2018届高考数学一轮复习测试卷正弦定理和余弦定理 精品

第二十二讲 正弦定理和余弦定理

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.(2018·湖北)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( )

A.-23 2

22 B. 3

C.-

6 3

6 D. 3

解析:依题意得 0°<B<60°,由正弦定理得sianA=sibnB得 sinB=bsainA= 33,cosB= 1-sin2B= 36,选

D.

答案:D

2.(2018·天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB,

则 A=( )

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

解析:由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b,由余弦定理得 cosA=b2+2cb2c-a2=- 32bbcc+c2= 23,于是 A

=30°,故选 A.

答案:A

3.(2018·江西)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=( )

16

2

A.27

B.3

3

3

C. 3

D.4

解析:设 AC=1,则 AE=EF=FB=13AB= 32,由余弦定理得 CE=CF= AE2+AC2-2AC·AEcos45°= 35,所以 cos∠ECF=CE2+2CCEF·C2-F EF2=45,

所以 tan∠ECF=csoins∠∠EECCFF=

1-4 ??45??2=34.
5

答案:D

4.(2018·青岛模拟)△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈??0,π2??,则△ABC 的形状是(

)

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

解析:∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2,

∴lgac=lgsinB=lg

22.∴ac=sinB=

2 2.

∵B∈??0,π2??,∴B=π4,由 c= 2a,



cosB=a2+2ca2c-b2=32a2-2ab22=

2 2.

∴a2=b2,∴a=b.

答案:D

5.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( )

A.1+ 3 B.3+ 3

3+ 3 C. 3

D.2+ 3

解析:2b=a+c,12ac·12=12?ac=2,a2+c2=4b2-4,b2=a2+c2-2ac·23?b2=4+32

3?b=3+3

3 .

答案:C

6.已知锐角 A 是△ABC 的一个内角,a、b、c 是三角形中各内角的对应边,若 sin2A-cos2A=12,则(

)

A.b+c=2a B.b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a

解析:由 sin2A-cos2A=12,得 cos2A=-12,

又 A 是锐角,所以 A=60°,于是 B+C=120°.

B+C B-C

所以b2+ac=sinB2s+insAinC=2sin

2

cos 3

2

=cosB-2 C≤1,b+c≤2a.

答案:C 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.)

7.(2018·江苏)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若ba+ab=6cosC,则ttaannCA+ttaannCB 的值是________.

解析:解法一:取 a=b=1,则 cosC=13, 由余弦定理和 c2=a2+b2-2abcosC=43,

∴c=2

3

3 .

在如图所示的等腰三角形 ABC 中,

可得 tanA=tanB= 2,

又 sinC=23 2,tanC=2 2,

∴ttaannCA+ttaannCB=4. 解法二:ba+ab=6cosC 得,a2a+bb2=6·a2+2ba2b-c2,

即 a2+b2=32c2,
∴ttaannCA+ttaannCB=tanC??csoinsAA+csoinsBB??=cosCssinin2ACsinB
=a2+2bc22-c2=4.

答案:4

8.(2018·山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2, 则角 A 的大小为________.
解析:由 sinB+cosB= 2sin??B+π4??= 2得
π
sin??B+π4??=1,所以 B=π4.由正弦定理sianA=sibnB得 sinA=asbinB= 2·2sin4=12,所以 A=π6或56π(舍去).

答案:π6 9.(2018·新课标全国)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB=135°.若 AC= 2 AB,则 BD=________. 解析:如图,设 AB=c,AC=b,BC=a,则由题设可知 BD=13a,CD=23a,所以根据余弦定理可得
b2=( 2)2+??23a??2-2× 2×23acos45°,c2=( 2)2+??13a??2-2× 2×13acos135°,由题意知 b= 2c,
可解得 a=6+3 5,所以 BD=13a=2+ 5. 答案:2+ 5 10.(2018·新课标全国)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=12DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC 的面积为 3- 3,则∠BAC=________. 解析:由∠ADB=120°知∠ADC=60°,又因为 AD=2,所以 S△ADC=12AD·DCsin60°=3- 3,所以 DC =2( 3-1),又因为 BD=12DC,所以 BD= 3-1,过 A 点作 AE⊥BC 于 E 点,则 S△ADC=12DC·AE=3- 3, 所以 AE= 3,又在直角三角形 AED 中,DE=1,所以 BE= 3,在直角三角形 ABE 中,BE=AE,所以 △ABE 是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°,在直角三角形 AEC 中,EC=2 3-3,所以 tan∠ACE=EACE= 2 33-3=2+ 3,所以∠ACE=75°,所以∠BAC=180°-75°-45°=60°. 答案:60° 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.(2018·全国Ⅰ)已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=ata1nA+bta1nB,求内角 C. 解:由 a+b=ata1nA+bta1nB及正弦定理得 sinA+sinB=cosA+cosB, 即 sinA-cosA=cosB-sinB,

从而 sinAcosπ4-cosAsinπ4=cosBsinπ4-sinBcosπ4,
即 sin??A-4π??=sin??π4-B??.
又 0<A+B<π, 故 A-4π=π4-B,A+B=π2, 所以 C=π2. 12.(2018·辽宁)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+ b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 故 cosA=-12,又 A∈(0,π),故 A=120°. (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC=12. 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 13.(2018·陕西)如图,在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6, 求 AB 的长.
解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 cos∠ADC=AD2+2ADDC·D2-C AC2=1020×+1306×-6196 =-12,
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°. 在△ABD 中,AD=10,B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得sin∠ABADB=sAinDB,

∴AB=AD·ssinin∠B ADB=1s0isnin465°0°=10×2

3 2 =5

6.

2

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