2.1.2椭圆的简单几何性质(1)


2.1.2椭圆的简 单几何性质(1)
高二数学 选修1-1

第二章

圆锥曲线与方程
1

复习:
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的 动点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程是: 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a 2 b 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a
2

二、椭圆
x 1、范围: 2 ? 1, a -a≤x≤a,
2

简单的几何性质
y2 ? 1得: 2 b -b≤y≤b 知

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

3

椭圆的对称性

Y P1(-x,y)

P(x,y)

O P2(-x,-y)

X

4

2、对称性:
从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看: (1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称; (2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称; (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象关于原点成中 y 心对称。
B2

坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心, 叫椭圆的中心。

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

5

3、椭圆的顶点(截距) 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点? 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? *顶点:椭圆与它的对称轴 的四个交点,叫做椭圆的 顶点。

y
B2 (0,b)

A1

b

a F2

A2 (a,0)

*长轴、短轴:线段A1A2、 (-a,0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。

o c
B1 (0,-b)

6

根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 (1) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
7

4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e ? 叫做椭圆的离心率。 a [1]离心率的取值范围:0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭 圆就越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 圆就越圆

思考:当e=0时,曲线是什么?当e=1时曲 线又是 什么? c a ?b b [3]e与a,b的关系: e ? ? ? 1? a a a
2 2 2 2 2

8

问:对于椭圆C1 : 9 x ? y ? 36与椭圆C : ?
2 2

C2 更接近于圆的是?????????。

x2 2 16

y2 12

? 2,

9

标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2
10

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

同前
11

题型一:利用椭圆方程,研究其几何性质

例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是: 10 。短轴长是:
焦距是: 8 焦点坐标是: (0, ?4) 外切矩形的面积等于: 。

6

( ? 。顶点坐标是:?5, 0), (0,。3)
60
。 x y ? ?1 25 9
2 2

4 离心率等于: 5




解题的关键:

1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b
2、确定焦点的位置和长轴的位置
12

练习1.

已知椭圆方程为6x2+y2=6
。短轴长是:
.离心率等于:

它的长轴长是: 2 6
焦距是:

2
30 6





2 5

焦点坐标是: (0,? 5 )
外切矩形的面积等于:

。顶点坐标是: ? 6) (?1, 0) 。 (0,

4 6

x2 y2 其标准方程是 ? ?1 1 6

a ? 6 b ? 1 则c ? a ? b ? 5
2 2
13

练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离 心率。
(1)x2+9y2=81

(2) 25x2+9y2=225 (4) 4x2+5y2=1
x2 y 2 (2) ? ?1 9 25
x2 y2 (4) ? ?1 1 1 4 5
14

(3) 16x2+y2=25
x2 y 2 (1) ? ?1 81 9
x2 y 2 (3) ? ?1 25 25 16

练习:已知椭圆 x2 ? (m ? 3) y 2 ? m(m ? 0) 的离心率
e?

标、顶点坐标。

3 , 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 2
m m(m ? 2) 2 a ? m, b ? ,c ? m?3 m?3
2 2

x2 y2 椭圆: ? ?1 m m m?3
m?2 3 e ? ? m?3 4
2

?m ? 1

?长轴长 ? 2a ? 2

3 , 0) ?短轴长 ? 2b ? 1 ? 焦点坐标( ? 2 1 ? 顶点坐标( ? 1, 0), (0, ? ) 2

15

题型二:利用椭圆的几何性质求标准方程

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

解: ⑴方法一: 设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 将点的坐标方程,求出m=1/9,n=1/4。

x2 y 2 ? 所求椭圆方程为: ? ?1 9 4
注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤:
⑴定位; ⑵定量
16

题型二:利用椭圆的几何性质求标准方程

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

解:(1)方法二:利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的 交点就是椭圆的顶点, 于是焦点在x轴上,且点P、Q分别是 椭圆长轴与短轴的一个端点, x2 y 2 ? ?1 故a=3,b=2,所以椭圆的标准方程为 9 4 注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤: ⑴定位; ⑵定量 17

题型二:利用椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

c 3 解(2):a ? 20, e ? ? 2 a 5

? a ? 10, c ? 6

? b ? 8.

x2 y 2 y 2 x2 ? 椭圆方程为: ? ? 1或 ? ?1 100 64 100 64

注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤: ⑴定位; ⑵定量
18

题型二:利用椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ?3 2, 4

?

?

