2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2017 年全国高中数学联合竞赛一试(B 卷) 一、填空题:本大题共 8 个小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.在等比数列{an}中, a2 ? 2 , a3 ? 3 3 ,则 a1 a7 ? a2011 ? a2017 的值为 . 2.设复数 z 满足 z ? 9 ?10z ? 22i ,则| z |的值为 . 3.设 f (x) 是定义在 R 上的函数,若 f (x) ? x2 是奇函数, f (x) ? 2x 是偶函数,则 f (1) 的值为 . 4.在 ?ABC 中,若 sin A ? 2sin C ,且三条边 a, b, c 成等比数列,则 cos A的值为 . 5.在正四面体 ABCD中, E, F 分别在棱 AB, AC 上,满足 BE ? 3 , EF ? 4 ,且 EF 与平面 BCD 平行, 则 ?DEF 的面积为 . 6.在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K ? {(x, y) | x, y ? ?1, 0,1},在 K 中随机取出三个点,则这三个点两两 之间距离均不超过 2 的概率为 . 7.设 a 为非零实数,在平面直角坐标系 xOy 中,二次曲线 x2 ? ay2 ? a2 ? 0 的焦距为 4,则 a 的值 为 . 8.若正整数 a, b, c 满足 2017 ?10a ?100b ?1000c ,则数组 (a, b, c) 的个数为 . 二、解答题 (本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 9.设不等式| 2x ? a |?| 5 ? 2x | 对所有 x ?[1, 2]成立,求实数 a 的取值范围. 10.设数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn ? an?1an?2 ? an2 , n ? 1, 2, . (1)证明:数列 {bn } 也是等差数列; (2)设数列{an}、{bn}的公差均是 d ? 0 ,并且存在正整数 s, t ,使得 as ? bt 是整数,求| a1 | 的最小值. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : y2 ? 4x ,曲线 C2 : (x ? 4)2 ? y2 ? 8 ,经过 C1 上一点 P 作一条倾 斜角为 45 的直线 l ,与 C2 交于两个不同的点 Q, R ,求 | PQ | ? | PR | 的取值范围. 2017 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷) 一、(本题满分 40 分) 设实数 a,b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,令 d ? max{ a , b , c} ,证明: (1? a)(1? b)(1? c) ?1? d 2 二、(本题满分 40 分) 给定正整数 m ,证明:存在正整数 k ,使得可将正整数集 N? 分拆为 k 个互不相交的子集 A1, A2, , Ak ,每 个子集 Ai 中均不存在 4 个数 a, b, c, d (可以相同),满足 ab ? cd ? m . 三、(本题满分 50 分) 如图,点 D 是锐角 ?ABC 的外接圆? 上弧 BC 的中点,直线 DA 与圆? 过点 B, C 的切线分别相交于点 P,Q ,BQ 与 AC 的交点为 X ,CP 与 AB 的交点为Y ,BQ 与 CP 的交点为T ,求证:AT 平分线段 XY . 四、(本题满分 50 分) 设 a1, a2, , a20 ?{1, 2, ,5}, b1,b2, ,b20 ?{1, 2, ,10} ,集合 X ? {(i, j) 1? i ? j ? 20,(ai ? aj )(bi ? bj ) ? 0},求 X 的元素个数的最大值.

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