立体几何初步空间几何与点线面晚练专题练习(五)含答案人教版高中数学

高中数学专题复习
《立体几何初步空间几何与点线面》单元过关检 测
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1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明

评卷人 得分

一、选择题

1 . 如 图 , 正 四 棱 锥 P ? ABCD底 面 的 四 个 顶 点 A, B, C, D在 球 O 的 同 一 个 大 圆

上,点

P 在 球 面 上 , 如 果 VP?ABCD

?

16 3

,则球

O 的表面积是

( A ) 4? ( B ) 8? ( C ) 12?

( D ) 16? ( 2 02 0 年 高 考 四 川 文 )

2.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它 的 腰 , 以 下 4 个 命 题 中 , 假.命.题.是 ( B )

A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上(2020 江西文)

3.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体 的高的最小值为

(A) 3 ? 2 6 (B)2+ 2 6 (C)4+ 2 6 (D) 4 3 ? 2 6 (2020 全国 2 理)

3

3

3

3

4.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm,4cm,3cm,把它们重叠 在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是( )

A . 77cm

B . 7 2cm

C . 5 5cm

D.

10 2cm ( 2 0 2 0 北 京 春 季 理 ) ( 8 )

5.关于直线 m、n 与平面? 与 ? ,有下列四个命题:(D)

① 若 m //? ,n //? 且 ? // ? , 则 m // n ; ② 若 m ? ?, n ? ? 且 ? ? ? , 则 m ? n ;

③ 若 m ? ?, n //? 且 ? // ? , 则 m ? n ; ④ 若 m //? ,n ? ? 且 ? ? ? , 则 m // n ;

其中真命题的序号是

A.①② B.③④ C.①④ D.②③(2020 湖北文)

6 . 已 知 ?1,? 2 ,?3 是 三 个 相 互 平 行 的 平 面 . 平 面 ?1,? 2 之 间 的 距 离 为 d1 , 平 面 ? 2 ,? 3 之 间 的 距 离 为 d 2 . 直 线 l 与 分 别 ?1,? 2 ,?3 相 交 于 P1, P2 , P3 那 么 “ P1P2 ? P2 P3 ” 是 “ d1 ? d2 ” 的
条件.(选择填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、 “既不充分也
不必要”之一)

7.

1. 下 面 给 出 四 个 命 题 中 正 确 命 题 的 个 数 是 ---------------------------------------------------------( )
① 若 a∥b , b∥c , 则 a∥c ; ② 若 a ? b , b ? c , 则 a ? c ; ③ 若 a、b 相 交 , b、c 相 交 , 则 a、c 也 相 交 ; ④ 若 a、b 是 异 面 直 线 , b、c 是 异 面 直 线 , 则 a、c 也
是异面直线

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D)

8 . 在 ?ABC中 , ?ACB ? 90? , A B = 8 , ?BAC ? 60?, P C ? 面 A B C , P C = 4 , M 是 A B
边上的一动点,则 PM 的最小值为( )

A. 2 7

B. 7

C . 19

D. 5

9. 设 m、n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个不同的平面,给出下列四个命
题:
① 若 m?? , n / /? , 则 m?n ② 若 ? / /? , ? / /? , m?? , 则 m?? ③ 若 m / /? , n / /? , 则 m / /n ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ?
其中正确命题的序号是________________________

10.空间两直线平行是指它们-------------------------------------------------( )

(A)无交点

(B)共面且无交点 (C)和同一直线垂直

(D)以上都不对

第 II 卷(非选择题)

请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

1 1 . 线 段 AB 、 CD 所 在 直 线 是 异 面 直 线 , M 、 N 分 别 是 AB 、 CD 的 中 点 , 则 MN _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 ( AC ? BD) . ( ? ; ? ; ? )
2

12.已知一个底面为正方形的长方体容器,若下底面和四个侧面的面积和 27, 则当容器的容积最大时,底面边长的值为____________.

13.在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 上的 点,且 EFGH 为

菱形,若 AC=m,BD=n,则 AE∶BE=________.

解析:如图,∵EF∥GH,

∴EF∥平面 ACD.



E

F



A

C

.



A B

B E



A E

C F

.



A

C



m





A B

B E



m EF











B E

D H



A A

B E

.



B

D



n





n EH



A A

B E

.



E

F



E

H





n EF



A A

B E

.











A B

E E



m n

.

14.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 E、F 分别为 BB1、CC1 的中点,则 AE、BF 所成角的余弦

值为________.

解析:如右图,取 DD1 中点 M,连结 AM、MF、ME,由 AB 綊

CD 綊 MF 知四边形 ABFM 为平行四边形.

∴AM∥BF,则 AM 与 AE 所夹锐角或直角为异面直线所成的角,



AB=1,则在△AEM 中

AE=AM=

5 2



M

E



2,



c

o

s



M

A

E



A

M

2

+AE2- 2 A M ·A E

M

E

2



1 5



即异面直线

AE、BF

















1 5

.