解:(3)一焦点将长轴分成2:1的两部分 ? (a ? c) : (a ? c) ? 2 :1 ? a ? 3c ? b2 ? 8c 2
x2 y2 x2 y2 ? 椭圆方程可设为: 2 ? 2 ? 1或 2 ? 2 ? 1 9c 8c 8c 9c
(?3 2)2 42 (?3 2) 2 42 椭圆过P ?3 2, 4 , ? ? 2 ? 1或 ? 2 ?1 2 2 9c 8c 8c 9c 145 ? c 2 ? 4或c 2 ? x2 y2 y2 x2 ? 1或 ? ?1 36 ? 椭圆方程为: ? 145 290 36 32 19 4 9

?

?

练习:已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标 轴上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P (3,0),求椭圆的方程。
2a ? 3 ? 2b a ? 3b

? a ? 3, b ? 1

或b ? 3,a ? 9

x2 x2 y 2 2 ? y ? 1或 ? ?1 9 9 81
分类讨论的数学思想
20

练习:
1. 根据下列条件,求椭圆的标准方程。

① 长轴长和短轴长分别为8和6,焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴,x轴上,经过P(-2,0), Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为(-3,0)一顶点坐标为(0,5) ④两顶点坐标为(0,±6),且经过点(5,4) ⑤焦距是12,离心率是0.6,焦点在x轴上。

x y ① + =1 16 9
x2 y 2 ④ + =1 45 36

2

2

y x ② + =1 9 4

2

2

x2 y 2 ③ + =1 34 25

x2 y2 ⑤ + =1 100 64

21

2. 已知椭圆的一个焦点为F(6,0)点B,C是短 轴的两端点,△FBC是等边三角形,求这个椭圆的 标准方程。

c?6

a ? 2b

3 a?6 2

?a ? 4 3, b ? 2 3
x y ? 椭圆方程为: ? ?1 48 12
22

2

2

练习:已知椭圆中心在原点,它在x轴的一个焦点与短轴的 两个端点的连线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端 点距离为 10 ? 5,求这个椭圆方程。

a ? c ? 10 ? 5

b?c

a ? 2c

?c ? 5

? a ? 10, b ? 5
2 2

x y ? 椭圆方程为: ? ?1 10 5
23

题型三:椭圆的离心率问题
x2 y 2 例3:(1)椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点

F1 (?c,0),

A(?a, 0), B(0, b) 是两个顶点,如果到F1直线AB的 b 1 距 离为 ,则椭圆的离心率e= . 7 2 解 : 直线AB方程为: bx ? ay ? ab ? 0 ?bc ? ab b ? b2 ? a 2 ? c 2 d F1 ? AB ? ? . 2 2 7 b ?a 2 2 2 ?5a 2 ? 14ac ? 8c2 ? 0 ?7(a ? c) ? 2a ? c ? a ? 2c或5a ? 4c. ? e ? c ? 1 . 24 a 2

题型三:椭圆的离心率问题
x2 y 2 例3:(2)设M为椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点,F1、F2

为椭圆的焦点,

如果 ?MF1F2 ? 75? , ?MF2 F1 ? 15?,求椭圆的离心率。

解: ?MF1F2 ? 75? , ?MF2 F1 ? 15?, F1MF2 ? 900 ? ??
MF1 MF2 F1 F2 由正弦定理: ? ? ? ? sin15 sin 75 sin 90? MF1 ? MF2 F1 F2 2a 2c ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin 75 ? sin15 sin 90 sin 75 ? sin15 sin 90?

c sin 90? 3 ?e ? ? ? ? ? a sin 75 ? sin15 3

25

题型三:椭圆的离心率问题

例3(3) :已知F为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶 1 点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1 ? F1A,,PO ? AB(O为 椭圆中心)时,求椭圆的离心率.

x y 解 : 设椭圆方程为 : 2 ? 2 ? 1 a b b2 ?PF1 ? FA ? P(?c, ) ? A(a,0), B(0, b) 1 a b2 / a b ? PO ? AB ?kPO ? k AB ? ? ?c ?a c c 2 ?b ? c ?e ? ? ? . a 2 2c2

2

2

26

练习:

1.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的 垂线交椭圆于点P,若? F1PF2为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率为 2 2 ?1 A. ,B. 2 2 C.2- 2, (     D ) D. 2 ? 1

27

小结:
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系,这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助,给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中,我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件,需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中,我们运用了几何性 质,待定系数法来求解椭圆方程,在解题过程中, 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
28


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