 4, P 是边 AB 上异于 A, B 点 的一点,光线从点 P 出发,经 BC, CA 发射后又回到原点 P (如 图 1 ).若光线 QR 经过 ?ABC 的中心,则 AP 等于 A. 2 8 C. 3 B. 1 4 D. 3

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.

(一)选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前 两题计分)

? x ? t, ? x ? 3cos ? , l :? (t 为参数)过椭圆 C : ? 9.在平面直角坐标系 xoy 中,若 ? y ? t ? a ? y ? 2sin ?
(?为参数)的 右顶点,则常数 a的值为

. .

10.已知 a, b, c ?, a ? 2b ? 3c ? 6, 则a2 ? 4b2 ? 9c2的最小值为 11.如图 2,在半径为 7 的 ? O 中,弦 AB, CD相交于点P, PA ? PB ? 2,
PD ? 1 ,则圆心O到弦CD的距离为

.

(一)必做题(12-16 题) 12.若 ? x 2 dx ? 9, 则常数T的值为
0 T

.

13.执行如图 3 所示的程序框图,如果输入

a ? 1, b ? 2, 则输出的a的值为

.

x2 y 2 14 . 设 F1 , F2 是 双 曲 线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , 若 a b

PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为___。

15.设 Sn 为数列 ?an 的前 n 项和, S n ? ( ?1) an ?
n

?

1 , n ? N ?, 则 n 2

(1) a3 ? _____; (2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? ___________。 16.设函数 f ( x) ? a x ? b x ? c x , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0. ( 1 ) 记 集 合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长, a=b? , 则 且

(a , b , c ) 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为____。 ? M

(2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是

.(写出所有

正确结论的序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa x , bx , c x不能构成一个三角形的三条边长; ③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1,2? , 使f ? x ? ? 0. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 。 6 3 2
3 3 。求 g (? ) 的值; 5

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合。

18. (本小题满分 12 分) 某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆 三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收 获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。 (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图 5,在直棱柱 ABCD ? A B1C1D1中,AD // BC, 1

?BAD ? 90? , AC ? BD, BC ? 1, AD ? AA1 ? 3.
(I)证明: AC ? B1 D ; (II)求直线 B1C1与平面ACD1 所成角的正弦值。 20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一 路 径 成 为 M 到 N 的 一 条 “L 路 径 ” 。 如 图 6 所 示 的 路 径

MM1M 2 M 3 N与路径MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”。某地有三个新建的居
民区,分别位于平面 xOy 内三点 A(3, 20), B(?10,0), C(14,0) 处。现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心。 (I)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明) ; (II)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请 确定点 P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小。 21. (本小题满分 13 分) 过抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k2 的两条不同的直线 l1 , l2 ,且
2

k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D。以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N
(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l 。 (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM ?FN ? 2P ;
2

???? ??? ? ?

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 22. (本小题满分 13 分)

7 5 ,求抛物线 E 的方程。 5

已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

x?a 。 x ? 2a

(I)记 f ( x)在区间?0, 4? 上的最大值为g(a),求 g(a )的表达式; (II)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图像上存在两点,在该两点处的 切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。


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