高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用同步优化训练新人教A版必修4-含答案

1.6 三角函数模型的简单应用 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.函数 y=sin|x|的图象( ) A.关于 x 轴对称 B.关于原点对称 C.关于 y 轴对称 D.不具有对称性 解析:∵sin|-x|=sin|x|,∴y=sin|x|为偶函数,故 y=sin|x|的图象关于 y 轴对 称. 答案:C 2.初速度为 v0,发射角为 θ ,则炮弹水平移动的距离 s 与 v0 之间的关系式(t 是飞行时间) 为( ) A.s=|v0t| B.s=|v0|·sinθ ·t C.s=|v0|·sinθ ·t ? 1 2 |g|·t 2 D.s=|v0|·cosθ ·t 解析: 由速度的分解可知炮弹水平移动的速度为 v0·cosθ , 如图,故炮弹水平移动的距离为 |v0|·cosθ ·t. 答案:D 3.在 200 米高山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°,则塔高为( ) 200 米 3 400 解析:如图,设塔高为 h 米,则 200tan30°=(200-h)tan60°,∴h= 米. 3 A. B. C. D. 400 米 3 400 3米 3 200 3米 3 答案:A 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.图 1-6-1 中哪一个图象准确描述了某物体沿粗糙斜面滑下时的加速度 a 和斜面倾斜角 θ 之间的关系(摩擦因数不变)( ) 图 1-6-1 解析:由物理知识可知,当斜面倾斜角 θ 比较小时,物体处于静止状态,加速度为 0.故排 除选项 A、B.根据受力分析,受到的合外力 F=mgsinθ -μ mgcosθ . 2 ∴a=g(sinθ -μ cosθ )= g 1 ? ? sin(θ -φ )(其中 tanφ =μ ).故选 D 项. 1 答案:D 2.如图 1-6-2 所示,有一广告气球,直径为 6 m,放在公司大楼上空,当行人仰望气球中心 的仰角∠BAC=30°时,测得气球的视角为 β =1°,若 θ 很小时,可取 sinθ ≈θ ,试估算 BC 的值约为( ) A.70 cm 解析:1°= B.86 cm 图 1-6-2 C.102 cm D.118 cm ? 180 .在 Rt△ACD 中,AC= CD . sin B 在 Rt△ABC 中,AC= ∴ BC . sin ?BAC CD BC = . sin B sin ?BAC ∴BC= CD ? sin ?BAC 3 sin 30? 1 ? ? =3× × ≈86. ? sin B 2 180 sin 180 答案:B 3.图 1-6-3 是一弹簧振子作简谐运动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移, 则这个振子振动的函数解析式是____________________. 图 1-6-3 解析:设函数解析式为 y=Asin(ω x+φ ),则 A=2,由图象可知 T=2×(0.5-0.1)= ∴ 5? ? ? ×0.1+φ = .∴φ = . 2 2 4 5? ? ∴函数的解析式为 y=2sin( x+ ). 2 4 5? ? 答案:y=2sin( x+ ) 2 4 4 2? 5? ,∴ω = = , 5 T 2 4.甲、 乙两楼相距 60 米, 从乙楼望甲楼顶的仰角为 45°, 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°, 则甲、乙两楼的高度分别为________________________. 解析:如图,甲楼的高度 AC=AB=60 米, 2 在 Rt△CDE 中,DE=CE·tan30°=60× 3 ? 20 3 . 3 ∴乙楼的高度为 BD=BE-DE= 60 ? 20 3 米. 答案: 60 ? 20 3 5.一树干被台风折成 60°角, 树干底部与树尖着地处相距 20 米, 树干原来的高度为_______. 解析:如图,BC=20tan30°= AB= 20 3, 3 AC 40 ? 3, sin 60? 3 所以树干原来的高度为 AB+BC= 20 3 (米). 答案: 20 3 米 6.如图 1-6-4, 某人身高 a=1.77 米, 在黄浦江边测得对岸的东方明珠塔尖的仰角 α =75.5°, 测得在黄浦江中塔尖倒影的俯角 β =75.6°,求东方明珠的塔高 h. 图 1-6-4 解:设黄浦江的宽为 b 米,则 b·tanα =h-a,b·tanβ =h+a. 消去 b 得 h= tan ? ? tan? sin(? ? ? ) ·a= ·a. tan ? ? tan? sin(? ? ? ) 当 α =75.5°,β =75.6°,a=1.77 米时,h=490.1 米. 30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.一剪刀剪出一条正弦曲线. 把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上,卷上几圈.用剪刀斜着将纸筒剪断,再把卷着的纸展开, 你就会看到:纸的边缘线是一条波浪形的曲线. 你知道吗?这条曲线就是正弦曲线!请你来证明这一事实. 3 证明:如图(1),设纸筒底面半径为 1 单位长,截面(椭圆面)与底面所成的二面角为 θ (定 值),截口的中心为 O′. (1) 过 O′作圆柱的直截面, 交截口曲线于两点.取其中一点为 O, 在过点 O 且与圆柱侧面相切的 平面内,以点 O 为坐标原点建立直角坐标系,使得 Oy 轴是圆柱的一条母线. 设点 P 是截口曲线上任意一点,点 Q 是点 P 在⊙O′所在平面内的射影,过 Q 作 QH⊥O′O, 垂足为 H ,连结 PH ,则∠PHQ 是截面与底面所成二面角的平面角,所以∠PHQ=θ . 又设 ∠QO′O=α (变量). 在图(2)中,设 P 点坐标为(x,y),以下分别计算 P 点的横坐标和纵坐标. (2) x=OQ′= =α ,y=Q′P=QP=QH·tanθ , 而在 Rt△QHQ′中,QH=sinα ,所以 y=tanθ ·sinα . 令 A=t

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