1 5 . 如 图 , 在 四 面 体 P - A B C 中 , PA = P B = P C = 2 , ∠ A P B = ∠ B P C = ∠ A P C = 3 0 °, 一 只 蚂 蚁 从 A 点 出 发 沿 着 四 面 体 的 表 面 绕 一 周 , 再 回 到 A 点,问:蚂蚁沿着怎样的路径爬行时 路程最短,最短路径是________. 解 析 : 如 右 图 , 将 四 面 体 沿 PA 剪 开 , 并 将 其 侧 面 展 开 平 铺 在 一 个平面上,连接 AA′分别交 PB,PC 于 E,F 两点,则当蚂蚁沿 着 A 刘 E 刘 F 刘 A ′ 路 径 爬 行 时 , 路 程 最 短 . 在 △ A PA ′ 中 , ∠ A PA ′ = 9 0 °, PA = PA ′ = 2 , ∴ A A ′ = 2 2 , 即 最 短 路 程 A A ′ 的 长 为 2 2.

16.已知圆台上下底面半径之比是 1:3,母线长 10cm,则截得该圆台的圆锥母 线长__________

评卷人 得分

三、解答题

1 7 . 如 图 , 在 正 方 体 A B C D? A1 B1 C1 D1中 , E 为 DD1 的 中 点 . 求 证 : ( 1 ) BD1 ∥ 平 面 E A C ;

( 2 ) 平 面 E A C ⊥ 平 面 A B1 C. ( 本 题 满 分 1 5 分 )

D1
A1 E

C1 B1

D C

A

B

1 8 . 如 图 , 在 六 面 体 A B C D? A1 B1 C1 D1中 , AA1 // CC1 , A1B ? A1D , AB ? AD.
求 证 : ( 1 ) AA1 ? BD ; ( 2 ) BB1 // DD1 .

D1 A1

C1 B1

D

C

A

B

第 19(B)题图

B . 证 明 : ( 1 ) 取 线 段 BD 的 中 点 M , 连 结 AM 、 A1M ,

因 为 A1D ? A1B , AD ? AB,

所 以 BD? AM, BD ? A1M . … … … … … 4 分

又 AM A1 A M ,

A1M ? M , AM、A1M ? 平 面

所 以 BD ? 平 面 A1 A M.

A

而 AA1 ? 平 面 A1 A M ,

D1 A1

C1 B1

D

C

B 第 19(B)题图

所 以 A A1 ? B D. … … … … … … … … 8 分

( 2 ) 因 为 AA1 // CC1 ,

AA1 ? 平 面 D1DCC1 , CC1 ? 平 面 D1DCC1 ,

所 以 AA1 // 平 面 D1DCC1 . … … … … … 1 0 分

又 AA1 ? 平 面 A1 ADD1 , 平 面 A1 ADD1 平 面 D1 D C C1 ? D D1, … … … 1 3 分

所 以 AA1 // DD1 . 同 理 得 AA1 // BB1 , 所 以 BB1 // DD1 . … … … … … … … … … … … … … … … … 1 6 分

19.在一个棱长为 2? 2 的正方体的八个顶角上分别截去一个三棱锥,使截掉棱
锥后的多面体有六个面为正八边形,八个面为正三角形(如 图所示),
( 1 ) 求 异 面 直 线 AB 与 GH 所 成 角 的 大 小 ;
(2)求此多面体的体积(结果用最简根式表示). (本题满分 12 分)第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
2 0 . 如 图 , PA 垂 直 于 矩 形 ABCD所 在 的 平 面 , AD ? PA ? 2 , CD ? 2 2 , E 、 F 分 别 是 AB 、 PD 的 中 点 。 ( 1 ) 求 证 : AF // 平 面 PCE; ( 2 ) 求 证: 平 面 PCE? 平 面 PCD。

【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

评卷人 得分

一、选择题

1.D

2.ABCD

解析:因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等,所以它的顶点在底面的射影到底
面的四个顶点的距离相等,故 A,C 正确,且在它的高上必能找到一点到各个顶 点的距离相等,故 D 正确,B 不正确,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。 故选 B

3.C

4.C

5.D

解析:用排除法可得选 D

6. 答案 充分必要条件

7.

8.

A

9. ①和②

10.

第 II 卷(非选择题)

请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11. 12. 13. 14. 15.2 16.
评卷人 得分

三、解答题

17. (1)略………………………6 分 (2)略………………………14 分 18.

1 9 . 解 : ( 1 ) 易 知 FE / / AB , GH / /EC ,

所 以 ?FEC 就 是 异 面 直 线 AB 与 GH 所 成 的 余 角 ) .

3分

经 计 算 得 : ?FEC ? 3? ? arctan( 2 ?1) ? 5?

4

8

( 也 可 以 直 接 用 45 ? 22.5? 67.做5 )

所 以 异 面 直 线 AB 与 GH 所 成 的 角 的 大 小 为 3? 8

(arctan( 2 ?1), arc cos 2 ? 2 ) .

6分

2

(2)设正八边形的边长为 2x ,则由题意得: x ? x ? 2 x ?2 ? 2,

所以,正八边形的边长为 2 .

9分

设多面体的体积为V ,

则 V ? (2 ? 2)3 ? 8? 1 ? 1 = 56 ?14 2 . 32 3
20.

12 分


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