高中数学课件-等差数列求和公式_图文

高中数学多媒体课堂 等差数列的前n项和 复习回顾 1.等差数列的概念 2.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d an ∵ak=a1+(k-1)d, 即a1=ak-(k-1)d. ∴通项公式又可改写为 an=ak+(n-k)d . 3.等差中项 0 · · · · · 1 2 3 4 5 n a+b A=——— 2 等差数列的前n项和 有一堆钢管,最底下放了15根,上一层是14根,再上 一层是13根,……,最顶层是3根.这堆钢管共有多根? 3+15=18, 6+12=18, 4+14=18, …… , 5+13=18, 15+3=18, ∴3+4+…+15= 18×13/2=117(根). 设等差数列{an}的前n项和为Sn,即Sn=a1+a2+…+an, 则 根据通项公式得 Sn=a1+(a1+d)+ … +[a1+(n-1)d], 把项的次序反过来,可写成 Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] 两式相加,得 n个 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) =n(a1+an) ∴等差数列的前n项和公式是 n(a1 ? an ) Sn ? 2 等差数列的前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半 ∵an=a1+(n-1)d,∴公式又可写成 n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 等差数列前n项和公式 n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 类比可知,第一个公式与梯形面积公式相似,而第二个公 式又很容易由第一个公式推出 , 这样我们记忆公式就容易 得多了. 例1 德国古代著名数学家高斯9岁的时候很快就解决了 老师给他的问题:1+2+3+…+100=?你想知道高斯是怎 样算出的吗?其结果是多少? 1+2+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(55+51)=101×50=5050. 利用公式计算也得5050. 等差数列前n项和公式 n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 思考:①在正整数列中,前n个数的和是多少? ②在正整数列中,前n个偶数的和是多少? 1+2+…+ n(n+1) n= 2 2 + 4 +…+ 2n= n(n+1) 例2 等差数列-10, -6, -2, 2 , …前多少项的和是54? 解: 设该数列为{an}, 前n项的和是54 , ∵a1=-10, d=-6-(-10)=4 , ? ?10 n ? n(n ? 1) ? 4 ? 54. 2 整理得 n2-6n-27=0. 解得 n=9, n=-3(舍弃). 因此等差数列-10, -6, -2, 2 , …前9项的和是54. 练习 1.根据条件,求相应等差数列{an}的Sn: ①a1=5, an=95, n=10; ②a1=100, d=-2, n=50; ③a1=14.5, d=0.7, an=32. 答案:①500; ②2550; ③604.5 2.等差数列5,4,3,2,…前多少项的和是-30? 提示:先化为n2-11n-60=0,得n=15,或n=-4(舍弃) 课堂小结 等差数列前n项和公式 n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 (关于n的二次函数) 公式的推证用的是倒序相加法 在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元 素,结合通项公式就可求出另两个元素. (机动内容) 例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素个数, 并求这些元素的和. 解: 由7n<100得 n<100/7, 2 ? n ? 14 . 7 由于满足它的正整数n共有14个,∴集合M中的元素共 有14个. 即 7, 14, 21, … , 91, 98. 这是一个等差数列, 各项的和是 14 ? (7 ? 98) S14 ? 2 =735 答: 集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.

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