【名师一号】高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2_图文

§4.2 直线?圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 1 1.了解直线与圆的位置关系,有相离?相切?相交三种情形. 2.会用几何法(d与r的关系)?代数法(直线方程与圆的方程解 的组数)来判断直线与圆的位置关系. 3.了解圆的切线方程的几种常见形式,会依据条件求圆的切线 方程. 2 直线与圆有三种位置关系: 相交 有两个公共点. (1)直线与圆________, 相切 有一个公共点. (2)直线与圆________, 相离 (3)直线与圆________, 没有公共点. 3 名 师 讲 解 (学生用书P88) 4 1.判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断: d<r?相交,d=r?相切,d>r?相离. (2)联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,利用判别式 “Δ”进行判断: Δ>0?相交,Δ=0?相切,Δ<0?相离. 5 2.有关直线与圆相交所得的弦长问题 一般地,求直线与圆相交所得的弦长,可结合垂径定理与勾股 定理(几何法)来处理;也可利用韦达定理(代数法)来处理. 6 3.求圆的切线方程的常用方法 (1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切 线的性质,求出切线的斜率.k切= 得. 也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的 切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y? 1 , 代入点斜式方程可 kCP b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 7 (2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线 方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k. 若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别 式Δ=0求k的值. 8 典 例 剖 析 (学生用书P88) 9 题型一 直线与圆的位置关系 例1:直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相切?相离还是相 交? 消去y,并整理可得, x2-6x+9=0. 10 Δ=(-6)2-4×9=0, ∴直线与圆相切. 方法2:将已知圆配方得 (x-2)2+(y+1)2=2, ∴圆心(2,-1)到直线的距离 ∴ d? | 2 ?1 ? 3 | 1 ?1 2 2 ? 2. d ? r ? 2, 故直线与圆相切. 11 规律技巧:判断圆与直线的位置关系有以下两种方法: (1)把圆C的圆心C(a,b)到直线l的距离d与圆的半径r作比较, 即圆C与直线l相离?d>r;圆C与直线l相切?d=r;圆C与直 线l相交?d<r. (2)用圆C和直线l的公共点的个数来判定,一般需通过解方程 组进行消元,然后用判别式来判断,这种方法计算量大一点, 但具有较普遍的意义. 12 变式训练1:以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离,则 (0, 2 5) 圆C的半径r的取值范围是____________. 解析:圆心C(-4,3)到直线2x+y-5=0的距离 13 题型二 切线问题 例2:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切 线方程. 分析:只要求出切线的斜率即可. 解:如右图所示,设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1. 因为圆的切线垂直于过 切点的半径,于是 k ?? 1 . k1 14 当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用. 15 变式训练2:求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程. (1)经过点 P( 3,1); (2)经过点Q(3,0); (3)斜率为-1. 解:(1)∵ ∴点 ( 3)2 ?12 ? 4, P( 3,1)在圆上,故所求切线方程为 3x ? y ? 4. 16 (2)∵32+02>4,∴点Q在圆外. 设切线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0. ∵直线与圆相切, ∴圆心到直线的距离等于半径. ∴ | ?3k | 1? k 2 ? 2. ∴k=± 2 5( x ? 3), 5 2 5. 5 ∴所求切线方程为y=± 即 2x ? 5 y ? 6 ? 0. 17 (3)设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程, 整理得2x2-2bx+b2-4=0. ∵直线与圆相切, ∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0. 解得b=± 2 2. 所求切线方程为x+y± 2 2 ? 0. 18 规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方 程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程. 19 题型三 弦长问题 例3:直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长为 求l的方程 4 5, . 分析:若直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可知直线l的斜 率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长 得方程求k. AB ? 4 5, 20 解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于 A(x1,y1)\,B(x2,y2), 21 22 两边平方,整理得2k2-5k+2=0. 解得 k? 1或k=2. , 2 代入(1)知,Δ>0. 故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0. 23 解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半 径,AH是弦长AB的一半, 在Rt△AHO中,OA=5, 24 规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法, 即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达 定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长? 弦心距?半径组成直角三角形,利用直角三角形求解.本例说明 几何法比代数法简便. 25 变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2

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