【名师一号】高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2_图文

4.2.2 圆与圆的位置关系 1 自 学 导 引(学生用书P90) 2 1.知道两圆间的位置关系有:外离?外切?相交?内切?内含5种. 2.会根据两圆的圆心距与半径之间的关系迅速判断出两圆的 位置关系. 3.初步体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越 性. 3 课 前 热 身(学生用书P90) 4 一般地,设圆C1和C2的方程分别为 (x-x1)2+(y-y1)2=r21, (x-x2)2+(y-y2)2=r22. 圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距 d=|C1C2|= ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 . 外离 那么,当d>r1+r2时,两圆________. 外切 当d=r1+r2时,两圆________. 当|r1-r2|<d<r1+r2时,两圆________. 相交 当d=|r1-r2|时,两圆________. 内切 内含 当0≤d<|r1-r2|时,两圆________. 5 名 师 讲 解 (学生用书P91) 6 1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤 2 2+(y-b )2=r (1)判断两圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r ,C :(x-a ) 2 2 12 2 2 位置关系的常用方法: 两圆C1?C2外离?|C1C2|>r1+r2; 两圆C1、C2外切?|C1C2|=r1+r2; 两圆C1?C2相交?|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2; 两圆C1、C2内切?|C1C2|=|r1-r2|; 圆C1内含于圆C2?0≤|C1C2|<|r2-r1|,其中|C1C2|=0时,两圆 同心. 7 (2)判断两圆的位置关系时的一般步骤: 第一步:将两圆的方程化为标准方程; 第二步:依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1、r2及圆心距 d(即|C1C2|); 第三步:根据d与r1、r2之间的关系,判断两圆的位置关系. 8 2.判断两圆的位置关系为什么不用代数法 跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关系也可 以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个二元二次方 程组通常计算量较大,较为麻烦,而且当无解或是一解时往 往还得重新用几何法来讨论,不如直接运用几何法简便. 9 典 例 剖 析 (学生用书P91) 10 题型一 圆与圆的位置关系 例1:a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x2ay+a2-3=0. (1)外切;(2)内切. 分析:把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距,再作 比较. 11 解:将两圆方程写成标准方程 (x-a)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-a)2=4. 设两圆的圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或2. (2)当d=1即2a2+6a+5=1时,两圆内切,解得a=-1或a=-2. 规律技巧:解决两圆的位置关系,运用几何方法(圆心距与半径 的关系)比代数方法(方程组解的情况)简单. 12 变式训练1:⊙A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,⊙B的方程为 x2+y2+2x+2y-2=0,判断⊙A和⊙B是否相交,若相交,求过两 交点的直线的方程;若不相交,说明理由. 分析:判定两圆是否相交,只需判定两圆的半径和?差与圆心距 间关系即可. 13 解:⊙A的方程可写为(x-1)2+(y-1)2=9, ⊙B的方程可写为(x+1)2+(y+1)2=4, ∴两圆心之间的距离满足3-2<|AB|= (1 ? 1) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 2 2 ? 3 ? 2, 即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差. ∴两圆相交. ⊙A的方程与⊙B的方程左?右两边分别相减得-4x-4y-5=0.即 4x+4y+5=0为过两圆交点的直线的方程. 14 题型二 与两圆相切有关的问题 例2:求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线 的圆的方程 (3, ? 3) . 分析:先设出圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),利用题设条件,得 到关于a、b、r的三个方程,解方程组求得a,b,r即可. 相切于点 x ? 3y ? 0 15 解:设所求圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 将x2+y2-2x=0化为标准形式(x-1)2+y2=1,由题意可得 16 17 规律技巧:本题利用了待定系数法,设出所求圆的方程,根据圆 与圆相切,圆与直线相切的条件列出关于a,b,r的方程组求解. 18 变式训练2:以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程. 解:设所求圆的半径为r, 则 2 ∴r=3或 r=13, 3 ? (?4) 2 ?| 8 ? r |, 故所求圆的方程为 (x-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=169. 19 题型三 与两圆公共弦有关的问题 例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求 两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组 消去x2项?y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程.利用 勾股定理可求出两圆公共弦长. 20 解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A?B两点坐标是方程 组 ①-②得3x-4y+6=0. ∵A?B两点坐标都满足此方程, ∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3. 21 22 规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将表示圆的两 个方程相减即可得到.求圆的弦长用几何法简单. 23 变式训练3:判断圆C1:x2+y2-2x-6y-6=0,与圆C2

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